甘志國

摘?要：2019年高考數(shù)學全國Ⅱ卷理科數(shù)學第20題是導數(shù)的應用問題，很多讀者不知曉其參考答案中切點B的坐標-lnx0，1x0是如何得到的;第21題以橢圓為載體，它與另兩道高考題實質(zhì)相同.本文將對這兩道試題給出深入的分析與相應的簡解.

關鍵詞：導數(shù)的應用;橢圓;簡解

2019年高考全國Ⅱ卷數(shù)學理科第20題與第21題是試卷必做題的最后兩道題，難度自然較大.其中第20題是導數(shù)的應用（用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)），學生能看懂第（2）問的參考答案，但不知道參考答案中切點B的坐標-lnx0，1x0是如何得到的？筆者將給出透徹的分析;第21題以橢圓為載體，筆者發(fā)現(xiàn)它與2012年高考湖北卷理科第21題、2011年高考江蘇卷第18題實質(zhì)相同，由本文定理3的相關結論可以給出它們統(tǒng)一的簡解.

1?第20題的參考答案探析

題1?（2019年全國Ⅱ卷理科第20題）已知函數(shù)fx=lnx-x+1x-1.

（1）討論f（x）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個零點;

（2）設x0是f（x）的一個零點，證明曲線y=lnx在點A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

參考答案?（1）可得函數(shù)f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞）.

因為f ′（x）=1x+1（x-1）2>0，所以f（x）在（0，1），（1，+∞）上均單調(diào)遞增.

因為f（e）=1-e+1e-1<0，f（e2）=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點（設為x1） ，得f（x1）=0.

又因為0<1x1<1，f（1x1）=-lnx1+x1+1x1-1=-f（x1）=0，所以f（x）在（0，1）上有唯一零點1x1.

綜上所述，可得f（x）有且僅有兩個零點.

（2）可得點B-lnx0，1x0在曲線y=ex上.

由題設知f（x0）=0，即lnx0=x0+1x0-1，所以直線AB的斜率k=1x0-lnx0-lnx0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.

可得曲線y=ex在點B-lnx0，1x0處切線的斜率是1x0，曲線y=lnx在點A（x0，lnx0）處切線的斜率也是1x0，所以曲線y=lnx在點A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

疑問?在第（2）問的解答中是如何想到在曲線y=ex上取點B-lnx0，1x0的？這恰恰又是解答的關鍵所在！

事實上，點B的坐標-lnx0，1x0是求出來的.

如圖1所示，設曲線y=lnx與曲線y=ex的一條公切線的斜率是k，兩個切點分別是A（x0，lnx0）與B（x1，ex1），由（lnx）′=1x，（ex）′=ex及導數(shù)的幾何意義，可得k=1x0=ex1，因而x1=-lnx0，得切點B（x1，ex1），即B-lnx0，1x0.

事實上，還可得k=1x0=ex1=lnx0-ex1x0-x1.

再由x1=-lnx0，可得1x0=lnx0-1x0x0+lnx0.

所以lnx0-x0+1x0-1=0.

由此也可知這道高考題是如何編擬出來的.讀者也可沿此思路（求兩曲線的公切線）編擬出大量的類似題目，比如

題2?已知函數(shù)f（x）=lnx-1x-1.

（1）求 f（x）的零點個數(shù);

（2）設x0是f（x）的一個零點，證明曲線y=lnx+1在點A（x0，lnx0+1）處的切線也是曲線y=ex的切線.

解?（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞）.

因為f ′（x）=1x+1（x-1）2>0，所以f（x）在（0，1），（1，+∞）上均單調(diào)遞增.

再由f（e-2）=2-e2e2-1<0，f（e-1）=1e-1>0;f（2）=ln2-1<0，f（e）=e-2e-1>0，根據(jù)零點定理可得f（x）的零點個數(shù)是2.

（2）可得點B-lnx0，1x0在曲線y=ex上.

由題設知f（x0）=0，即lnx0=1x0-1，所以直線AB的斜率k=1x0-（lnx0+1）-lnx0-x0=1x0-1x0-1-1-1x0-1-x0=1x0.

可得曲線y=ex在點B-lnx0，1x0處切線的斜率是1x0，曲線y=lnx+1在點A（x0，lnx0+1）處切線的斜率也是1x0，所以曲線y=lnx+1在點A（x0，lnx0+1）處的切線也是曲線y=ex的切線.

題3?（2013年新課標全國Ⅱ卷理科第21（2）題的等價問題）求證：ex>ln（x+2）.

證明?用導數(shù)易證得ex≥x+1（當且僅當x=0時取等號）， x+1≥ln（x+2）（當且僅當x=-1時取等號），進而可得欲證結論成立.

疑問?雖說ex≥x+1是常用不等式，但我們?nèi)匀粫a(chǎn)生疑問：為什么想到用x+1來作ex與ln（x+2）的過渡呢？有一般規(guī)律嗎？事實上，這里的一般規(guī)律還是“直線y=x+1是向下凸的曲線y=ex與向上凸的曲線y=ln（x+2）的公切線”（如圖2所示）.

還可求出曲線y=ex與y=ln（x+2）共有兩條公切線，另一條是直線y=x+2e.從而還可給出另一種證法：先用導數(shù)證明ex≥x+2e（當且僅當x=-1時取等號）， x+2e≥ln（x+2）（當且僅當x=e-2時取等號）.

題4?求證：ex>lnx+2.

證明?可求得曲線y=ex與y=lnx+2共有兩條公切線y=x+1與y=ex.

從而可給出其兩種證法：

（1）用導數(shù)易證得ex≥x+1（當且僅當x=0時取等號）， x+1≥lnx+2（當且僅當x=1時取等號），進而可得欲證結論成立.

（2）用導數(shù)易證得ex≥ex（當且僅當x=1時取等號）， ex≥lnx+2（當且僅當x=1e時取等號），進而可得欲證結論成立.

對于兩個常用不等式ex≥x+1，lnx≤x-1，筆者發(fā)現(xiàn)y=ex與y=lnx互為反函數(shù)，y=x+1與y=x-1也互為反函數(shù);題2中的不等式ex>ln（x+2）與題3中的不等式lnx

定理1[1]?已知f（x），g（x）都是單調(diào)函數(shù)，它們的反函數(shù)分別是f-1（x），g-1（x）.

（1）若f（x）是增函數(shù)，f（s）≥g（s）恒成立，則f-1（t）≤g-1（t）恒成立;

（2）若f（x）是減函數(shù)，f（s）≥g（s）恒成立，則f-1（t）≥g-1（t）恒成立;

（3）若f（x）是增函數(shù)，f（s）≤g（s）恒成立，則f-1（t）≥g-1（t）恒成立;

（4）若f（x）是減函數(shù)，f（s）≤g（s）恒成立，則f-1（t）≤g-1（t）恒成立.

2?第21題與另兩道高考題如出一轍

題5?（2019年全國Ⅱ卷理科第21題）已知點A（-2，0），B（2，0），動點M（x，y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-12.記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線;

（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點E，連結QE并延長交C于點G.

（i）證明：△PQG是直角三角形;

（ii）求△PQG面積的最大值.

答案?（1）曲線C的方程是x24+y22=1（y≠0），…….（2） （i）略;（ii）169.

題6?（2012年湖北卷理科第21題）設點A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，點D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足DM=mDA（m>0，且m≠1）.當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標;

（2）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中點P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H.是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值;若不存在，請說明理由.

答案?（1）x2+y2m2=1（m>0，且m≠1），……;

（2）存在m滿足題設，且m=2.

題7?（2011年江蘇卷第18題）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點M，N分別是橢圓x24+y22=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為點C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

（1）當直線PA平分線段MN時，求k的值;

（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d;

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB.

該題前兩問比較簡單，難在最后一問.筆者對最后一問作深入研究后，得到了中心二次曲線的美麗性質(zhì).

由下面的定理3中的相關結論可知，這三道高考題如出一轍.

定理2?若過曲線Γ：λx2+μy2=1（λμ≠0）的中心（即坐標原點）的直線交Γ于兩點A，B，點P在曲線Γ上，則當直線PA，PB的斜率均存在時，它們的斜率之積為-λμ.

證明?可設A（x0，y0），B（-x0，-y0），P（x，y），得λx20 ?+ μy20 ?= 1，λx2 + μy2 = 1.

所以kPA kPB ?= y-y0 x-x0 ·y + y0 x + x0 ?= μy2-μy20 μx2-μx20 ?= λx20 -λx2μx2-μx20 ?= -λμ.

注?定理2是“圓的直徑所對的圓周角是直角”的推廣.

定理3?過曲線Γ：λx2+μy2=1（λμ≠0）的中心（即坐標原點O）的直線交Γ于兩點A，B（這兩點均不在坐標軸上）.

（1）若作AH⊥x軸于點H，直線BH交Γ于另一點C，則直線AB，AC，BC的斜率均存在，且它們的積為kCAkCB=-λμ，kCB=12kAB，kABkAC=-2λμ，點C的坐標是x0 （λx20 ?+ 3）3λx20 ?+ 1，μy30 3λx20 ?+ 1;

（2）若作AH⊥x軸于點H，直線BH交Γ于另一點C，則直線AB，AC，BC的斜率均存在，且它們的積為kCAkCB=-λμ，kCB=2kAB，kABkAC=-λ2μ，點C的坐標是λx30 1 + 3μy20 ，y0 （μy20 ?+ 3）1 + 3μy20 .

證明?（1）由兩點A，B均不在坐標軸上，可得kAB存在.若kAC不存在，則三點A，C，H共線，這不可能！所以kAC存在.

再由定理2，可得kCAkCB=-λμ.

如圖4所示，可設A（x0，y0），B（-x0，-y0），H（x0，0），得點O，H不重合，所以x0≠0.所以kBC存在且kBC=kBH=y02x0.所以kAB=y0x0.所以kCB=12kAB.