朱賢良

摘?要：在確定空間幾何體外接球球心的位置時(shí)，其一般途徑是從平面圖形的外接圓拓展到空間幾何體的外接球，同時(shí)要注意兩個(gè)特殊模型的應(yīng)用：長方體的對角線即為其外接球的一條直徑、由共斜邊的兩個(gè)直角三角形所圍成的三棱錐的外接球的一條直徑就是這條公共斜邊.

關(guān)鍵詞：外接球;球心;外心;長方體

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決數(shù)學(xué)問題.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)與考查常通過三視圖、空間平行與垂直、空間角與距離等問題展開.隨著全國高考命題的統(tǒng)一，有關(guān)空間幾何體的外接球問題日益受到重視，成為考查直觀想象素養(yǎng)的又一熱門題型.

求解外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)不外乎球心的兩個(gè)特性：一是球心到球面上各點(diǎn)的距離都等于半徑;二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面（球的截面圓性質(zhì)）.由此出發(fā)，或利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可確定外接球球心.

1?長方體的外接球

長方體的外接球問題是大家比較熟悉的外接球問題，長方體的體對角線是其外接球的一條直徑，體對角線的中點(diǎn)即為外接球球心.具體地說，如果長方體在同一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱長分別為a，b，c，根據(jù)體對角線長等于外接球直徑，可得a2+b2+c2=2R，即外接球半徑為R=a2+b2+c22.

例1?（2017年全國Ⅱ卷文15）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積.

簡解?設(shè)球O的半徑R，則R=32+22+122=142，故球O的表面積S=4πR2=14π.

點(diǎn)評?長方體是重要的立體幾何模型，在認(rèn)識空間結(jié)構(gòu)特征、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)中發(fā)揮著基礎(chǔ)的作用.在解決空間幾何體的外接球問題時(shí)，要充分借助長方體模型的幾何特征，簡化求解過程.

例2?（2010年遼寧卷文11改編）已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1，AC=2，則球O表面積等于.

簡解?將圖1中的三棱錐S-ABC補(bǔ)形成圖2中的長方體，顯然三棱錐S-ABC的外接球O與長方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球.因?yàn)殚L方體的長、寬、高分別為2，1，1，故外接球O的半徑R=2+1+12=1，其表面積S=4πR2=4π.

點(diǎn)評?當(dāng)三棱錐某一頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直時(shí)，可將此三棱錐視為長方體的一角，進(jìn)而借助長方體的外接球模型來實(shí)現(xiàn)求解.

例3?（2008年浙江卷理14，文15）如圖3，已知球O的面上四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，則球O的體積等于.

簡解?如圖4，將原三棱錐補(bǔ)形成正方體，其棱長為3，故球O的半徑R=3+3+32=32，其體積V=43πR3=92π.

點(diǎn)評?本題中，三棱錐D-ABC的底面ΔABC為直角三角形，過銳角頂點(diǎn)A的側(cè)棱與底面垂直，具備此幾何特征的三棱錐（四個(gè)面均為直角三角形）即可補(bǔ)形成長方體.若過底面三角形的直角頂點(diǎn)B的側(cè)棱垂直于底面，則此模型即為例1與例2中的三棱錐.

例4?（2013年遼寧理10，文10）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上.若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（?）.

A.3172??B.210??C.132??D.310

簡解?直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，可將其補(bǔ)形成長方體，且該長方體的長、寬、高分別為4，3，12，故其外接球O的半徑R=42+32+1222=132，正確選項(xiàng)為C.

點(diǎn)評?當(dāng)直三棱柱的底面恰為直角三角形時(shí)，兩個(gè)這樣完全相同的三棱柱可拼接成一個(gè)長方體.需要注意的是，直三棱柱必須具備底面為直角三角形、側(cè)棱與底面垂直這兩個(gè)幾何特征.

2?由共斜邊的兩個(gè)直角三角形所圍成的三棱錐的外接球

外接球的球心到球面上每一點(diǎn)的距離均為半徑R，可以根據(jù)外接球球心的這一特征來確定球心的位置.比如，若四面體ABCD是由共斜邊的兩個(gè)直角三角形所圍成的，如圖7所示，ΔABC與ΔABD均為直角三角形，AB為公共的斜邊，O為AB的中點(diǎn)，則根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可知，OC=OD=OA=OB，即點(diǎn)O到四點(diǎn)A，B，C，D的距離相等，故點(diǎn)O就是四面體ABCD外接球的球心，公共的斜邊AB就是外接球的一條直徑.

例5?在三棱錐P-ABC中，PA=2 3，PC=2，AB=7，BC=3，∠ABC=π2，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（?）.

A.4π???B.163π???C.323π???D.16π

簡解?如圖7，在RtΔABC中，斜邊AC=AB2+BC2=4.在ΔPAC中，PA2+PC2=16=AC2，故∠APC=π2.所以，AC的中點(diǎn)O為三棱錐P-ABC外接球的球心，半徑R=12AC=2，外接球的表面積S=4πR2=16π，故選D.

點(diǎn)評?本題在求解過程中，需要從邊長關(guān)系出發(fā)來認(rèn)識三棱錐模型，把握“共斜邊的兩個(gè)直角三角形”這一典型幾何特征.

例6?如圖8，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥平面ABCD，點(diǎn)O為對角線AC與BD的交點(diǎn).若PB=1，∠APB=π3，則三棱錐P-BCO的外接球的表面積為（?）.