廣東省廣州市第七十五中學(xué)(510500) 鄒務(wù)姣

圓的內(nèi)接四邊形對角互補,這是在人教版九年級上冊學(xué)習(xí)圓周角定理時得到的推論.在這一節(jié)新課教學(xué)中,時常會有學(xué)生追問,對角互補的四邊形是否共圓呢? 教材正文及中考指導(dǎo)書上沒有出現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容,所以,大多數(shù)教師在課堂教學(xué)中,對四點共圓的條件探究不深,而“四點共圓”是平面幾何證題中一個十分有利的工具,在綜合題和數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn).教材中這個內(nèi)容以數(shù)學(xué)活動的形式出現(xiàn),說明四點共圓這個知識,同學(xué)們很有必要去進行探究并掌握.與此同時,我們發(fā)現(xiàn),有些題雖然表面與圓無關(guān),但若能發(fā)現(xiàn)共圓的點,就能運用圓的豐富的性質(zhì)為解題服務(wù).

1 舉一反三,運用意識喚醒

【教材】我們知道,過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓.過任意四邊形的四個頂點能做一個圓嗎?

首先,我們思考一下,教材中為什么先提到過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓這個結(jié)論呢? 這是因為過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓,這是喚醒材料,它起到了“四兩撥千斤”的作用,而且將要學(xué)習(xí)的新知與提到的這個舊知兩個內(nèi)容具有相似性,這樣有助于“同化”新知識,這樣,既能激發(fā)學(xué)生進行有意義學(xué)習(xí)的傾向,又能實現(xiàn)認知活動的螺旋上升.

在教學(xué)中,我們可以這樣復(fù)習(xí)設(shè)問:

[師]: 怎樣的三點可以確定一個圓?

[生]: 不在同一直線上的三點.

[師]: 過三角形的三個頂點能作一個圓嗎? 如何確定圓心和半徑呢?

[生]: 能.圓心是三邊的垂直平分線的交點,半徑是這個交點到三個頂點的距離.

教師展示作圖過程.

【教材】分別測量下面各四邊形的內(nèi)角,如果過某個四邊形的四個頂點能作一個圓,那么其相對的兩個內(nèi)角之間是什么關(guān)系? 證明你的發(fā)現(xiàn).

接著繼續(xù)這樣提問:

[師]: 以前學(xué)習(xí)四邊形的相關(guān)知識的時候,我們經(jīng)常將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個三角形來解決,結(jié)合剛才的復(fù)習(xí),觀察以下三個圖形,請同學(xué)們思考,過四邊形的四個頂點能做一個圓嗎?

過四點怎么作圓呢? 蘇霍姆林斯基說:“在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要,就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”這就要求我們教師不僅要激發(fā)學(xué)生心靈深處的那種強烈的探究欲望,而且要讓學(xué)生在探究互動中獲得成功的情感體驗,以促使學(xué)生保持足夠的探究熱情,進而產(chǎn)生強大的內(nèi)在動力.這個問題的提出,意識喚醒它基于問題的探究,給學(xué)生探究問題、解決問題提供了廣闊的思維空間,必將引發(fā)學(xué)生探究的欲望.

給學(xué)生充分的測量及思考時間,讓學(xué)生通過學(xué)過的知識舉一反三.

展示學(xué)生作圖.

[師]: 通過作圖,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些圖能作圓? 你是怎么作圓的?

[生]: 圖一能作一個圓,連接BD,因為ΔABD和ΔCBD都是直角三角形,他們的外心都在斜邊BD的中點處,以BD的中點為圓心,BD的一半為半徑,這個圓經(jīng)過四邊形的四個頂點.

[生]: 圖三也能作一個圓,通過作ΔABC和ΔDBC的外接圓,發(fā)現(xiàn)圓心是同一個點,半徑是這個點都四個頂點的距離.

[生]: 圖二過平行四邊形的四個頂點不能作一個圓,作ΔABC和ΔDBC的外接圓,發(fā)現(xiàn)這兩個三角形的外心都在各個三角形的內(nèi)部,每個三角形都確定一個圓,這兩個圓不重疊,所以過平行四邊形的四個頂點無法確定一個圓.

[師]: 過四邊形的四個頂點,有時能作一個圓,觀察能作一個圓的圖一和圖三這兩個四邊形,觀察它們的邊角,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎?

[生]: 它們對角互補.

[師]: 能舉一反三的思考問題,很棒! 能歸納我們剛才過四點作圓的方法嗎?

[生]: 兩個共斜邊的直角三角形的圓心在斜邊的中點處.

[師]: 很好! 能注意特殊情況.

[生]: 將四邊形分成兩個三角形,先作其中三角形的外接圓,觀察這個圓是否經(jīng)過第四個頂點.

2 歸納驗證,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

教材中由測量、猜想得到結(jié)論的方法,解決問題的入口寬,不失為一種幫助學(xué)生探究問題的好方法,這便于學(xué)生理解,能迅速得到四點共圓的條件,彰顯了教材編寫的智慧.

【教材】證明你的發(fā)現(xiàn).如果過某個四邊形的四個頂點不能作一個圓,那么其相對的兩個內(nèi)角之間有上面的關(guān)系嗎? 試結(jié)合圖形說明其中的道理.(提示: 利用圓周角與其所對弧的大小關(guān)系,考慮∠B+∠D與180 度之間的關(guān)系)

測量數(shù)據(jù)是表征,通過測量發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論才是本源.為此,測量后,教師要讓學(xué)生直逼數(shù)學(xué)本質(zhì).

[師]: 我們猜想對角互補的四邊形能確定一個圓,這個僅僅是猜想,如何證明呢?

根據(jù)命題內(nèi)容,寫出已知、求證并作出圖形.

[師]: 課本上有證明共圓的方法嗎?

[生]: 圓的定義,也就是證明四個點到某點(圓心)的距離相等.

[師]: 某點如何找到?

[生]: 過三個點A、B、C可以確定這個圓心O.

[師]: 很好,那么如何證明第四個點也在圓上呢?

[生]: ——

[師]: 條件中,只有對角互補這個條件,難以得到點D到O的距離等于半徑OA,還可以通過其他知識轉(zhuǎn)化么?

[生]: 沒有.

大部分學(xué)生陷入沉默.

[師]: 真是傷腦筋,直接證明有困難,同學(xué)們想一想,如果直接證明有困難的時候,我們還有其他的解決方案嗎?

啟發(fā)學(xué)生反向思考.

[生]: 反證法.

[師]: 很好,用反證法.點D在圓上的反面是什么?

[生]: 點D在圓內(nèi)或圓外.

[師]: 對.我們先假設(shè)點D在圓內(nèi),這樣會產(chǎn)生與題目條件或定理矛盾的結(jié)論嗎?

結(jié)合圖形,引導(dǎo)學(xué)生完成該過程的證明.

證明: 過A,B,D作圓O,假設(shè)C不在圓O上,則C在圓外或圓內(nèi),(1) 假設(shè)C在圓外,設(shè)BC交圓O于F,連結(jié)DF,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DFB= 180°,∵∠A+∠C=180°,∴∠DFB=∠C.而∠DFB為ΔDFC的外角,故∠DFB >∠C,所以假設(shè)錯誤,

(2)假設(shè)C在圓內(nèi)時類似可以得到假設(shè)錯誤.所以原命題成立.由此,即可得到,對于四邊形ABCD,對角互補?四點共圓.

掌握反證法是初三的教學(xué)要求,這種簡明實用、獨特思維方法和證題方法對提高學(xué)生創(chuàng)造性地分析問題和解決問題的思想素質(zhì)有重要意義,也對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解題技巧有所幫助.這里揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué),讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中理解數(shù)學(xué)概念,把握數(shù)學(xué)方法,感悟數(shù)學(xué)特有的思維方式,鑒賞數(shù)學(xué)之美,追求數(shù)學(xué)精神.

3 拓展延伸,引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

從教材中歸納出證明四點共圓的方法:

思路一: 先從四點(數(shù)目不限)中先選出點作一圓,然后證另一點也在這個圓上.

思路二: 四點到某定點(中垂線交點)的距離都相等,從而確定其共圓(圓的定義).特例: 運用有關(guān)定理得到共底邊的兩個直角三角形,則四個頂點共圓,且直角三角形的斜邊為圓的直徑.

中考題1(圓的定義,隱形圓) : 如圖,在RtΔABC中,AC= 6,BC= 8,點F在邊AC上,并且CF= 2,點E為邊BC上的動點,將ΔCEF沿直線EF翻折,點C落在點P處,則點P到邊AB距離的最小值是多少?

【分析】點E是BC邊上的一個動點,導(dǎo)致點P也在運動,但是ΔPFE是由ΔCEF沿直線EF翻折得到的,所以FC=FP= 2 是不變的,由此可以得到點P的運動路徑: 以點C為圓心,CF長為半徑的圓.

解: 由題意得: 點P的運動軌跡如圖所示,由垂線段最短可知,當(dāng)FH⊥AB時,FH最短,若A、P、H三點共線時,PH最短.∵sinA=∴FH= 3.2,PH的最短值為: 3.2?2=1.2

中考題2: 如 圖,ΔBAC和ΔDAE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,連接BD,CE.

(1)求證:BD=CE;

(2)如圖,延長BD交CE于F,連接AF,求∠AFB的度數(shù).

(1)求出 ∠BAD= ∠CAE,根據(jù)SAS推出ΔBAD∽= ΔCAE即可,過程略.

(2)分析: 設(shè)BF與AC交于點O,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ACE= ∠ABD,求出∠CFO= ∠BAO=90°,推出D、A、E、F四點共圓,求出∠AFB= ∠DEA,即可求出答案.

解: 設(shè)BF與AC交于點O,∵ ΔBAD∽= ΔCAE,∴ ∠ACE= ∠ABD,∵ ∠COF= ∠AOB,∠OCF+∠CFO+ ∠COF= 180°,∠ABD+ ∠AOB+ ∠OAB=180°,∠BAO=90°,∴∠CFO=∠BAO=90°,∴∠OFE= 90°,∵∠DAE= 90°,∴∠DFE+∠DAE= 180°,∴D、A、E、F四點共圓,∴∠AFB= ∠DEA,∵在ΔADE中,∠DAE= 90°,AD=AE,∴∠DEA= 45°,∴∠AFB=45°.

對于學(xué)有余力的同學(xué),課外閱讀資料還可以延伸:

(1)共底邊的兩個三角形頂角相等,且在底邊的同側(cè),則四個頂點共圓.

(2)相交弦定理的逆定理: 對于四邊形ABCD其對角線AC、BD交于P,PD·BP=PC·AP ?四點共圓.

(3)割線定理的逆定理: 對于四邊形ABCD其邊的延長線AB、CD交于P,PD·PC=PB·PA ?四點共圓.

4 寫在最后

數(shù)學(xué)閱讀能力是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)和前提.著名的數(shù)學(xué)家斯托里亞爾說:“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”,數(shù)學(xué)具有一定的抽象性,文字語言和符號語言轉(zhuǎn)換頻繁,這就給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增加了難度,如何降低難度呢? 通過深度研究教材,就會發(fā)現(xiàn)教材的編寫簡略和條理性和嚴(yán)謹性,通過深度研讀,充分思考后,會自然達到學(xué)習(xí)新問題和解決新問題的目的,讓優(yōu)術(shù)和明道同生長.