孫牟昕+景敏

[摘 要] 在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和各版本教材中沒有將銳角三角函數(shù)分列到函數(shù)領(lǐng)域，但是銳角三角函數(shù)的名稱和數(shù)學(xué)本質(zhì)都明確地體現(xiàn)出函數(shù)的味道。通過問卷的方式，對(duì)九年級(jí)學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解情況進(jìn)行調(diào)查，并分析部分學(xué)生不理解銳角三角函數(shù)中的自變量和因變量以及對(duì)應(yīng)關(guān)系，不能區(qū)分銳角三角函數(shù)與已學(xué)函數(shù)之間異同。

[關(guān)鍵詞] 銳角三角函數(shù)；調(diào)查研究

在日常教學(xué)中，初中數(shù)學(xué)教師普遍反映初中學(xué)生學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)比較困難，特別是對(duì)于三角函數(shù)概念的理解更顯得困難。同時(shí)初中數(shù)學(xué)教師也反映學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)理解存在很多問題。為全面了解初中生學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)時(shí)的困難，以及困難產(chǎn)生的原因，我們進(jìn)行了本次抽樣調(diào)查。同時(shí)也希望通過本次調(diào)查，能夠?qū)ふ液痛_定合理教學(xué)要求，適度調(diào)整教與學(xué)方式方法，從而使學(xué)生高水平地理解三角函數(shù)概念。

一、關(guān)于銳角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)

在相似的直角三角形中，當(dāng)銳角大小確定以后，直角三角形中某兩邊的比值就隨之確定，且有唯一比值與之對(duì)應(yīng)。這就是說，針對(duì)每一個(gè)銳角，都有唯一一個(gè)數(shù)值與它對(duì)應(yīng)。基于初中階段的函數(shù)定義：“設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量X與Y，如果對(duì)于X的每一個(gè)值，Y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說X是自變量，Y是X的函數(shù)”，銳角三角函數(shù)符合初中階段函數(shù)定義。但與一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)相比，銳角三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)。其特殊性主要體現(xiàn)在對(duì)應(yīng)關(guān)系及其表示方式上。例如，一次函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系中，函數(shù)值是通過對(duì)自變量的代數(shù)運(yùn)算得到的，并且這種對(duì)應(yīng)關(guān)系直接借助于該運(yùn)算表達(dá)式進(jìn)行表示。而銳角三角函數(shù)的函數(shù)值不是通過對(duì)自變量（角度）的代數(shù)運(yùn)算表達(dá)式來表示，而是依托于直角三角形，通過確定與該角具有某種位置關(guān)系的某兩邊的比值得到的，并且使用比較抽象的符號(hào)表示某兩個(gè)邊的比值，且不同兩邊比值采用不同符號(hào)。

二、研究方法

（一）樣本

調(diào)查樣本選自三所學(xué)校，其中兩所學(xué)校是遼寧省課程改革示范校，共從中隨機(jī)選取九年級(jí)四個(gè)班的147名學(xué)生；另一所學(xué)校是鞍山市城鄉(xiāng)結(jié)合部某普通初中，從中隨機(jī)選取九年級(jí)一個(gè)班級(jí)的29名學(xué)生。由于這三所學(xué)校都采取了陽光分班，因此，這樣選擇調(diào)查樣本保障了樣本的代表性。

此外，調(diào)查的時(shí)間選擇在學(xué)生均已學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和銳角三角函數(shù)。

（二）調(diào)查工具

根據(jù)調(diào)查目的——調(diào)查學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解水平，將問卷分為以下三個(gè)方面：學(xué)生對(duì)函數(shù)基本概念的理解，對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解和銳角三角函數(shù)與其他函數(shù)的差異。為了考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解情況，我們要求學(xué)生寫出函數(shù)的概念。為了考查學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)本質(zhì)的理解，問卷中設(shè)計(jì)了三個(gè)題目。一個(gè)是“你認(rèn)為銳角三角函數(shù)的本質(zhì)體現(xiàn)了什么”并給出三個(gè)選項(xiàng)，意在考查學(xué)生在有錯(cuò)誤選項(xiàng)的干擾下能否選出銳角三角函數(shù)的本質(zhì)描述。第二個(gè)題目是“只要角的大小確定了，那么這個(gè)角的三角函數(shù)值的大小也就確定了，請(qǐng)問你同意這種說法嗎？并寫出理由”，意在考查學(xué)生在特定情境下能否準(zhǔn)確表述出銳角三角函數(shù)的本質(zhì)。第三個(gè)題目是關(guān)于表達(dá)式中自變量與因變量的區(qū)分，目的為了考查學(xué)生在三角函數(shù)正弦表達(dá)式中能否準(zhǔn)確運(yùn)用函數(shù)的概念區(qū)分出自變量與因變量。此外，問卷中第四題讓學(xué)生敘述銳角三角函數(shù)與其他函數(shù)的不同，意在調(diào)查學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的整理程度。在問卷題目的設(shè)計(jì)與修改過程中，我們對(duì)特級(jí)教師和數(shù)學(xué)教育研究者進(jìn)行了訪談，尋求建議，經(jīng)過反復(fù)修改最終確定了問卷的有效性。

三、調(diào)查結(jié)果

本次調(diào)查回收問卷176份，有效問卷161份，整理后得到以下數(shù)據(jù)。

（一）學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解水平

試卷中第三題是對(duì)學(xué)生函數(shù)概念理解水平的考查，要求學(xué)生寫出函數(shù)的概念，學(xué)生的答案基本分為四類，如表1所示：

9.3%的學(xué)生能正確書寫出函數(shù)的概念“設(shè)在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量X與Y，如果對(duì)于X的每一個(gè)值，Y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說X是自變量，Y是X的函數(shù)”。有42.9%名學(xué)生的答案中提到“變量”這一詞，例如，有學(xué)生寫到“函數(shù)就是兩個(gè)變量之間的關(guān)系”或“函數(shù)是變量X與變量Y的變化過程” 。但沒有進(jìn)一步說明對(duì)應(yīng)關(guān)系指的是什么，等等?？梢?，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解的準(zhǔn)確程度很低。還有一部分學(xué)生，雖然知道函數(shù)概念，但在表述上不準(zhǔn)確不完整。

（二）學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)本質(zhì)的理解

試卷中第二題、第五題和第六題考查了學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)本質(zhì)的理解。第二題設(shè)計(jì)為“你認(rèn)為銳角三角函數(shù)的本質(zhì)體現(xiàn)了什么？”，并給出表2中的三個(gè)選項(xiàng)，其中C為正確答案。數(shù)據(jù)如表2所示：

從上題可以看出，學(xué)生正確選出銳角三角函數(shù)的概念的人數(shù)比較多。但仍舊有27.3%的學(xué)生不理解銳角三角函數(shù)的概念，分不清銳角三角函數(shù)中是哪兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

第五題是考查學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)本質(zhì)理解的判斷題，題目設(shè)計(jì)為“只要角的大小確定了，那么這個(gè)角的三角函數(shù)值的大小也就確定了，請(qǐng)問你同意這種說法嗎？并寫出理由”正確答案應(yīng)是同意該說法。數(shù)據(jù)如表3所示：

從表3我們可以看出，學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)本質(zhì)的理解水平較低，只有20.5%的學(xué)生正確判斷并寫出自己的理由。例如，回答正確的學(xué)生提到“因?yàn)槿呛瘮?shù)值是直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊和鄰邊的比，跟三角形的大小無關(guān)”或“大小不同的三角形是相似三角形，所以對(duì)應(yīng)邊成比例，只要角一定，邊長比就一定”。無法表述原因或完全錯(cuò)誤的學(xué)生占了大多數(shù)（79.5%）。

卷中第六題設(shè)計(jì)為關(guān)于表達(dá)式中自變量與因變量的區(qū)分，數(shù)據(jù)如表4所示：

本題為問答題，正確答案為∠A是自變量，是因變量。從問卷上可以看出還是有16.8%的學(xué)生能夠區(qū)分自變量與因變量的，說明這些學(xué)生理解銳角三角函數(shù)中函數(shù)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而其余學(xué)生（83.2%）將邊長或∠A的正弦值當(dāng)作變量的情況值得我們注意。

（三）關(guān)于學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)與其他函數(shù)的區(qū)分

問卷中第四題考察了學(xué)生是否能準(zhǔn)確區(qū)分銳角三角函數(shù)與其他函數(shù)的不同，請(qǐng)學(xué)生寫出關(guān)于銳角三角函數(shù)與其他函數(shù)的區(qū)別，數(shù)據(jù)如表5所示：

本題為問答題，請(qǐng)學(xué)生寫出銳角三角函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別。學(xué)生的答案可分為三類：“表達(dá)式不同”、“銳角三角函數(shù)是在固定的圖形中解決問題”、完全錯(cuò)誤。數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生在學(xué)習(xí)初中階段涉及到的各種類型函數(shù)后，對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系程度較低，其表現(xiàn)是74.5%的學(xué)生說不出各個(gè)函數(shù)間的相同與不同之處。

四、討論

通過問卷調(diào)查，本次研究得到的結(jié)論是，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解水平較低，部分學(xué)生不理解銳角三角函數(shù)本質(zhì)，大部分學(xué)生不能找出各個(gè)函數(shù)之間的不同之處。下面我們將從三個(gè)方面來分析學(xué)生產(chǎn)生問題的原因。

從銳角三角函數(shù)的表達(dá)式方面來看，由于給三種銳角三角函數(shù)賦予了特定的符號(hào)（sin、cos、tan）。這三個(gè)符號(hào)在一定程度上沒能夠直觀地給學(xué)生所謂的解析式的印象，隱去了函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，即不能像一次函數(shù)那樣直接呈現(xiàn)函數(shù)與自變量的關(guān)系，使得學(xué)生理解銳角三角函數(shù)中的函數(shù)與自變量的關(guān)系變得困難。

從教材編排看，部分教材將《銳角三角函數(shù)》這節(jié)課放在一次函數(shù)、反比例函數(shù)甚至是二次函數(shù)之后出現(xiàn)，因此，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)三角函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移，即導(dǎo)致學(xué)生誤認(rèn)為函數(shù)總是可以用X的解析式來表達(dá)的思維定式，從而影響了學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的理解。這種思維定式直接導(dǎo)致部分學(xué)生分不清銳角三角函數(shù)中的自變量和因變量，使得學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)本質(zhì)的理解出現(xiàn)困難。

從教師授課方面來看，教師沒有從函數(shù)概念的高度引導(dǎo)學(xué)生理解銳角三角函數(shù)，沒有說明銳角三角函數(shù)是明顯地存在“對(duì)應(yīng)”關(guān)系的函數(shù)，更多的是關(guān)注特殊角度所對(duì)應(yīng)的兩邊比值。這樣可能會(huì)導(dǎo)致一部分學(xué)生無法理解銳角三角函數(shù)的本質(zhì)及與其他函數(shù)之間的不同之處。同時(shí)，大部分教師在講授函數(shù)部分知識(shí)的時(shí)候，重視習(xí)題練習(xí)要多于給學(xué)生傳授函數(shù)思想的應(yīng)用，這樣會(huì)弱化學(xué)生在函數(shù)概念和函數(shù)思想上的認(rèn)識(shí)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]石瑛.九年級(jí)學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的認(rèn)知[D].華東師范大學(xué)，2009.

[2]濮安山.初中生函數(shù)概念發(fā)展研究[D].東北師范大學(xué)，2011.

（責(zé)任編輯：張華偉）