黃 雨 顧 飛

(安徽省淮南第二中學(xué))

球是高中立體幾何中非常重要的幾何體之一,也是最優(yōu)美的空間幾何體之一.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著球及其外接圓柱,這是其最得意的圖形,可見(jiàn)球是受到了大數(shù)學(xué)家的青睞.關(guān)于空間幾何體外接球和內(nèi)切球的問(wèn)題,是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).為了有效解決這一問(wèn)題,一線數(shù)學(xué)教師構(gòu)建了很多模型來(lái)解決球的問(wèn)題,例如,墻角模型、漢堡模型、斗笠模型、切瓜模型等,通過(guò)構(gòu)建不同的模型解決各種球的問(wèn)題,但是模型太多,方法太雜.

1.知識(shí)背景

1.1 球的性質(zhì)

性質(zhì)1:用一個(gè)平面去截球,其截面圖形是圓;

性質(zhì)2:球心與截面圓圓心的連線垂直于截面;

性質(zhì)3:球的半徑為R,截面圓的半徑為r,球心到截面圓圓心的距離為d,則R2=d2+r2(如圖).

1.2 三角形外接圓

外接圓圓心:三角形三邊中垂線的交點(diǎn)即是三角形外接圓圓心,簡(jiǎn)稱(chēng)外心.

2.知識(shí)深化

由性質(zhì)1可知,O1就是多邊形的外心.

由性質(zhì)2可知,OO1⊥平面O1,反過(guò)來(lái),過(guò)O1且垂直于平面O1的直線一定經(jīng)過(guò)球心O.那么,我們選取兩個(gè)截面,分別過(guò)兩個(gè)截面的圓心O1,O2,作各自平面的垂線,則這兩條垂線的交點(diǎn)就是球心O,如圖1.

圖1

凝練:選取多面體的兩個(gè)平面,找兩個(gè)面多邊形的外心,分別過(guò)兩面多邊形的外心作各自面的垂線,兩垂線的交點(diǎn)是球心.

特殊情況:

推論一:如圖2,如果兩面多邊形的外心重合,那么這個(gè)外心就是球心.

圖2

推論二:如圖3,如果過(guò)一個(gè)面外心的垂線經(jīng)過(guò)另一個(gè)面的外心,那么另一個(gè)面的外心就是球心.

圖3

3.知識(shí)運(yùn)用

3.1 特殊情況1

【例1】中國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑.如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體,已知三棱錐P-ADE為鱉臑,且PA⊥平面ABCE,AB=AD=2,ED=1,該鱉臑的外接球的表面積為9π,則陽(yáng)馬的外接球的體積為

( )

【答案】D

【注】本題滿(mǎn)足推論一,可以直接確定球心的位置.

( )

A.5π B.13π C.6π D.14π

【答案】A

【解析】由題意得△PAB,△PCB均為直角三角形,則外心均為PB的中點(diǎn),故PB即為三棱錐P-ABC的外接球的直徑.

設(shè)PA=a,PC=c,

3.2 特殊情況2

( )

【答案】D

【注】本題滿(mǎn)足推論二,過(guò)一個(gè)平面的外心O1的垂線經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的外心O,這個(gè)外心O即為球心.特別注意,作平面的垂線一定要有參考線,本題參考線是PA.

【例4】(2021·A10聯(lián)盟高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考)如圖,在幾何體ABCDEF中,底面ABCD是正方形,EF∥平面ABCD,EF=4,其余棱長(zhǎng)都為2,則這個(gè)幾何體的外接球的體積為

( )

【答案】D

【注】本題可以采用兩種特殊情況來(lái)快速解決,也可以采用一般情況來(lái)解決,下文我會(huì)詳細(xì)介紹一般情況的解決方法.等腰梯形、正方形的外心也是我們所熟知的內(nèi)容,要根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系確定其外心的位置.

3.3 一般情況

對(duì)于一般情況,需要確定兩個(gè)平面多邊形的外心,過(guò)外心分別作各自平面的垂線.那么這兩個(gè)面的選取要有可行性,要能確定其外心及垂線的位置.

( )

【答案】A

【注】選取的兩個(gè)平面圖形要滿(mǎn)足兩個(gè)條件,一是能夠確定外接圓圓心的位置及半徑,二是作垂線時(shí)要找到與平面垂直的直線作為參考線,這樣作出的垂線才能求解.本題稱(chēng)為切瓜模型,我們拋開(kāi)模型,從球的性質(zhì)出發(fā),仍能很好地解決.

【例6】(《立體幾何的秘密》 蘇立標(biāo) 編著)如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),將△ADE,△EBF,△FCD分別沿DE,EF,FD折起,使得A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′.若點(diǎn)G及四面體A′DEF的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則以△FDE為底面的三棱錐G-DEF的高h(yuǎn)的最大值為

( )

【答案】A

【解析】解法一:設(shè)外接球的球心為O,球的半徑為R,折疊后滿(mǎn)足墻角模型.

解法二:如圖,過(guò)△A′EF的外心O1作A′D的平行線,過(guò)△A′DF的外心O2作A′E的平行線,兩線交于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為外接球球心.

【注】本題可用墻角模型來(lái)解決.我們也可以?huà)侀_(kāi)模型,就從球的基本性質(zhì)出發(fā),牢牢抓住本質(zhì),反而更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

4.知識(shí)總結(jié)

4.1 淡化模型教學(xué),注重知識(shí)本質(zhì)

立體幾何的教學(xué)離不開(kāi)實(shí)物或模型,空間想象也不是憑空產(chǎn)生的,都是在實(shí)物或模型的基礎(chǔ)上抽象出來(lái)的.但是我們不能只認(rèn)識(shí)實(shí)物或模型,實(shí)物或模型總是有限的,而空間幾何體是無(wú)限的、千變?nèi)f化的.要使同學(xué)通過(guò)對(duì)有限實(shí)物或模型的觀察、體驗(yàn),抽象出對(duì)于一般幾何圖形的空間觀念.

模型化的解題通常是一題一法,不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解,教師教學(xué)中一定要抓住球的本質(zhì)屬性,強(qiáng)調(diào)通性通法,力求用最本質(zhì)的方法解決更多的問(wèn)題.

4.2 平面多邊形的選取一定要有可行性

第一,選取的平面多邊形的外心能夠確定位置.可以選取直角三角形、等邊三角形等特殊多邊形,如果是一般三角形,可以選取邊角等元素已知的三角形,方便確定外接圓圓心的位置.

(本文系2021年度安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目《基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程建設(shè)下的高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的培養(yǎng)與評(píng)價(jià)研究》編號(hào)(JK21099)的階段性研究成果)