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條件概率和全概率公式
——高考數(shù)學(xué)命題新的增長點(diǎn)

2023-08-09 09:09
關(guān)鍵詞:交匯餐廳球隊(duì)

張 濤

(山東省泰安長城中學(xué))

條件概率和全概率公式是概率中的重要內(nèi)容之一,也是新高考考查的重點(diǎn),尤其在2022年新高考Ⅰ卷解答題中條件概率的“閃亮登場(chǎng)”,不但給人清新之感,而且條件概率和全概率公式的應(yīng)用成為高考的熱點(diǎn),可以預(yù)測(cè)條件概率和全概率公式的應(yīng)用問題將成為2023年乃至以后新高考卷命題新的增長點(diǎn).為此,本文以高考或各地模擬考試中的有關(guān)試題為例,來探究條件概率和全概率公式以及與其他知識(shí)的交匯問題,旨在探索題型規(guī)律,供教師與學(xué)生參考.

一、條件概率和全概率公式

1.條件概率

2.全概率公式

全概率公式的解題步驟是:

①設(shè)出所有的條件事件分別為Ai;

②設(shè)出所求概率的事件為B;

③代入全概率公式求解.

二、條件概率和全概率公式與其他知識(shí)的交匯應(yīng)用

1.與頻率分布直方圖的交匯

【例1】(2023·云南大理、麗江、怒江第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè))足球運(yùn)動(dòng),最早的起源在中國.在春秋戰(zhàn)國時(shí)期,就出現(xiàn)了“蹴鞠”或名“塌鞠”.某足球俱樂部隨機(jī)抽查了該地區(qū)100位足球愛好者的年齡,得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

(Ⅰ)估計(jì)該地區(qū)足球愛好者的年齡;(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(Ⅱ)估計(jì)該地區(qū)足球愛好者年齡位于區(qū)間[20,60)的概率;

(Ⅲ)已知該地區(qū)足球愛好者占比為21%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[10,20)的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的35%,從該地區(qū)任選1人,若此人的年齡位于區(qū)間[10,20),求此人是足球愛好者的概率.

解析:(Ⅰ)21.4歲.

(Ⅱ)0.48.

【點(diǎn)評(píng)】本題以頻率分布直方圖為載體,第(Ⅲ)問考查條件概率公式的直接應(yīng)用,體現(xiàn)了條件概率與頻率分布直方圖的交匯.

2.與獨(dú)立性檢驗(yàn)的交匯

【例2】(2022·湖南炎德英才名校聯(lián)合體聯(lián)考)2022年卡塔爾世界杯將于當(dāng)?shù)貢r(shí)間11月20日開賽,某國家隊(duì)為了考察甲球員對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn),現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):

(Ⅰ)根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)?

(Ⅱ)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),甲球員能夠勝任前鋒、中場(chǎng)、后衛(wèi)三個(gè)位置,且出場(chǎng)率分別為0.2,0.5,0.3;在甲出任前鋒、中場(chǎng)、后衛(wèi)的條件下,球隊(duì)輸球的概率依次為0.2,0.2,0.7,則:

(ⅰ)當(dāng)甲參加比賽時(shí),求該球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率;

(ⅱ)當(dāng)甲參加比賽時(shí),在球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下,求甲球員擔(dān)當(dāng)中場(chǎng)的概率;

(ⅲ)如果你是教練員,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概率有關(guān)知識(shí),該如何使用甲球員?

附表及公式:

α0.150.100.050.0250.010.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析:(Ⅰ)能.

(Ⅱ)(ⅰ)設(shè)A1表示“甲球員擔(dān)當(dāng)前鋒”;A2表示“甲球員擔(dān)當(dāng)中場(chǎng)”;A3表示“甲球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”;B表示“球隊(duì)輸?shù)舯荣悺?有P(A1)=0.2,P(A2)=0.5,P(A3)=0.3,P(B|A1)=P(B|A2)=0.2,P(B|A3)=0.7,則P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.2×0.2+0.5×0.2+0.3×0.7=0.35,

所以該球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率為0.35.

故應(yīng)該多讓甲球員擔(dān)任前鋒.

3.與線性相關(guān)的交匯

(Ⅰ)試判斷y=a+bx與y=a+blnx哪一個(gè)適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型?并建立y關(guān)于x的回歸方程;

(Ⅱ)新藥經(jīng)過臨床試驗(yàn)后,企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時(shí)批量生產(chǎn)該商品,其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.012,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.009,兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨(dú)立.

(ⅰ)隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品,求該藥品不合格的概率;

(ⅱ)若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品,求該藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.

解析:(Ⅰ)剛開始用藥時(shí),指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯,隨著天數(shù)增加,y的變化趨緩,故y=a+blnx適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型.

【點(diǎn)評(píng)】本題第(Ⅱ)(ⅰ)問設(shè)出事件,利用全概率公式進(jìn)行求解,第(Ⅱ)(ⅱ)問在第(ⅰ)問的基礎(chǔ)上,利用條件概率進(jìn)行求解,充分體現(xiàn)了條件概率和全概率公式與線性相關(guān)關(guān)系的交匯.

4.與數(shù)列的交匯

【例4】“綠色出行,低碳生活”已得到越來越多市民的積極響應(yīng).原來每天開車上班的小李,即日起每天從騎自行車和開車兩種出行方式中隨機(jī)選取一種方式出行.選取出行方式規(guī)則如下:第一天騎自行車上班,隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式,如果得到的正面朝上的枚數(shù)小于3,那么當(dāng)天出行的方式與前一天相同,否則就選取另外一種出行方式.

(Ⅰ)求小李前三天騎自行車上班天數(shù)X的分布列;

(Ⅱ)由條件概率我們可以得到概率論中一個(gè)重要公式——全概率公式.其特殊情況如下:如果事件A1,A2相互獨(dú)立且P(Ai)(i=1,2),則對(duì)任一事件有P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)·P(A2)=P(A1B)+P(A2B).設(shè)pn(n∈N*)表示事件“第n天小李上班選取騎自行車出行方式”的概率.

(ⅰ)用pn-1表示pn(n≥2);

(ⅱ)從長期來看,請(qǐng)問小李選取哪種出行方式的次數(shù)更多?

解析:(Ⅰ)X的分布列為

X123P5525680256121256

【點(diǎn)評(píng)】本題第(Ⅱ)問,用數(shù)列通項(xiàng)形式設(shè)出概率,根據(jù)題中給出的全概率公式建立概率的遞推關(guān)系式,然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式得解,體現(xiàn)了條件概率及全概率公式與數(shù)列知識(shí)之間的交匯滲透應(yīng)用.

5.與等式的交匯

【例5】(2022·全國新高考Ⅰ卷·20)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090

(Ⅰ)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

解析:(Ⅰ)略.

【點(diǎn)評(píng)】(ⅰ)中R的兩種證法均是在理解、掌握條件概率公式的基礎(chǔ)上,進(jìn)行變換代入得證的,兩種證法可謂殊途同歸.需要注意的是,由于該問中涉及到的符號(hào)、式子既“龐大”又相似,稍有不慎,容易弄錯(cuò);(ⅱ)依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),用頻率估計(jì)概率,代入(ⅰ)中的公式求得R的值.

6.與不等式的交匯

【例6】(2023·浙江杭州八縣上學(xué)期11月期中)某大學(xué)有A,B兩個(gè)餐廳為學(xué)生提供午餐與晚餐服務(wù),甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐,近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下:

選擇餐廳情況(午餐、晚餐)(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天

假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.

(Ⅰ)分別估計(jì)一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率,乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率;

(Ⅱ)記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

解析:(Ⅰ)0.3,0.4.

(Ⅱ)X的分布列為

X12P0.10.9

則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1.9.

【點(diǎn)評(píng)】第(Ⅲ)問充分運(yùn)用條件概率公式以及條件概率與相互獨(dú)立事件概率的關(guān)系,利用綜合法證明條件概率不等式,體現(xiàn)了條件概率與不等式的交匯.

三、結(jié)束語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在隨機(jī)事件的條件概率一節(jié)中提出的要求是:①結(jié)合古典概型,了解條件概率,能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率;②結(jié)合古典概型,了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系;③結(jié)合古典概型,會(huì)用乘法公式計(jì)算概率;④結(jié)合古典概型,會(huì)用全概率公式計(jì)算概率;⑤了解貝葉斯公式.這些要求在2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)命題中得以“落地生花”,將條件概率問題融入解答題進(jìn)行考查,這在歷年數(shù)學(xué)高考尚屬首次,反映出高考越來越注重?cái)?shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力和素養(yǎng),在以后新高考卷命題中進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)條件概率和全概率公式的考查是可以預(yù)見的.那么,在高考復(fù)習(xí)備考中如何復(fù)習(xí)條件概率及全概率公式呢?

(1)通過具體實(shí)例幫助學(xué)生回歸概念、理解概念本質(zhì),比如隨機(jī)事件的獨(dú)立性與條件概率之間具有怎樣的關(guān)系,全概率公式的意義是什么,蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想,應(yīng)用全概率公式能解決哪些問題等.引導(dǎo)學(xué)生積極探索和思考,培養(yǎng)和通過學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

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