廣東省東莞中學(xué)松山湖學(xué)校(523000) 談珊姍

1 內(nèi)容和內(nèi)容解釋

1.1 內(nèi)容

動態(tài)問題中的函數(shù)圖象的判斷,包含“點動型”、“面動型”和“線動型”三種類型.

1.2 內(nèi)容解析

動態(tài)問題的函數(shù)圖象一般以選擇題形式考察,解決此類問題的方法一般有: (1)求解析式法;(2)判斷趨勢法;(3)定點排除法.本節(jié)課主要讓學(xué)生學(xué)會如何分情況討論,列出相應(yīng)的函數(shù)解析式,然后根據(jù)函數(shù)解析式的特點作出相應(yīng)的選擇,進而總結(jié)提煉出破解此類問題更高時效的方法——判斷趨勢法以及定點排除法.列出函數(shù)解析式是聯(lián)系題目本身(文字語言)以及函數(shù)圖象(圖形語言)的橋梁,綜合運用了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程思想、模型思想,考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力,內(nèi)容包括空間能力、應(yīng)用意識、推理能力等,是近幾年中考題的熱點和難點.最后總結(jié)提煉出解決此類選擇題的解題技巧,可以不需要求函數(shù)解析式,快速而準確地作出選擇,提高解題速度.

基于以上分析,本節(jié)課的教學(xué)重點是: 對所給出的動態(tài)問題正確分類,建立函數(shù)解析式.

2 目標和目標解析

2.1 目標

(1)經(jīng)歷“點動型”以及“面動型”問題的探究過程,對問題正確分類;

(2)會列出函數(shù)解析式并選擇相應(yīng)的函數(shù)圖象.

(3)通過對問題的分析,能夠總結(jié)歸納出判斷趨勢法.

2.2 目標解析

達成(1)的標志是: 能闡述運動過程,根據(jù)圖形形狀進行分類;

達成(2)的標志是: 能列出函數(shù)解析式,熟練掌握函數(shù)的圖象性質(zhì);

達成(3)的標志是: 本節(jié)課的主問題的分析過程要熟練,總結(jié)歸納方法快速解決牛刀小試中的個問題.

3 教學(xué)問題診斷分析

解決動態(tài)問題的關(guān)鍵是“動中求靜”.對于“點動型”以及“面動型”問題,在運動中,對于圖形變化進行正確分類是學(xué)生的難點,在運動中找到不變性是突破本難點的思路;同時,如何把圖形變化轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象,這對學(xué)生數(shù)形結(jié)合,函數(shù)與方程的思想提出極大的考驗.

4 教學(xué)條件支持分析

利用幾何畫板和錄播軟件動態(tài)演示圖象的變化過程,以幾何直觀呈現(xiàn)問題背景.

5 教學(xué)過程設(shè)計

5.1 教學(xué)流程圖

5.2 目標導(dǎo)入,明確任務(wù)

本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標:

(1)熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),會根據(jù)圖形運動建立函數(shù)模型;

(2)通過獨立思考,合作探究,體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.

師生活動: 教師PPT 展示本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標,學(xué)生大聲朗讀.

設(shè)計意圖: 通過朗讀學(xué)習(xí)目標,學(xué)生能夠明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù).

5.3 課堂熱身,感悟模型

師生活動: 學(xué)生自主完成問題1,小組搶答.

設(shè)計意圖: 通過幾道簡單的與面積有關(guān)的求函數(shù)解析式的練習(xí),讓學(xué)生回顧一次函數(shù)和二次函數(shù)的模型,進一步復(fù)習(xí)鞏固函數(shù)圖象性質(zhì),讓學(xué)生迅速進入課堂的學(xué)習(xí).

問題1(自編)

1、如圖,邊長為4 的正方形空地上需要修葺兩條寬為x的綠道,

(1)若剩余空地面積為y,請你寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;并說出這個函數(shù)的圖象及其圖象性質(zhì).

(2)若綠道面積為y,請你寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;并說出這個函數(shù)的圖象及其圖象性質(zhì).

2、如圖,邊長為4 的正方形空地上需要修建一個與正方形等高的直角三角形的英語角,設(shè)直角三角形的底邊長為x(0

(1)若直角三角形面積為y,請你寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;并說出這個函數(shù)的圖象及其圖象性質(zhì).

(2)若剩余空地面積為y,請你寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;并說出這個函數(shù)的圖象及其圖象性質(zhì).

解題思路: 對于規(guī)則圖形,先用含自變量的式子表示出相關(guān)的邊長,然后根據(jù)面積公式列出函數(shù)關(guān)系式;

對于不規(guī)則圖形,可用割補法,用兩個規(guī)則圖形面積相加減的方法求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

1、(1)剩余空地面積:y=(4?x)2,即y=x2?8x+16;圖象是一條拋物線,開口向上,當x <4 時,y隨x的增大而減小;

(2)綠道面積:y=16?(4?x)2,即y=?x2+8x;圖象是一條拋物線,開口向下,當x<4 時,y隨x的增大而增大.

2、(1) 直角三角形面積:y= 2x,圖象是一條直線,當0

(2)剩余空地面積:y=?2x+16,圖象是一條直線,當0

設(shè)計意圖: 設(shè)計兩道簡單的函數(shù)與幾何的題目作為搶答題,一方面有助于活躍課堂氣氛,幫助學(xué)生盡快進入課堂學(xué)習(xí),另一方面,讓學(xué)生感悟用函數(shù)模型刻畫幾何圖形面積的方法,并復(fù)習(xí)回顧一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì),為問題2、問題3 的探究提供支持.

5.4 交流研討,問題引路

問題2(2019?山東濰坊)如圖,在矩形ABCD中,AB= 2,BC= 3,動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D.

(1)(自編)動點P運動過程中,ΔADP的哪一邊始終保持不變? 那么動點P沿折線BCD運動的過程中,ΔADP的面積應(yīng)該分哪幾種情況?

(2)(自編)設(shè)點P運動路程為x,ΔADP的面積為y,請寫出每一種情況y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)根據(jù)(2)中的函數(shù)關(guān)系式選出相應(yīng)的函數(shù)圖象( )

師生活動: (1)先讓學(xué)生獨立思考,并通過幾何畫板的動畫演示帶領(lǐng)學(xué)生了解整個運動過程,重疊部分的圖形始終保持底邊AD不變,只有高在變化,學(xué)生容易想到應(yīng)當根據(jù)高的變化情況(即以折點作為分界)進行分類討論;

(2)(3)讓學(xué)生通過小組合作探究,把動態(tài)的三角形變化轉(zhuǎn)化為幾種靜態(tài)的三角形求相應(yīng)的面積,然后根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)選出相應(yīng)的答案.

解答: ①當P在BC上時,如圖.當0 ≤x≤3 時,y= 3,圖象是一條平行于x軸的線段;

②當P在CD上時,如圖,當3

綜上,故選D.

設(shè)計意圖: 從問題1 的靜態(tài)圖形求面積問題過渡到問題2 中的“點動型”求圖形面積問題,先引導(dǎo)學(xué)生看到點動過程中所構(gòu)成圖形面積的不變量,即底邊AD,則面積的變化取決于高的變化,因此我們得到的是一個一次函數(shù)的關(guān)系;根據(jù)高的變化情況進行分類,引導(dǎo)學(xué)生分類討論,把動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為幾種靜態(tài)的求圖形面積的問題.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想.

問 題3(2019? 四川省達州市) 如圖,邊長都為4 的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置,AB與EF在一條直線上,點A與點F重合.現(xiàn)將ΔEFG沿AB方向以每秒1 個單位的速度勻速運動,當點F與B重合時停止.

(1)(自編)在這個運動過程中,正方形ABCD和ΔEFG重疊部分的形狀有幾種可能?

(2)(自編)在每一種情況中,請你寫出相應(yīng)的重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)根據(jù)(2)中的函數(shù)關(guān)系式,請你選出重疊部分的面積S與運動時間t的大致的函數(shù)圖象是( )

師生活動: (1)先讓學(xué)生獨立思考,并通過幾何畫板的動畫演示帶領(lǐng)學(xué)生了解整個運動過程,直觀看到重疊部分的圖形形狀的變化,學(xué)生容易想到應(yīng)根據(jù)圖形形狀進行分情況討論;

(2)(3)讓學(xué)生通過小組合作探究,把動態(tài)的圖形轉(zhuǎn)化為幾種靜態(tài)的圖形求相應(yīng)的面積,然后根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)選出相應(yīng)的答案.

解答: 根據(jù)重疊部分圖形的形狀可分兩種情況:

①重疊部分為三角形,如圖.

②重疊部分為四邊形,如圖.

(2) ①當0 ≤t≤ 2 時,S=· t ·(t·tan 60°) =即S與t是二次函數(shù)關(guān)系,圖象是拋物線,有最小值(0,0),開口向上.

◎過量的牛奶、巧克力、橘子在小兒體內(nèi)可能產(chǎn)生變態(tài)反應(yīng)，使膀胱膨脹，容量減少，并能促使膀胱平滑肌變得粗糙，產(chǎn)生痙攣。

② 當 2< t≤ 4 時,S=×42?(4?t)[(4?t)tan 60°] =(4?t)2,即S與t是二次函數(shù)關(guān)系,開口向下,

故選: C.

設(shè)計意圖: 從問題2 的“點動型”問題過渡到問題3 的“面動型”問題,與問題(2)有所不同的是,問題3 在運動過程中,圖形形狀發(fā)生改變,進而求面積的方法發(fā)生改變,因此應(yīng)該根據(jù)圖形形狀進行分類;同時區(qū)別于問題2 的,問題3 中構(gòu)成的圖形面積,其兩個元素(底和高)都在發(fā)生改變,因此我們得到的是一個二次函數(shù)的關(guān)系.

問題2 與問題3 的設(shè)計都讓學(xué)生感受到,無論是“點動型”還是“面動型”,關(guān)鍵是把動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為幾種靜態(tài)的求圖形面積的問題.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的類比思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想.

5.5 師生交流,總結(jié)提升

問題4(自編): 再深入思考問題2 與問題3,對于動態(tài)問題中的圖象選擇問題,你有沒有更加簡便的方法能快速做出選擇呢?

師生活動: 小組討論,老師到小組中聽取同學(xué)們的見解并適時做出指導(dǎo),討論結(jié)束后,請學(xué)生說出自己的想法.

生1: 對于“點動型”的問題是根據(jù)運動折線的數(shù)量進行分情況的,比如問題2 中沿BCD運動,則有BC和CD兩條折線,因此應(yīng)該分兩種情況討論;而對于“面動型”的問題,則根據(jù)圖形形狀的改變進行分情況.

生2: 我發(fā)現(xiàn)一個很神奇的規(guī)律,因為求圖形面積一般都有兩個元素,比如長方形面積由長和寬兩個元素決定,梯形面積由(上底+下底)以及高兩個元素決定,三角形面積由底和高兩個元素決定,如果這兩個元素中,只有一個元素在變化,那么它的面積就是一個一次函數(shù),圖象是一條直線,比如問題2;如果這兩個元素中,兩個元素都在發(fā)生變化,那么它的面積就是一個二次函數(shù),其圖象就是二次函數(shù),如問題3.

生3: 接著剛剛那位同學(xué)的,我還總結(jié)出一個規(guī)律,如果一個元素在變,在運動過程中,越來越大的則這條直線是上升趨勢的,反之,則是下降趨勢;比如問題2 中,當點P從C運動到D的過程中,高在變小,因此直線是下降趨勢,就可以不用求解析式直接作出選擇;如果兩個元素都在變,在運動過程中,兩個元素變化趨勢一樣,則最終面積所對應(yīng)的拋物線是開口向上的,反之,兩個元素變化趨勢相反,則最終面積所對應(yīng)的拋物線是開口向下的.如問題3 中當0 ≤t≤2 時,重疊三角形的底和高都在變大,因此拋物線的開口向上;當2< t≤4 時,重疊圖形是一個四邊形,這個四邊形可以看作是由一個定值減去一個底和高都在變小的三角形,因此所對應(yīng)的拋物線應(yīng)該開口向下;同時我們也可以把這個四邊形看作是一個梯形加上一個面積固定的直角三角形,梯形的(上底+下底)變小,但是高卻在變大,因此四邊形的面積所對應(yīng)的拋物線應(yīng)該是開口向下的.

設(shè)計意圖: 讓學(xué)生深入探究圖形面積與其元素變化之間的關(guān)系,總結(jié)出解決此類選擇題的技巧,可以不用具體求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式從而準確而快速地作出選擇,即判斷趨勢法:

(1)先分情況,有幾種情況就有幾段圖象;

(2)分析每種情況圖形面積的構(gòu)成元素是有幾個在變化,如果只有一個,則圖象是直線;如果是兩個元素都在變化,則圖象是二次函數(shù);

(3)如果只有一個元素在變化,則圖象的變化趨勢與元素的變化趨勢一致;如果兩個元素都在變,當兩個元素變化趨勢一致時,拋物線開口向上,變化趨勢相反時,拋物線開口向下.

5.6 牛刀小試,運用遷移

(1)(2019?銅仁)如圖,平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,且AC=6,BD=8,P是對角線BD上任意一點,過點P作EF//AC,與平行四邊形的兩條邊分別交于點E、F.設(shè)BP=x,EF=y,則能大致表示y與x之間關(guān)系的圖象為( )

(2) (2019?浙江衢州)如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E是AB的中點,點P從點E出發(fā),沿E →A →D →C移動至終點C,設(shè)P點經(jīng)過的路徑長為x,ΔCPE的面積為y,則下列圖象能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的是( )

(3) (2019? 湖南衡陽) 如圖,在直角三角形ABC中,∠C= 90°,AC=BC,E是AB的中點,過點E作AC和BC的垂線,垂足分別為點D和點F,四邊形CDEF沿著CA方向勻速運動,點C與點A重合時停止運動,設(shè)運動時間為t,運動過程中四邊形CDEF與ΔABC的重疊部分面積為S.則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為( )

(4)(2019 甘肅省天水市)已知點P為某個封閉圖形邊界上一定點,動點M從點P出發(fā),沿其邊界順時針勻速運動一周,設(shè)點M的運動時間為x,線段PM的長度為y,表示y與x的函數(shù)圖象大致如圖所示,則該封閉圖形可能是( )

(5)(2018?萊蕪)如圖,邊長為2的正ΔABC的邊BC在直線l上,兩條距離為1 的平行直線a和b垂直于直線l,a和b同時向右移動(a的起始位置在B點),速度均為每秒1 個單位,運動時間為t(秒),直到b到達C點停止,在a和b向右移動的過程中,記ΔABC夾在a和b之間的部分的面積為S,則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為( )

師生活動: 學(xué)生獨立思考,然后小組討論統(tǒng)一意見,老師給出適當?shù)闹笇?dǎo).

解: (1)解析式法: 當0 ≤x≤4 時,∵BO為ΔABC的中線,EF//AC,∴BP為ΔBEF的中線,ΔBEF∽ΔBAC,解得y=同理可得,當4

故選: A.

判斷趨勢法: 當0 ≤x≤4 時,y只與一個元素x有關(guān),y隨x增大而增大,因此圖象是上升趨勢的一條線段;當4

故選A.

(2)點P是沿E →A →D →C運動,則應(yīng)該分三種情況討論:

①當點P在AE上時,即當0 ≤x≤2 時,ΔCPE的高不變,底邊在變大,因此,圖象是一段上升的線段;

②當點P在AD上時,即當2< x <6 時,可以用鉛錘法求ΔCPE的面積,水平距離不變,鉛錘距離在變大,因此,圖象是一段上升的線段;

③當點P在DC上時,即當6

因此選擇C.

(3)首先根據(jù)重疊圖形的形狀分兩種情況討論:

情況①中的圖形面積等于正方形面積減去直角三角形面積,直角三角形的底和高都在變大,因此情況①的函數(shù)圖象是開口向下的拋物線;

情況②中重疊的圖形是直角三角形,這個直角三角形的底和高都在變小,變化趨勢相同,因此情況②的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線.

故選: C.

(4)首先分情況,y與x的函數(shù)圖象分三個部分,而B 選項和C 選項中的封閉圖形都有4 條線段,其圖象要分四個部分,所以B、C 選項不正確; A 選項中的封閉圖形為圓,開始y隨x的增大而增大,然后y隨x的減小而減小,所以A 選項不正確;D 選項為三角形,M點在三邊上運動對應(yīng)三段圖象,且M點在P點的對邊上運動時,PM的長可用勾股定理求解,如圖所示:

PM長度取決于AM2,當M在P的對邊運動時,AM2相當于兩個AM相乘,它們的運動趨勢是一致的,因此圖象一定是一個開口向上的拋物線.

(5)此題如果用函數(shù)解析式法就會比較復(fù)雜,不妨采取趨勢判斷法:

①如圖,當0 ≤t <1 時,面積S取決于兩個元素: 直角三角形的底和高,這兩個元素都在變大,因此圖象是開口向上的拋物線;

②如圖,當1 ≤t <2 時,面積S等于等邊三角形的面積(定值) 減去兩個直角三角形的面積.而這兩個小直角三角形的底和高都在發(fā)生改變,并且變化趨勢相同,因此圖象是開口向下的拋物線;

③如圖,當2 ≤t <3 時,面積S取決于兩個元素: 直角三角形的底和高,這兩個元素都在變小,因此圖象是開口向上的拋物線.故選: B.

設(shè)計意圖: 設(shè)計(1)是讓學(xué)生感悟到解析式法和趨勢判斷法對于此題都比較容易;設(shè)計(2)(3)是為了讓學(xué)生運用總結(jié)出來的解題技巧嘗試快速解決“點動型”和“面動型”的函數(shù)圖象選擇題;設(shè)計(4)是讓學(xué)生了解我們總結(jié)出來的解題技巧同時也適用于“線動型”的函數(shù)圖形選擇題.三種運動類型的共同點都是先分情況,然后分析所需元素之間的變化關(guān)系,根據(jù)變化趨勢結(jié)合定點排除法,從而選擇出相應(yīng)的函數(shù)圖象;設(shè)計(5)如果用函數(shù)解析式法相對比較復(fù)雜,但是如果采取趨勢判斷法,問題就大大地簡化,讓學(xué)生感悟根據(jù)具體的題目情況采用更簡便的方法,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.