思索地說(shuō)：“銳角三角形！”李老師問(wèn)道：“它一定是銳角三角形嗎？”好多同學(xué)沉默了，但也有幾個(gè)同學(xué)大聲說(shuō)：“剛才都是，現(xiàn)在也一定是！”李老師不慌不忙地抽出這個(gè)三角形。咦，怎么是鈍角三角形？接著，李老師又從信封里露出一個(gè)銳角，這是什么三角形呢？剛才大聲喊的同學(xué)都不吱聲了。李老師再次抽出三角形，咦，這次怎么是直角三角形？李老師不說(shuō)話，教室里鴉雀無(wú)聲。終于，有人舉起了手。徐艷站起來(lái)說(shuō)：“我認(rèn)為只露出一個(gè)銳角的三角形不一定是銳角三角形，因?yàn)槲覀兛吹降倪@個(gè)角雖然是銳角，

夏宇在求解銳角三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，有的同學(xué)由于對(duì)銳角三角函數(shù)的概念理解不清，或運(yùn)用銳角三角函數(shù)定義時(shí)忽略了直角三角形這個(gè)前提條件，或在解題時(shí)考慮問(wèn)題不全面，忽視了要進(jìn)行分類討論，從而走入了解題的誤區(qū).為了避免同學(xué)們也犯相同的錯(cuò)誤，現(xiàn)對(duì)解三角函數(shù)問(wèn)題中的常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行歸納并分析.一、對(duì)銳角三角函數(shù)概念理解不清銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，以比值為因變量的函數(shù).它的概念是在直角三角形中相對(duì)其銳角而定義的，其本質(zhì)是兩條線段長(zhǎng)度的比.因此銳角三角函數(shù)只是一個(gè)比值（數(shù)值

楊春霞“銳角三角函數(shù)”屬于“圖形與幾何”知識(shí)領(lǐng)域，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。很多地方在考查時(shí)不僅要求我們會(huì)利用相似的直角三角形，認(rèn)識(shí)并探索銳角三角函數(shù)，知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，還要求能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。下面將結(jié)合2021年各地中考試題中的三角函數(shù)典型題進(jìn)行分析，著力探尋試題特點(diǎn)，挖掘解題通法，并做分析解讀，希望能給大家一些學(xué)習(xí)啟示。一、考查銳角三角函數(shù)的定義例1 （2021·四川廣元）如圖1，

黃秀旺“銳角三角函數(shù)”是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)第七章的內(nèi)容。在此之前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，但很多同學(xué)感到銳角三角函數(shù)與以上函數(shù)不同，或者說(shuō)并沒(méi)有體會(huì)到銳角三角函數(shù)應(yīng)有的函數(shù)之義，而是把銳角的正弦、余弦、正切當(dāng)成數(shù)學(xué)公式了。接下來(lái)，我們將再次認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)。一、函數(shù)與銳角三角函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教材中的設(shè)置函數(shù)是刻畫(huà)客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律用不同的函數(shù)來(lái)刻畫(huà)?！昂瘮?shù)”是2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代

三角形一定是銳角三角形。錯(cuò)在哪兒，我來(lái)說(shuō)……顧玲雅：根據(jù)銳角三角形的定義，三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形。題中的三角形只露出了一個(gè)銳角，其他兩個(gè)角并沒(méi)有露出，就這樣斷定這是一個(gè)銳角三角形是不對(duì)的。茅佳寶：我們可以試著把這個(gè)三角形畫(huà)出來(lái)，看看能不能畫(huà)出一些不同的三角形。看圖1，我就畫(huà)出了一個(gè)銳角三角形。而圖2，我又畫(huà)出了一個(gè)直角三角形……許程媛：對(duì)啊，我還能畫(huà)出一個(gè)鈍角三角形?？次耶?huà)的圖3。黃子陽(yáng)：根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”來(lái)推算，可以判斷各種情況都

課標(biāo)，對(duì)初中銳角三角函數(shù)的教學(xué)要求是掌握銳角范圍內(nèi)三角函數(shù)的正弦、余弦及正切三類函數(shù)的定義及基本性質(zhì)，并能夠熟練使用特殊角的三角函數(shù)值，能夠結(jié)合基礎(chǔ)知識(shí)解決一系列簡(jiǎn)單的銳角三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，初中數(shù)學(xué)教師普遍反映學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的理解存在很多問(wèn)題，對(duì)其具體定義及性質(zhì)的理解不夠深入.本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)過(guò)程中常見(jiàn)易錯(cuò)題型開(kāi)展解析研判，深化學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的認(rèn)知.一、對(duì)銳角三角函數(shù)概念理解不透徹中學(xué)函數(shù)的定義是：在變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如

三角形是不是銳角三角形？”感到非常的困惑，于是相約去請(qǐng)教數(shù)學(xué)“小博士”圓圓?！坝幸粋€(gè)角是銳角的三角形是不是銳角三角形？”皮皮迫不及待地拋出了困在心里的數(shù)學(xué)問(wèn)題。圓圓不緊不慢地說(shuō)：“你們先仔細(xì)想一想?！薄坝幸粋€(gè)角是直角的三角形是直角三角形，有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形，有一個(gè)角是銳角的三角形當(dāng)然是銳角三角形?！迸峙肿匝宰哉Z(yǔ)道?！笆菃?？”圓圓不肯定，也不否定，邊問(wèn)邊畫(huà)出了如下三個(gè)三角形。“你們看一看，這三個(gè)三角形哪個(gè)是銳角三角形？哪個(gè)是直角三角形？哪個(gè)是

分類可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。那么，下面的三角形都被一張紙遮住了一部分，你能確定它們各是什么三角形嗎？【伙伴出手】晶晶說(shuō)：“第一個(gè)我知道，露出來(lái)的是一個(gè)鈍角，那么它是一個(gè)鈍角三角形?！睔g歡說(shuō)：“第二個(gè)我也會(huì)判斷，露出來(lái)的是一個(gè)直角，那么它是一個(gè)直角三角形。”迎迎說(shuō)：“第三個(gè)三角形中露出來(lái)的是一個(gè)銳角，那么它就是一個(gè)銳角三角形?！蹦菽葸B忙糾正道：“不對(duì)，不對(duì)。圖中僅看到一個(gè)銳角是沒(méi)辦法確定它是一個(gè)銳角三角形的。銳角三角形應(yīng)該是三角形內(nèi)的三個(gè)

楊紅萍銳角三角函數(shù)是搭建實(shí)際生活與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的重要橋梁，它將生活問(wèn)題中的邊與角用數(shù)學(xué)中的邊角數(shù)量關(guān)系形式體現(xiàn)，充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合的思想方法。銳角三角函數(shù)也是中考中的一個(gè)熱門(mén)考點(diǎn)，因?yàn)樗鼞?yīng)用廣泛，解法靈活，所以，在解決有關(guān)三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，我們要根據(jù)已知條件，結(jié)合已有圖形或畫(huà)出圖形，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?。本文就有關(guān)銳角三角函數(shù)考題中的幾個(gè)板塊來(lái)進(jìn)行歸納，并對(duì)方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。

文 /武乾俊銳角三角函數(shù)是各地中考的必考內(nèi)容，現(xiàn)把銳角三角函數(shù)中的易錯(cuò)題列舉出來(lái)，供你學(xué)習(xí)時(shí)參考．一、銳角三角函數(shù)的概念不清例1 如圖1，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長(zhǎng)度之比為（ ）.錯(cuò)因診斷：對(duì)邊與斜邊的比值是這個(gè)角的正弦．圖1二、在直角三角形中，誤認(rèn)為∠C一定是直角例 2在Rt△ABC中，∠A=90°，，AC=6，則AB=（ ）.A.4 B.6 C.8 D.10錯(cuò)因診斷：因?yàn)椤螦=90°，所以BC

學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來(lái)刻畫(huà)的.本節(jié)引入單位圓，用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù).具體做法是：在學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系，在直角坐標(biāo)系中考查銳角三角函數(shù)，得出用角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)（比值）表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論，然后再“特殊化”引出用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上，再定義任意角的三角函數(shù).要達(dá)到以下目標(biāo)：給定角或角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，能計(jì)算出角的三角

第16題：在銳角三角形ABC中，sinA=4cosBcosC，則tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值為 .解答錯(cuò)了,錯(cuò)在哪兒?當(dāng)tanA=1時(shí),又tanB+tanC=4,代入tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,得5=tanBtanC,把tanB=4-tanC代入得tan2C-4tanC+5=0,(tanC-2)2+1=0,tanC無(wú)解,所以取不到最小值9.解答錯(cuò)了,錯(cuò)在哪兒?當(dāng)tanBtanC=5時(shí),又tanB+

文衛(wèi)正確理解銳角三角函數(shù)的定義是學(xué)好銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)，如果對(duì)銳角三角函數(shù)中的邊、角、形概念及相互關(guān)系理解不準(zhǔn)確，就會(huì)出現(xiàn)諸多錯(cuò)誤，如特殊角的三角函數(shù)值混淆，或在非直角三角形中想當(dāng)然直接求解，或?qū)忣}思路不清，或思考不周全、分類不全面等.現(xiàn)對(duì)一些常見(jiàn)的因概念理解不清產(chǎn)生的錯(cuò)誤解答加以剖析.一、忽略直角三角形存在性【啟示】像這樣已知兩邊和其中一邊對(duì)角的三角形，其形狀不唯一，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往忽略高在三角形外，即第二種情況.恰當(dāng)應(yīng)用分類討論思想是解決此題的關(guān)鍵.

劉春陽(yáng)銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，其涉及的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法較多.下面就三角函數(shù)的難點(diǎn)和解決問(wèn)題的辦法進(jìn)行解讀，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.【難點(diǎn)】銳角三角函數(shù)正弦的概念.【解析】在Rt△ABC中，根據(jù)正弦的概念可知sin∠BCA等于∠BCA的對(duì)邊與斜邊的比，即sin∠BCA=[ABBC]，所以sin29°=[AB3.5]，AB=3.5sin29°（米）.【答案】選A.難點(diǎn)二 特殊角的三角函數(shù)值【難點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.【解析

魏祥勤銳角三角函數(shù)一章主要考點(diǎn)分銳角三角函數(shù)的計(jì)算、銳角三角函數(shù)與幾何圖形的綜合以及銳角三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用等，常常聯(lián)系直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、四邊形、圓以及三角形的相似等.近幾年出現(xiàn)一些與銳角三角函數(shù)有關(guān)的閱讀材料問(wèn)題，所考查的知識(shí)點(diǎn)與高中階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容有關(guān)，問(wèn)題常常以閱讀材料的形式出現(xiàn)，題目中給定解決問(wèn)題的思路與方法，下面結(jié)合中考試題分類解析，供同學(xué)們參考.endprint

教材中沒(méi)有將銳角三角函數(shù)分列到函數(shù)領(lǐng)域，但是銳角三角函數(shù)的名稱和數(shù)學(xué)本質(zhì)都明確地體現(xiàn)出函數(shù)的味道。通過(guò)問(wèn)卷的方式，對(duì)九年級(jí)學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解情況進(jìn)行調(diào)查，并分析部分學(xué)生不理解銳角三角函數(shù)中的自變量和因變量以及對(duì)應(yīng)關(guān)系，不能區(qū)分銳角三角函數(shù)與已學(xué)函數(shù)之間異同。[關(guān)鍵詞] 銳角三角函數(shù)；調(diào)查研究在日常教學(xué)中，初中數(shù)學(xué)教師普遍反映初中學(xué)生學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)比較困難，特別是對(duì)于三角函數(shù)概念的理解更顯得困難。同時(shí)初中數(shù)學(xué)教師也反映學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)理解存在很

條線段能構(gòu)成銳角三角形.證法1不妨設(shè)0≤a≤b≤c，只要考慮最大邊的對(duì)角C為銳角即可.cosC=（a）2+（b）2-（c）22ab=a+b-c2ab.因?yàn)閍，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，所以a+b>c，所以cosC>0，所以角C為銳角，即構(gòu)成銳角三角形.所以長(zhǎng)為a，b，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形.文[1]認(rèn)為，以上解題不完整.因?yàn)槿龡l線段構(gòu)成銳角三角形要滿足兩個(gè)條件：①三條邊滿足三角形邊長(zhǎng)關(guān)系；②最長(zhǎng)邊的對(duì)角是銳角.顯然解法1只驗(yàn)證了第二個(gè)條件，而缺少第一個(gè)

8）成果.《銳角三角函數(shù)》是人教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)中很重要的一章，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一章內(nèi)容時(shí)常常出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.現(xiàn)在筆者將學(xué)生出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤歸類如下：一、對(duì)銳角三角函數(shù)概念理解不正確1. 把△ABC的三邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則銳角A的正切值（ ）.A. 不變 B. 縮小為原來(lái)的C. 擴(kuò)大為原來(lái)的3倍 D. 不能確定錯(cuò)解：C錯(cuò)因分析：沒(méi)有正確理解銳角三角函數(shù)的概念而出錯(cuò).正解：A事實(shí)上，銳角三角函數(shù)值是直角三角形中邊與邊的比值.當(dāng)直角三角形的各邊都擴(kuò)大

若△ABC為銳角三角形，則A1=π-2A,B1=π-2B,C1=π-2C，其中A1、B1、C1為△ABC的垂足三角形△A1B1C1的內(nèi)角；(2)若△ABC為直角三角形，則△ABC無(wú)垂足三角形；(2)若△ABC中C為鈍角且其i階垂足三角形△AiBiCi中C1也為鈍角，其中i=1,2,…,n(n∈N*)，則Ci=(C-π)·2i+π,i=1,2,3,…,n(n∈N*).證明：(1)∵△ABC為銳角三角形且其i階垂足△AiBiCi也為銳角三角形，其中i=1,2,

角形的知識(shí)和銳角三角函數(shù)知識(shí)設(shè)計(jì)測(cè)量方案，通過(guò)測(cè)量和計(jì)算，解決一些不能直接測(cè)量的實(shí)際問(wèn)題（如物體的高度等）.（2） 掌握勾股定理及其逆定理，會(huì)應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.2. 銳角三角函數(shù)（1） 認(rèn)識(shí)直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)（sinA、cosA、tanA）；掌握并靈活運(yùn)用30°、45°、60°角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角.（蘇州市中考要求不使用計(jì)算器）（2） 知道三個(gè)銳角三

吳克桃銳角三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法（解直角三角形）解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的一類典型問(wèn)題，學(xué)習(xí)這類問(wèn)題有助于學(xué)生樹(shù)立“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，對(duì)于圖形問(wèn)題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中識(shí)別和構(gòu)造出基本圖形及基本圖形關(guān)系，從而建構(gòu)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，筆者教授蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)“銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”時(shí)，就嘗試啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，提煉出相關(guān)銳角三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本圖形，總結(jié)出解決這一類問(wèn)題的通法，但在課后

三正數(shù)可構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的幾個(gè)等價(jià)命題●鄭慧娟(廣州大學(xué)附屬中學(xué) 廣東廣州 510050)●吳康(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)熟知對(duì)任意正數(shù)a，b，c可構(gòu)成三角形的等價(jià)條件為a+b>c，b+c>a，c+a>b.判定3個(gè)正數(shù)是否可作為三角形3條邊的等價(jià)命題很多，例如：正數(shù)a，b，c可構(gòu)成三角形的等價(jià)條件有：(2)2ab>|a2+b2+c2|；本文對(duì)任意正數(shù)a，b，c能構(gòu)成銳角三角形3條邊長(zhǎng)的等價(jià)條件進(jìn)行探索，并得到了以下幾個(gè)等價(jià)命題