廣東省廣州市真光中學(xué)(510370) 蘇國(guó)東

1 前言

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)模塊的重點(diǎn)組成部分,也是中考的熱門考點(diǎn)之一,其與圖形面積的綜合問(wèn)題更是常常出現(xiàn)于中檔題和壓軸題當(dāng)中.

“反比例函數(shù)與圖形面積”作為“反比例函數(shù)”章節(jié)的一節(jié)專題課,目標(biāo)是讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)掌握運(yùn)用k的幾何意義以及坐標(biāo)法解決反比例函數(shù)中的相關(guān)面積問(wèn)題.筆者從本課題目的選取、變式的設(shè)計(jì)、題組的構(gòu)建等方面進(jìn)行了精心打磨,采用“起承轉(zhuǎn)合”式的教學(xué)架構(gòu)予以呈現(xiàn).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 “起”——新知建構(gòu)

創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境,引起學(xué)生的認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,通過(guò)有層次性的問(wèn)題,以舊帶新,構(gòu)建新知.

2.1.1 題組1 的設(shè)計(jì)

題1.點(diǎn)(2,?3)在反比例函數(shù)y=上,則k=____.

題2.點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)y=上,則mn=____.

題3.如圖1,過(guò)反比例函數(shù)y=上任意一點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A,PB⊥y軸于點(diǎn)B,連接OP,求證:S矩形OAP B=|k|,SΔOAP=SΔOBP=

圖1

題4.如圖2,點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),PM⊥x軸于點(diǎn)M,連接OP,若SΔP OM=1,則k=____.

圖2

2.1.2 教學(xué)分析

前三題的設(shè)計(jì)注重從特殊到一般,從代數(shù)到幾何,為新知的建構(gòu)創(chuàng)設(shè)了有“研究性”的問(wèn)題情境;第4 題是對(duì)新知的正確辨析,從抽象到具體,突出新知的關(guān)鍵點(diǎn),強(qiáng)調(diào)加絕對(duì)值的必要性.

其中第3 題在教學(xué)實(shí)踐中,教師先利用幾何畫(huà)板演示圖形變化,測(cè)量出矩形和三角形的面積為定值,再利用坐標(biāo)法嚴(yán)謹(jǐn)證明這一結(jié)論.設(shè)點(diǎn)P(m,n),則PB=|m|,PA=|n|,mn=k,所以S矩形OAP B=PB·PA=|n||m|=|mn|=|k|,SΔOAP=SΔOBP=將此稱為“k的幾何意義”.坐標(biāo)法的引入為后續(xù)解決非幾何意義類的面積問(wèn)題提供了代數(shù)的思路.

2.2 “承”——補(bǔ)充延伸

引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、思考,承前啟后,探尋知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”,這個(gè)過(guò)程既是學(xué)生對(duì)新知的鞏固運(yùn)用,也是對(duì)新知的有效補(bǔ)充與延伸.

2.2.1 題組2 的設(shè)計(jì)

題1.如圖3,正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)(k >0) 的圖象交于A,C兩點(diǎn),作AB⊥x軸于點(diǎn)B,連接BC,則ΔABC的面積為_(kāi)___.

變式1.如圖3,再作CD⊥x軸于點(diǎn)D,連接AD,則四邊形ABCD的面積為_(kāi)___.

圖3

變式2.如圖4,正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)的圖象交于A,C兩點(diǎn),AB//y軸,BC//x軸,則ΔABC的面積為_(kāi)___.

圖4

2.2.2 教學(xué)分析

教師利用幾何畫(huà)板對(duì)不同顏色的圖形進(jìn)行顯隱和變換,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合k的幾何意義與圖形的對(duì)稱性,進(jìn)一步求出一系列與|k|有關(guān)的圖形面積.

第1 題及變式1 中,因?yàn)镾ΔABO=點(diǎn)A,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以SΔCBO=SΔABO=,SΔABC=|k|.

同理可得S.ABCD= 2SΔABC= 2|k|.利用坐標(biāo)法再次驗(yàn)證: 設(shè)點(diǎn)A(m,n),則AB=|n|,BD=2BO=2|m|,所以S.ABCD=BD·AB=2|m||n|=2|k|.

變式2 中,當(dāng)ΔABC為直角三角形時(shí),由相似圖形的性質(zhì)可知其面積為ΔAOE的4 倍,即2|k|.由此還可推出矩形ABCD的面積是4|k|,梯形ABCF的面積為3|k|,點(diǎn)B,D都在反比例函數(shù)y=的圖象上.

2.3 “轉(zhuǎn)”——運(yùn)用遷移

題組設(shè)計(jì)注重綜合性與應(yīng)用性,凸顯解決方法的思想性與多樣性,增強(qiáng)問(wèn)題的“障礙性”,促進(jìn)學(xué)生從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)向發(fā)展應(yīng)用能力的有效遷移.

2.3.1 題組3 的設(shè)計(jì)

題1.如圖5,將一矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)A在y軸正半軸上.點(diǎn)E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F,求證: 當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn).

圖5

圖6

2.3.2 教學(xué)分析

第1 題的矩形并非k的幾何意義中的矩形,但其實(shí)仍與|k|相關(guān).教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何意義和坐標(biāo)法兩個(gè)方向進(jìn)行分析.連接OB,因?yàn)镾ΔAOE=SΔF OC=點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),所以SΔAOB= 2SΔAOE=|k|,又因?yàn)镾ΔBOC=SΔAOB=|k|,所以SΔBOC= 2SΔF OC,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn).

第2 題是在題組2 的基礎(chǔ)上進(jìn)行的變式,添加了第二個(gè)反比例函數(shù),同時(shí)AB不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),本題無(wú)法利用對(duì)稱性和k的幾何意義解題,需要用坐標(biāo)法解決.設(shè)點(diǎn)依題意有點(diǎn)),點(diǎn)B(?3m,),所以BP=m ?(?3m) = 4m,PA=所以=8.

2.4 “合”——整合拓展

題組設(shè)計(jì)回歸和體現(xiàn)知識(shí)的“整體”架構(gòu),關(guān)注多知識(shí)點(diǎn)的交匯及新舊知識(shí)的銜接整合,適度拓展創(chuàng)新,從而促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的融會(huì)貫通,提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì).

2.4.1 題組4 的設(shè)計(jì)

題1.如圖7,一次函數(shù)y=x+4 與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),與x軸,y軸交于點(diǎn)M,N,連接OA,OB,求ΔAOB的面積.

圖7

變式.如圖8,一次函數(shù)y=?x+6 與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,連接OA,OB,求ΔAOB的面積.

圖8

2.4.2 教學(xué)分析

題組4 體現(xiàn)了反比例函數(shù)、一次函數(shù)與圖形面積的知識(shí)交匯,從代數(shù)運(yùn)算,到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,再到圖形割補(bǔ),讓新舊知識(shí)得以串聯(lián)與拓展.

第1 題教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,找出割補(bǔ)圖形的不同方法,教師板書(shū)示范,思路如下: 聯(lián)立兩函數(shù)解析式,求出兩交點(diǎn)A(2,6),B(?6,?2),易求得點(diǎn)M(?4,0),所以SΔAOB=SΔAOM+SΔBOM=

第2 題由學(xué)生自主探究不同解法,小組合作完成: 聯(lián)立求出兩交點(diǎn)A(2,4),B(4,2),求得點(diǎn)C(6,0),則SΔAOB=SΔAOC ?SΔBOC== 6.教師追問(wèn)學(xué)生,能否借助k的幾何意義將所求面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,通過(guò)縱橫拓展進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生思維.

如圖9,過(guò)點(diǎn)A,B作AM,AN垂直x軸于點(diǎn)M,N,AM交OB于點(diǎn)E.因?yàn)镾ΔAOM=SΔBON=|k|,所以SΔAEO=S梯形EMNB,SΔAOB=SΔAEB+SΔAEO=SΔAEB+S梯形EMNB=S梯形AMNB,通過(guò)求解梯形AMNB的面積即可得出ΔAOB的面積.

圖9

3 設(shè)計(jì)反思

本課采用“起承轉(zhuǎn)合”式的課堂教學(xué)架構(gòu),各個(gè)階段通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng),變式拓展進(jìn)行串聯(lián)設(shè)計(jì),教學(xué)實(shí)踐收到了較好的效果.具體的教學(xué)設(shè)計(jì)思路與流程可歸結(jié)為圖10 所示.

圖10

3.1 起承轉(zhuǎn)合,題組教學(xué)

“起承轉(zhuǎn)合”式的教學(xué)設(shè)計(jì)分為四個(gè)階段,以題組引導(dǎo)課堂教學(xué).一是“起”的階段,題組設(shè)計(jì)關(guān)注新舊知識(shí)的聯(lián)系,創(chuàng)設(shè)適宜的問(wèn)題情境,開(kāi)展新知的建構(gòu);二是“承”的階段,題組設(shè)計(jì)注重對(duì)新知進(jìn)行有效補(bǔ)充和延伸,形成問(wèn)題解決的多種策略;三是“轉(zhuǎn)”的階段,題組設(shè)計(jì)以解決核心問(wèn)題為主線,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力;四是“合”的階段,題組設(shè)計(jì)體現(xiàn)知識(shí)的整合與銜接,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和關(guān)鍵素養(yǎng).

3.2 問(wèn)題引領(lǐng),變式提升

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,教學(xué)設(shè)計(jì)注重問(wèn)題引領(lǐng).通過(guò)具有情景性的問(wèn)題引入新知,具有研究性的問(wèn)題檢驗(yàn)新知,具有障礙性的問(wèn)題辨析新知,具有生成性的問(wèn)題延伸新知,具有應(yīng)用性的問(wèn)題實(shí)踐新知;問(wèn)題的設(shè)計(jì)注重聯(lián)系、變式與拓展,如三角形與四邊形、坐標(biāo)與面積、代數(shù)與幾何等數(shù)與形的變換,又如特殊到一般、抽象到具體、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn).以題成組,以組構(gòu)課,有效提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和創(chuàng)新思維,促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)化.