朱國仙

三角形中有內心、外心、重心、垂心這“四心”。下面以一道典型例題為載體，通過一題“三變”，對三角形的“四心”問題進行舉例解析。

題目 已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的i個點，動點P滿足，則點P的軌跡一定通過△ABC的（）。

A.外心

B.內心

C.重心

D.垂心

解：先根據題意畫出圖形，再根據平面向量共線的有關性質進行求解。

如圖1所示，表示與同向的單位向量，設為示與同向的單位向量，設為。由向量的平行四邊形法則，知

因為，所以，則共線。由于平分角，可知點P的軌跡一定通過三角形ABC的內心，選B。

變式l：已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）。

A.重心

B.外心

C.垂心

D.內心

提示：從題設條件入手，利用平面向量的數量積進行適當轉化求解。

設BC的中點為D。

因為，所以。又λ∈[0，+∞），上式兩邊同乘以向量，可得數量積，則，所以點P的軌跡一定在BC的中垂線上，即點P的軌跡一定通過△ABC的外心，選B。

變式2：0是平面上一定點.A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足[0，十∞），則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）.

A.外心

B.內心

C.重心

D.垂心

提示：設Bc的中點為D，由，可利用平面向量共線的性質求解。

因為 ，所以，則與共線，也即A，D，P三點共線。由于AD是△ABC的中線.所以點P的軌跡一定通過△ABC的重心，選C。

變式3：已知0是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）。

A.重心

B.外心

C.垂心

D.內心

提示：解答本題的關鍵是對 AB

存 AB co—B十一o

i）進行等價轉化。

因為.又λ∈（O，+∞），將此式兩邊同乘以向量，可得數量積，所以，則動點P的軌跡一定在BC的高線上，即動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心，選C。