丁建明 林建輝 楊 強(qiáng) 農(nóng)漢彪

西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都,610031

0 引言

滾動(dòng)軸承在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中應(yīng)用極為廣泛,其運(yùn)行狀態(tài)往往直接影響整個(gè)機(jī)器的精度、可靠性與壽命。滾動(dòng)軸承的壽命離散性大,無法進(jìn)行定時(shí)維修[1],因此對滾動(dòng)軸承開展實(shí)時(shí)故障診斷具有重要意義。軸承振動(dòng)信號(hào)具有非線性、非平穩(wěn)的性質(zhì)[2],當(dāng)軸承出現(xiàn)故障時(shí),振動(dòng)信號(hào)的復(fù)雜性發(fā)生變化,出現(xiàn)一些異常信號(hào),能量分布發(fā)生變化[3-4],因此可以利用異常信號(hào)的復(fù)雜程度來診斷軸承的故障。

將小波用于故障診斷的研究很多[5-7],但大多是從小波變換的多分辨率、時(shí)頻特征入手,提取故障信號(hào)的特征,或者通過小波來消減噪聲而增強(qiáng)故障特征,從而更好地將其提取出來;而不是從故障信號(hào)時(shí)頻能量分布的復(fù)雜程度入手來診斷故障,同時(shí)在實(shí)時(shí)診斷中也缺乏診斷的直觀性。奇異值分解理論能夠挖掘出信號(hào)復(fù)雜程度基本模態(tài)特征的特性[8],信息熵具有對復(fù)雜程度的特性數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量化功能[9]。諧波小波頻域的緊支、分解均具有快速算法,能夠表征振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻分布特征,而且分解精度高,具有明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式[10]。

因此,本文從揭示故障振動(dòng)信號(hào)能量分布的復(fù)雜程度入手對此進(jìn)行研究,充分利用了諧波小波[5,10]快速處理異常不規(guī)則信號(hào)的獨(dú)特優(yōu)勢、奇異值分解[8]對時(shí)頻特征矩陣基本特性的提取功能,以及信息熵[9]對復(fù)雜信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性,將諧波小波變換、奇異值分解理論和信息熵結(jié)合起來,從分析軸承故障信號(hào)復(fù)雜程度的角度對軸承故障進(jìn)行實(shí)時(shí)診斷。

1 諧波小波奇異熵的基本理論

諧波小波奇異熵就是基于奇異值分解理論,將信號(hào)經(jīng)諧波小波變換后的系數(shù)矩陣分解為能反映原系數(shù)矩陣基本特征的奇異值,再利用信息熵的統(tǒng)計(jì)特性對奇異值集合進(jìn)行不確定度分析,從而對原始信號(hào)的復(fù)雜程度給出一個(gè)確定的度量。

1.1 諧波小波變換

Newland[10]于1993年構(gòu)造出諧波小波,其小波函數(shù)為

式中,t為時(shí)間。

根據(jù)小波理論,j,k∈Z;m,n∈R+且m＜n,設(shè)m=2j,n=2j+1,通過伸縮和平移得到諧波小波函數(shù)族

給定諧波小波位移步長k(n—m),則式(2)變?yōu)?/p>

其對應(yīng)的諧波小波頻域表示為

因此,諧波小波w(2jt—k)作為L2(R)的一組正交基,對信號(hào)做諧波小波變換,可以將信號(hào)既無重疊也不遺漏地分解到各自獨(dú)立的頻段上,從而實(shí)現(xiàn)更細(xì)的信號(hào)分析,揭示信號(hào)的時(shí)頻特征。

1.2 奇異值分解

由奇異值分解理論可以知道,任何M×N階的矩陣A(其中M ＞N)的奇異值分解(SVD)可以表示為

式中,U、V分別為M×M和N×N階正交矩陣。

這里 ,α1,α2,…,αN稱為 A 的奇異值,并按降序排列。由于Λ為一個(gè)對角陣,因此SVD可以將秩為kα的M ×N階矩陣A表示為kα個(gè)秩為1的M ×N階的子矩陣之和。其中,每個(gè)子矩陣由二個(gè)特征向量(分別來自矩陣U、V)和權(quán)值相乘得到,表達(dá)式如下:

式中,ui、vi分別為矩陣U、V的第i列向量。

式(5)表明,矩陣A經(jīng)過SVD后成為一系列的子矩陣Ai和對應(yīng)的奇異值αi(反映該子矩陣包含信息的多少),即將矩陣分解成相互正交的子空間,從而將矩陣包含的信息分解到不同的子矩陣中。

1.3 信息熵

信息熵是信源平均不確定性大小的度量,與信源可能出現(xiàn)的狀態(tài)數(shù)目及各個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率有關(guān)。信源發(fā)出某信息所含有的信息量稱為自信息,它與信息的先驗(yàn)概率成反比。信源的自信息定義為

式中,βi為第i個(gè)信息;p(βi)為第 i個(gè)信息的先驗(yàn)概率。

自信息的數(shù)學(xué)期望為信源的平均自信息量,即信息熵,其表達(dá)式為

式中,E為數(shù)學(xué)期望;Q為信息的總個(gè)數(shù)。

信息熵能實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)復(fù)雜不確定性的度量。

2 基于諧波小波奇異熵的故障診斷模型

設(shè)采集的故障振動(dòng)信號(hào)為x(c),c=0,1,…,C—1。對信號(hào)x(c)作諧波小波變換得到時(shí)頻分布矩陣,揭示振動(dòng)信號(hào)的能量分布特征,C表示離散信號(hào)的長度。

對x(c)進(jìn)行快速傅里葉變換得到X(0),X(1),X(2),…,X(C—1),基于此構(gòu)建階次為p×q的諧波小波的時(shí)頻分布矩陣B。令p=C,q=log2(C/4)+2,矩陣 B 的第 1、2、q列的元素分別為

矩陣B的第i1列的元素為

對諧波小波時(shí)頻分布矩陣B進(jìn)行奇異值分解計(jì)算,提取振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻特征分布復(fù)雜程度的基本特性:

式中,Y、G分別為p×p和q×q階正交矩陣;ηi為矩陣B的第i個(gè)奇異值。

按降序排列,得到奇異值矢量

式中,r為矩陣B的秩;ai為矩陣B的降序奇異值。

條件ασ/a1≥ξ(一般ξ取0.0001)下對奇異值矢量簡化得到主奇異值矢量:

對簡化的特征值矢量進(jìn)行信息熵計(jì)算,對不規(guī)則復(fù)雜程度進(jìn)行定量計(jì)算

式中,σ為主奇異值的個(gè)數(shù)。

用于診斷故障的信息熵為

3 診斷實(shí)例和實(shí)時(shí)性分析

3.1 軸承的故障診斷實(shí)例

應(yīng)用基于諧波小波奇異熵的故障診斷模型對美國Case Western Reserve University電氣工程實(shí)驗(yàn)室的滾動(dòng)軸承故障模擬試驗(yàn)臺(tái)[11]的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行診斷分析。故障軸承的型號(hào)為SKF6025,故障類型為滾動(dòng)軸承的外圈單點(diǎn)故障和內(nèi)圈單點(diǎn)故障。用電火花對軸承加工單點(diǎn)損傷,損傷直徑為0.1778mm,對軸承早期的輕微故障的內(nèi)圈和外圈進(jìn)行故障模擬。下面給出采集到的故障軸承振動(dòng)信號(hào)的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù),內(nèi)圈單點(diǎn)故障的振動(dòng)信號(hào)如圖1所示,外圈單點(diǎn)故障的振動(dòng)信號(hào)如圖2所示,正常軸承的振動(dòng)信號(hào)如圖3所示。

分別對內(nèi)圈單點(diǎn)故障、外圈單點(diǎn)故障和正常軸承作10次試驗(yàn),采集到對應(yīng)圖1～圖3所示信號(hào)的10組數(shù)據(jù)(由于篇幅有限不全部列出),然后對10組數(shù)據(jù)進(jìn)行諧波小波奇異熵值的計(jì)算,得到信號(hào)的統(tǒng)計(jì)熵值,計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 諧波小波奇異熵值

從表1中的諧波小波奇異熵值可看出,內(nèi)圈故障、外圈故障和正常軸承的諧波小波奇異熵值處于不同的數(shù)值范圍內(nèi),因此利用這個(gè)特點(diǎn)可以診斷出軸承故障。正常軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),各個(gè)部件的接觸比較均勻,其沖擊作用反映在諧波小波的時(shí)頻分布矩陣中,其能量分布具有隨機(jī)性,分布較均勻,因此熵值最大。故障軸承運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),在傷點(diǎn)處產(chǎn)生較大的沖擊,反映在諧波小波的時(shí)頻分布矩陣中,其能量分布具有某種確定性,因此熵值小一些,同時(shí)從圖1和圖2可以看出,外圈故障的沖擊振動(dòng)比內(nèi)圈故障的沖擊大,變化規(guī)則較明顯,因此外圈故障的熵值與內(nèi)圈故障的熵值相比,還要小一些。這說明熵值的大小對軸承的故障敏感,能夠?qū)S承故障進(jìn)行有效的確診。

3.2 基于諧波小波奇異熵的診斷模型實(shí)時(shí)性分析

在dell筆記本電腦(CPU為Intel(R)Core(TM)2,內(nèi)存為1GB)上,對基于諧波小波奇異熵的診斷模型的算法程序進(jìn)行測試,數(shù)據(jù)長度為1024,所花的時(shí)間為0.015s,設(shè)該模型用于實(shí)時(shí)測試系統(tǒng)所許可的采樣頻率為 fs,則

因此該模型能對采樣頻率低于68kHz的診斷系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)故障診斷,具有很高的實(shí)時(shí)性,在故障診斷和檢測的實(shí)際應(yīng)用中,具有很高的實(shí)用價(jià)值。

4 結(jié)論

(1)基于諧波小波奇異熵的故障診斷方法將諧波小波、奇異值分解和信息熵理論有機(jī)結(jié)合,充分利用三種信號(hào)處理手段各自獨(dú)特的優(yōu)勢:諧波小波對振動(dòng)信號(hào)的時(shí)頻表示特性和自身具有的快速算法;奇異值分解提取數(shù)據(jù)基本模態(tài)的基本特性,信息熵對復(fù)雜特性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量化功能。

(2)基于諧波小波奇異熵的故障診斷方法能定量描述故障軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻分布的復(fù)雜性,能直觀區(qū)分信號(hào)的復(fù)雜性,因此可以實(shí)現(xiàn)對故障的定量診斷。

(3)基于諧波小波奇異熵的故障診斷方法,模型簡單,確診性好,診斷的實(shí)時(shí)性高,具有一定的應(yīng)用前景。

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