黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)(163316) 王英君

新一輪的數(shù)學(xué)課程改革提出六大核心素養(yǎng): 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.如何將提升學(xué)生的核心素養(yǎng)落實(shí)到位,是當(dāng)前中學(xué)教師亟需解決的問(wèn)題.六大核心素養(yǎng)的提出,繼承了上一輪課程改革的優(yōu)秀成果,課堂教學(xué)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到位,學(xué)生才能理解數(shù)學(xué).筆者在黑龍江省示范性高中“構(gòu)建高效課堂,聚焦核心素養(yǎng)”數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)研討會(huì)上執(zhí)教了一節(jié)高三理科復(fù)習(xí)課“多球相切問(wèn)題”,在備課的過(guò)程中深入思考教學(xué)中如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和解決能力.

1 分析高考真題,提煉關(guān)鍵信息

分析: 多球相切的題目側(cè)重考查學(xué)生的空間想象能力,對(duì)作圖能力要求較高.將球球相切轉(zhuǎn)化為錐體問(wèn)題,圖形易上手,幾何載體多變,以三角形中計(jì)算為主.

結(jié)論: 高考題目從幾何作圖和分析圖形兩個(gè)角度考查直觀想象核心素養(yǎng),同時(shí)考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算兩個(gè)核心素養(yǎng).

2 選擇典型例題,提煉數(shù)學(xué)方法

例題把四個(gè)半徑都是1 的球中的三個(gè)放在桌面上,使它兩兩外切,然后在它們上面放上第四個(gè)球,使它與前三個(gè)都相切,則第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離( )

教學(xué)片段1:

師: 同學(xué)們,你們解答這道題的困惑在哪里?

生(齊答): 圖形不好畫.

師: 為什么畫實(shí)際圖?

小組合作交流: 用哪種幾何圖形代替球球相切? (教師展示直觀圖)

生1: 球心連線組成正四面體(替代圖)

師: 如何求出? 請(qǐng)小組合作探討一下.

生2: 先求四個(gè)球心連線是正四面體的高,而第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離即為高加上兩個(gè)半徑,從而求出所求.

解析: 四個(gè)球心連線是正三棱錐.棱長(zhǎng)均為2,∴ED=∴第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為OA加上兩個(gè)半徑即故選: A.

設(shè)計(jì)意圖: 讓學(xué)生有意識(shí)地去尋找替代圖,認(rèn)識(shí)球球外切等價(jià)球心連線線段長(zhǎng)為兩球半徑和.體會(huì)勾股定理和射影定理在解決此類問(wèn)題中的應(yīng)用.使學(xué)生對(duì)高考題形成初步感知,掌握問(wèn)題求解的一般思路,重點(diǎn)強(qiáng)化平面化方法.

引申1.將3 個(gè)半徑為1 的球和一個(gè)半徑為√的球疊為兩層放在桌面上,上層只放一個(gè)較小的球,四個(gè)球兩兩相切,那么上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離是( )

教學(xué)片段2:

師: 請(qǐng)同學(xué)們作出替代圖,尋找突破口,并確定算法.

師: 你解答此題的困惑在哪里?

生: 不是正四面體了.

師: 可以解決嗎?

生3: 設(shè)下層三個(gè)半徑為1 的球的球心構(gòu)成邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形,上面小球的球心和這個(gè)等邊三角形構(gòu)成側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐,上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離為小球半徑、大球半徑與正三棱錐的高相加之和.

【解答】 解: 設(shè)下層三個(gè)半徑為1 的球的球心分別為B,C,D,上層較小的球的球心為A,則ΔBCD是邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形,AB=AC=AD=過(guò)A作平面BCD的垂線AF,交平面BCD于點(diǎn)F,F是ΔABC的重心,則∴上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離是故選: A.

設(shè)計(jì)意圖: 本題考查上層小球最高點(diǎn)到桌面距離的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).拓寬了解題視野.

3 開展頭腦風(fēng)暴,優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)

引申2.已知四個(gè)半徑為R的大球,上層一個(gè),下層三個(gè)且兩兩相切疊放在一起,若在他們圍成的空隙中,有一個(gè)小球與這四個(gè)大球都外切,另有一個(gè)更大的球與這四個(gè)球都內(nèi)切,求小球的半徑r1和大球的半徑r2.

生【分析】: 我們易將這四個(gè)球的球心連接成一個(gè)正四面體,并根據(jù)四球外切,得到四面體的棱長(zhǎng)為2R,正四面體的外接球半徑為由于這四個(gè)球之間有一個(gè)小球和這四個(gè)球都外切,則小球的球心與四面體的球體重合,進(jìn)而再由小球與其它四球外切,球心距(即正四面體外接球半徑)等于大球半徑與小球半徑之和,得到答案.

小組合作解: 由已知中四個(gè)半徑都是R的球中的三個(gè)放在桌面上,使它兩兩外切,然后在它們上面放上第四個(gè)球,使它與前三個(gè)都相切,連接四個(gè)球的球心,得到一個(gè)棱長(zhǎng)為2R的正四面體,則該正四面體的外接球半徑為若這四個(gè)球之間有一個(gè)小球和這四個(gè)球都外切,則這個(gè)小球的半徑為另有一個(gè)更大的球與這四個(gè)球都內(nèi)切,更大球的半徑r2=

師【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征,球的結(jié)構(gòu)特征,其中根據(jù)已知條件求出四個(gè)半徑為1 的球球心連接后所形成的正四面體的棱長(zhǎng)及外接球半徑的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵.

引申3.現(xiàn)有兩個(gè)半徑為2 的小球和兩個(gè)半徑為3 的小球兩兩相切,若第五個(gè)小球和它們都相切,則這個(gè)小球的半徑是( )

小組合作【解析】 如圖所示,A,B是半徑為2 的球的球心,C,D是半徑為3 的球的球心,O是第五個(gè)球的球心.由題得CE=∴OE=因?yàn)锳B⊥CE,AB⊥ED,∴AB⊥平面BEC,所以AB⊥EO.在直角ΔAEO中,(r+2)2=故選A.

師點(diǎn)評(píng): 本題的難點(diǎn)在于畫圖和從線面關(guān)系里找到方程.所以首先要把圖畫得直觀,再?gòu)膸缀螆D里找到線面關(guān)系利用解三角形的知識(shí)列出方程.

設(shè)計(jì)意圖: 通過(guò)構(gòu)造幾何體得到問(wèn)題的答案,本質(zhì)是“建立數(shù)學(xué)模型”和“解答數(shù)學(xué)模型”的過(guò)程,提升了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).凸顯“模型化”方法的解題魅力.讓學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí),提升認(rèn)真鉆研的科學(xué)精神.

思維導(dǎo)圖如下: