汪本旺

(浙江省湖州市安吉縣孝豐高級中學(xué))

放縮法證明數(shù)列不等式歷來是高考數(shù)學(xué)的難點,在高考數(shù)列試題中經(jīng)常扮演拉開差距的角色.由于放縮法靈活多變,技巧性要求較高,所謂“放大一點點則太大,縮小一點點則太小”,這就讓許多學(xué)生很茫然,找不到頭緒,摸不著規(guī)律,覺得高不可攀.如何找到放縮的“橋梁”,如何把握放縮的度,使得放縮“恰到好處”,是力求一步到位就能完成問題證明的關(guān)鍵.本文對三種類型的數(shù)列,用同一種思維——待定系數(shù),巧妙地解決適度放縮問題.

一、問題背景

在2020年11月浙江省湖州市期末第一次聯(lián)考考試中,出現(xiàn)一題數(shù)列解答題,題目如下(節(jié)選):

(Ⅰ)求a2,a3的值,并寫出數(shù)列{an}的通項公式;

該題第(Ⅱ)問最終統(tǒng)計結(jié)果基本全軍覆沒,課后通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生花了很多時間但最終還是未能解決該題,本文先給出第(Ⅱ)問的官方解析:

通過目標值或目標式的分析常常能得到放縮的路徑.本文就近年來高考中常考的三種有通項的數(shù)列不等式問題,談?wù)劥譁\的思考.

二、基本類型

1.分母為二次函數(shù)型

1.1 案例分析

1.2 思維策略

1.2.2 目標值指引

1.2.3 驗證不等式

1.3 知識運用

（b）I borrowed the book from the libraryI can keep for a week.

即證8(n+1)(2n+1)>(4n+1)(4n+5),

即證8n+5>0,該不等式顯然成立,命題得證.

【點評】普通學(xué)生初次接觸此類題,是很難做到精準放縮的.本文所述的“待定系數(shù)法”,突破了此類問題學(xué)生找不到思路的瓶頸.而更一般的放縮“通項公式”(*),引導(dǎo)學(xué)生將一項分裂為兩項,而且此兩項必為同一新數(shù)列的連續(xù)兩項,從而為后續(xù)的消項作好了準備.這對于學(xué)生深刻理解數(shù)列裂項求和的本質(zhì)是非常有幫助的.

2.分母為指數(shù)型

2.1 案例分析

對于例2,可以嘗試上述所講的方法解決,但是能否有一種本質(zhì)的方法一次性解決這兩個問題呢?由于通項為指數(shù)型,而指數(shù)型又與等比數(shù)列有密切聯(lián)系,那么是否可以嘗試放縮到等比數(shù)列呢?為了控制放縮的精度,引入待定正系數(shù)k,即構(gòu)造如下放縮“通項公式”:

事實上,當n=1時,2n-1=3n-1,當n≥2時,2n-1<3n-1.

那么,對(Ⅰ)的證明可以稍作調(diào)整,如下:

當n=1時,不等式恒成立;

在(Ⅱ)中,作如下考慮,保留第一項,從第二項開始待定系數(shù)放縮,

事實上,當n=2時,2n-2=3n-2,當n≥3時,2n-2<3n-2.

那么,對(Ⅱ)的證明可以稍作調(diào)整,

當n=1,2時,不等式恒成立;

2.2 思維策略

2.2.1 算法式模式

2.2.2 目標值指引

2.2.3 驗證不等式

把2.2.2中算出的k帶入不等式ai

2.3 知識運用

那么從第二項開始放縮:

證明:當n=1,2時,不等式顯然成立;

3.分母為根式型

回歸問題背景,選擇調(diào)和不等式的確非常簡單,但是對學(xué)生來說,實在是技術(shù)含量較高,那么對于該類問題,能否找到一種直接明了,更加本質(zhì)的方法呢?

3.1 案例分析

3.2 思維策略

3.2.1 算法式模式

3.2.2 目標值指引

3.2.3 驗證不等式

3.3 回歸背景

根據(jù)思維策略,對于問題背景中的問題,做如下分析:

證明:當n=1時,不等式恒成立;

三、結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮問題上,巧妙的應(yīng)用待定系數(shù)法優(yōu)化解題思路,找到問題本質(zhì),將原本高不可攀的問題簡單化、程式化.在高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮問題教學(xué)中,有效地滲透此類方法,能夠有效地解決學(xué)生在解題中解題無思路、方法選用不當導(dǎo)致放大或放小、準確率低下等問題.