廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 高龍光

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何在重視學(xué)生理性思維培養(yǎng)的同時,充分挖掘數(shù)學(xué)文化價值與以美育人功能作用.如何讓學(xué)生真正熱愛數(shù)學(xué)、而不是僅僅為了升學(xué)才不得已去學(xué)數(shù)學(xué).為了升學(xué),盡管自己不是那么喜歡數(shù)學(xué),拼命也得學(xué)好.而被動的學(xué)習(xí),就猶如捏住鼻子灌藥,咽下去,又可能吐出來.但如果是被數(shù)學(xué)本身的魅力所吸引,感受和發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美,那將給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增添無窮樂趣,使學(xué)生油然而生起對數(shù)學(xué)的強烈好奇心,和持久的學(xué)習(xí)動力.數(shù)學(xué)之美,美在千姿百態(tài),豐富多彩,如: 數(shù)學(xué)的簡潔之美、對稱之美、抽象之美、和諧之美以及形式各異的模型之美等,正如我國數(shù)學(xué)家徐利治教授指出: 數(shù)學(xué)美的含義是豐富的,數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性,結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性,數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性與普遍性,還有數(shù)學(xué)中的奇異性,都是美的具體內(nèi)容[1].在課堂教學(xué)中如何將數(shù)學(xué)中的隱形之美顯性化,以此引導(dǎo)學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美,感受數(shù)學(xué)之美,增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.此文以本人一節(jié)高三復(fù)習(xí)公開課教學(xué)為例,探討例題教學(xué)中通過變式教學(xué)所展示的數(shù)學(xué)之美.

1 例題教學(xué),展示“變化中的不變性”的驚奇之美

例題已知橢圓=1(a>1)的左、右焦點分別為F1、F2,拋物線C:y2= 2px(p >0)以F2為焦點且與橢圓相交于點M(x1,y1),N(x2,y2),點M在x軸上方,直線F1M與拋物線C相切.設(shè)A,B是拋物線C上兩動點,如果直線MA,MB的傾斜角互補,求證: 直線AB的斜率為定值.

【解析】: 先求拋物線C的方程及點M的坐標(biāo).由橢圓方程得c== 1,所 以F1(?1,0),F2(1,0),所以= 1,p= 2,所以拋物線C的方程為y2= 4x.因為M(x1,y1)在拋物線C上,所以y21= 4x1,直線F1M的方程為y=(x+1),代入拋物線方程得y21(x+1)2= 4x(x1+1)2,即x1x2?(x21+1)x+x1= 0,因為F1M與拋物線C相切,所以Δ=(x21+1)2?4x21=0,即求得M(1,2)或N(1,?2).

直線AB的斜率為定值?1.證明如下: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因為點M、A、B均在拋物線y2=4x上,所以

因為直線MA、MB的傾斜角互補,則傾斜角均不為直角,所以kMA=?kMB,=0 即y1+y2=?4,又由1○?②得y21?y22=4(x1?x2),即kAB=?1,即直線AB的斜率為定值?1.(如圖1)

賞析:“A,B是拋物線C:y2= 4x上兩動點,M(1,2)在拋物線C上(非頂點),在直線MA,MB的運動變化過程中,只要兩者的傾斜角互補,則直線AB的斜率為定值”.對于此類“變化中的不變性”,其結(jié)論本身就具有驚奇之美.

2 從四種命題及合情推理的角度進行變式教學(xué),展示“對稱之美與和諧之美”

變式1: 上題中的逆命題是否成立?

逆命題: 直線AB與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點,M(1,2)在拋物線C上,若直線AB的斜率為?1,則直線MA,MB的傾斜角互補.

逆命題成立,證明如下: 因為直線AB不與x軸平行,設(shè)直線AB方程為x=?y+b,代入拋物線C:y2= 4x得,y2+4y ?4b= 0,Δ ≥0,y1+y2=?4,即y2=?y1?4,由原命題證明可得kAM+kBM==0,所以直線MA,MB的傾斜角互補,即逆命題成立.

賞析: 原命題與逆命題條件與結(jié)論互換位置且同時成立,其結(jié)構(gòu)極具對稱之美.

變式2: 將命題的條件一般化,結(jié)論是否仍然成立?

一般地,對于拋物線C:y2= 4x上任意給定一點M(x0,y0)(非頂點),設(shè)A,B是拋物線C上兩動點,如果直線MA,MB的傾斜角互補,那么直線AB的斜率是否為定值? 命題結(jié)論成立.下面給予證明:

設(shè)直線AB的方程為:x=ty+m,代入y2= 4x得y2?4ty ?4m= 0,Δ = 16(t2+m)>0,y1+y2=4t,y1y2=?4m,

∴4(y1+y2)+8y0=16t+8y0=0 即t=∴直線AB的斜率為定值即直線AB的斜率為定值反之也成立.(類似變式1 中逆命題的證明即可得證! ) .更一般地,對于拋物線C:y2= 2px(p >0),同樣得直線AB的斜率為定值

賞析: 這反映了拋物線的本質(zhì)規(guī)律: 過拋物線C:y2=2px(p>0)上任意一點(非頂點)作兩條射線,若兩射線的傾斜角互補,則兩射線與拋物線的交點所在直線的斜率為定值.這樣通過一般化猜想及論證,抽象出了拋物線的本質(zhì)規(guī)律,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中合情推理與數(shù)學(xué)抽象之美.

學(xué)生課后思考: 更一般地,若直線MA,MB的斜率之和為定值m,則直線AB的斜率是否為定值? 若直線MA,MB斜率之積為定值m,又有何結(jié)論呢? 或者把問題放到更大范圍——圓錐曲線中思考,結(jié)論是否成立呢? 其實,也可以得到類似結(jié)論,在此不做論述.

變式3: 將命題極端化,得到怎樣的結(jié)論?

特別地,將變式2 中的兩條直線MA,MB無限接近,由于直線MA,MB傾斜角互補,則MA,MB均與x軸趨近于垂直,也就是當(dāng)A,B無限接近,并重合于點M關(guān)于對稱軸的對稱點M′(x0,?y0) 時,直線AB也即為曲線上過M′(x0,?y0) 的切線; 而通過求導(dǎo)可得,過M′(x0,?y0)的切線的斜率k=正好是直線AB斜率的定值.

賞析: 將命題極端化處理,其結(jié)果精妙地展示了從割線到切線的極限之美,以及結(jié)論的統(tǒng)一與和諧之美(如圖2).

這是一堂以變式教學(xué)為特征的課例,讓學(xué)生充滿了思維的碰撞與發(fā)現(xiàn)的驚喜,從多側(cè)面多角度讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美,感受數(shù)學(xué)之美.孔子曰: 知之者,不如好知者,好知者不如樂知者.數(shù)學(xué)之美讓學(xué)生更加“樂學(xué)善學(xué)”.同時,還能從數(shù)學(xué)之美中得到思維的啟迪,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、持久性和學(xué)習(xí)效果.