■湖南省湘潭縣第一中學(xué)1 5 0 3班 鐘可依

我們在解題時,常常會碰到一類求幾何體的外接球的表面積、體積問題。經(jīng)過歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn),解決這類問題的關(guān)鍵是找到外接球的球心,而找球心有常見的三類題型。

類型一：外接球的球心即幾何體底面多邊形的外心

解：如圖1,易得S C的中點O是△S A C的外心,O也為幾何體外接球的球心,所以R

圖1

類型二：外接球球心在底面的射影即為底面多邊形的外心

此類題一般先過底面多邊形的外心作底面的垂線,在垂線上設(shè)球心O,構(gòu)造直角三角形,再利用勾股定理求出R。

解：如圖2所示,H為底面A BC D的外心,SH⊥底面A BC D。設(shè)球心為O,在Rt△OBH中,由勾股定理得解得

圖2

圖3

解：由三視圖知幾何體為四棱錐(如圖4)?？稍O(shè)球心O在過外心H的垂線l上,O C=O S=R,ON=HM=1,MN=OH=在R t△O S N中,R2=1+(2選B。

R2-2,S N=2-R2-2。

圖4

類型三：外接球球心即為長方體或正方體的中心

此類幾何體通常由長方體或正方體切割而成,它的外接球就是長方體或者正方體的外接球,球心即為長方體或正方體的中心。

解：如圖5所示,將三棱錐S-A B C置于正方體A B C D-MNE S中,則三棱錐S-A B C的外接球即正方體的外接球。則有=6 π。

圖5

(責(zé)任編輯 徐利杰)