徐承龍,徐曉蕓

(同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 上海200092)

債務(wù)抵押契約, 又稱債務(wù)抵押證券(collateralized debt obligation,CDO), 是一種信用衍生產(chǎn)品, 是近年來發(fā)展最快的證券化產(chǎn)品之一.CDO 是以抵押債務(wù)信用為基礎(chǔ), 基于各種資產(chǎn)證券化技術(shù), 對(duì)債券、貸款等資產(chǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)重組, 重新分割投資回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn), 以滿足不同投資者需要的創(chuàng)新性衍生證券產(chǎn)品.

由于一般CDO 的資產(chǎn)池涉及到100 —200 個(gè)資產(chǎn), 其定價(jià)有較大的困難,現(xiàn)在業(yè)界比較通用的就是高斯-Copula 模型.在高斯-Copula 模型中, 影響公司違約的因素(稱之為資產(chǎn)指標(biāo))被分成了2 個(gè)部分——系統(tǒng)因子部分和特異因子影響部分, 且系統(tǒng)因子與特異因子都是高斯分布.高斯-Copula 模型結(jié)構(gòu)比較簡單清晰,應(yīng)用于CDO 定價(jià)時(shí)易于處理分析, 而且計(jì)算效率高.然而高斯-Copula 模型也有非常明顯的缺點(diǎn):該模型各個(gè)債務(wù)對(duì)象之間的違約發(fā)生是正態(tài)的,不具有偏態(tài)性.而按照對(duì)金融市場的觀察,各個(gè)債務(wù)對(duì)象之間, 在不同經(jīng)濟(jì)形勢下, 違約相關(guān)性具有明顯的差異.一般來說, 經(jīng)濟(jì)形勢較好時(shí), 違約發(fā)生的相關(guān)性較小;而經(jīng)濟(jì)形勢較差時(shí), 違約的相關(guān)性要高得多.

之后的很多CDO 定價(jià)模型都是在高斯-Copula 模型基礎(chǔ)上衍生而來的.O' Kane 等[1]根據(jù)多年對(duì)市場復(fù)合CDO 數(shù)據(jù)的研究提出了一個(gè)基于單因子高斯-Copula 的LHP(large homogeneous portfo lio)模型.O' Kane 等[2]對(duì)LHP 模型中系統(tǒng)因子的正態(tài)假設(shè)做了修改, 引入T-Copula;Anna Kalemanova 等[3]提出了系統(tǒng)因子.分布的LHP 模型;Leif Andersen 等[4]提出了2 個(gè)拓展方案來克服高斯-Copula 模型的缺點(diǎn):一是引入經(jīng)過隨機(jī)化處理的回收率, 使回收率與違約概率具有明確的負(fù)相關(guān)性;二是將債務(wù)對(duì)象的系統(tǒng)因子前的系數(shù)換成與當(dāng)時(shí)經(jīng)濟(jì)情況有關(guān)的隨機(jī)變量,使得模型在經(jīng)濟(jì)形勢較差時(shí)違約發(fā)生的可能性明顯高于經(jīng)濟(jì)較好的情形.以上的這一類CDO 定價(jià)模型有一個(gè)基本框架:從債務(wù)對(duì)象的資產(chǎn)指標(biāo)和違約損失率(LGD)的分布,分析出CDO 損失分布,進(jìn)而給出CDO 每個(gè)分層的現(xiàn)金流分布,以及CDO 各分層定價(jià)模型.

上面提到的LGD ,是指預(yù)期違約的損失占風(fēng)險(xiǎn)暴露的百分比.它是信用風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)管理研究的重要課題之一.同時(shí)LGD 也是巴塞爾新資本協(xié)議內(nèi)部評(píng)級(jí)法(IRB)規(guī)定的風(fēng)險(xiǎn)要素之一.Frye[5]研究發(fā)現(xiàn):當(dāng)宏觀經(jīng)濟(jì)市場變差時(shí), 會(huì)同時(shí)導(dǎo)致違約概率的上升和回收率(recovery)減小, LGD 增大.A ltman等[6] 也得出了同樣的結(jié)論.

基于廣義的高斯-Copula 框架, 本文在文獻(xiàn)[7] 方法的基礎(chǔ)上, 在回收率是隨機(jī)的假設(shè)下, 研究了相應(yīng)的系統(tǒng)因子的重構(gòu)問題.即預(yù)先并不給定系統(tǒng)因子的分布,而是由市場CDO 報(bào)價(jià)來決定系統(tǒng)因子的分布形式.由于市場信息的缺乏, 要完全重構(gòu)系統(tǒng)違約因子的分布函數(shù)較困難, 而用最小相對(duì)熵原則就可以從所有滿足條件的分布中, 得出最佳的、最合理的分布.其主要想法是:滿足所給的部分市場信息,如果一個(gè)概率密度函數(shù)能使之對(duì)于給定的先驗(yàn)概率密度函數(shù)的相對(duì)熵最小, 就表示這是最佳的概率密度函數(shù).

由于該模型各個(gè)分層的現(xiàn)金流函數(shù)含有待定的系統(tǒng)因子的分布函數(shù), 這不是標(biāo)準(zhǔn)的最小相對(duì)熵問題.本文用迭代的方法將非標(biāo)準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的最小相對(duì)熵問題, 進(jìn)行重構(gòu)問題的求解, 得到系統(tǒng)因子的密度函數(shù).數(shù)值計(jì)算表明, 算法是穩(wěn)定和收斂的.從而由系統(tǒng)因子與LGD 的關(guān)系,就得到市場預(yù)期的LGD 分布.結(jié)果表明, LGD 分布能較好地反映金融市場的實(shí)際狀態(tài).

1 CDO 定價(jià)模型框架

下面先介紹CDO 定價(jià)模型框架的結(jié)構(gòu),其主要的想法來自于文獻(xiàn)[4] .

考慮一個(gè)共有N個(gè)債務(wù)對(duì)象的CDO,其保費(fèi)支付時(shí)刻為t1,…,t K.它的潛在損失可以分為:[D0,D1), …,[DJ-1 ,D J), 稱之為分層1,…, 分層J(通常可認(rèn)為D0=0 ,J=5).設(shè)其第i個(gè)債務(wù)對(duì)象在t時(shí)刻前發(fā)生違約的概率為p i,t=pi(t)(i=1 ,2 ,3,…,N),它在違約發(fā)生時(shí)的損失為l i(本文假設(shè)是隨機(jī)變量),假定li是有界的,即存在l i,max∈R+, 使l i∈[0 ,l i,max] .如果引入回收率R i,即

其中R i的取值范圍在[0,1],回收率也可能是隨機(jī)的, 則在[0 ,t] ,該CDO的全部損失為

式(2)中示性函數(shù)1τi≤T表示第i個(gè)債務(wù)對(duì)象在t時(shí)刻前發(fā)生違約時(shí)取1 ,否則為0 .而CDO的期望損失為

為更進(jìn)一步研究違約損失分布的特性, 假定存在連續(xù)隨機(jī)變量X1,…,X N(通常表示公司的資產(chǎn)等指標(biāo))和固定的違約門檻c1 ,t,…,c N,t,滿足條件

一般情況下,可以把X i和c i,t理解為債務(wù)對(duì)象i的資產(chǎn)指標(biāo)(用于描述債務(wù)對(duì)象的資產(chǎn)狀態(tài))和它相應(yīng)資產(chǎn)的違約門檻, 就如同Merton 的結(jié)構(gòu)化模型所用的那樣.

若記連續(xù)型隨機(jī)變量X i的分布函數(shù)為F i,X,則有

假定存在d維隨機(jī)變量Z=(Z1,…,Z d), 使得在取定Z的條件下, 隨機(jī)變量X1,…,X N和l1,…,l N都是相互獨(dú)立的,稱隨機(jī)變量Z為系統(tǒng)因子.

在給定系統(tǒng)因子Z的條件下, 記債務(wù)對(duì)象i直到t時(shí)刻的違約概率為

其違約時(shí)損失部分為

則這時(shí)的期望損失為

通常系統(tǒng)因子Z可以認(rèn)為是行業(yè)或總體經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù), 它給出了CDO投資組合的系統(tǒng)信用風(fēng)險(xiǎn).

在固定時(shí)刻t,在給定系統(tǒng)因子Z的情形下,CDO 的分層j(j=1,2,…,J)的損失為

在保費(fèi)支付時(shí)刻t k,分層j預(yù)期的剩余部分比率為

貼現(xiàn)到0 時(shí)刻,分層j的現(xiàn)金流函數(shù)的值為

式中:u j表示預(yù)付額;s j為分層j的保費(fèi);Δt為保費(fèi)的支付間隔;B k表示t k時(shí)刻的無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)因子.而的意義是:到期日分層j所需要

由公平性原則, 對(duì)于所有分層(j=1 ,2,…,J),在期望意義下保費(fèi)的全部支付應(yīng)該等于該分層期望損失的賠付, 即

在此框架之下,只需給出X i和R i的具體模型,就得到了每一層完整的現(xiàn)金流函數(shù)表達(dá)式(8), 也就確定了該CDO定價(jià)模型.

下面在高斯-Copula 的基礎(chǔ)上, 引進(jìn)Frye[5]的結(jié)構(gòu)模型想法及隨機(jī)化的回收率模型, 并且系統(tǒng)因子Z不再是簡單的高斯分布, 而是拓展為一個(gè)一般的d維的分布, 即

式中:a i是d維非負(fù)向量;b i是d維向量(i=1,2 ,3,…,N),它們的長度小于1 ;特異因子εi是一組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量, 與系統(tǒng)因子Z也是相互獨(dú)立的;ξi也是一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,它與系統(tǒng)因子Z以及所有的特異因子εi(i=1 ,2 ,3,…,N)都是相互獨(dú)立的;μi,σi是定常值.

這里的回收率R i也分成系統(tǒng)因子影響因素σi b i Z和特異因子影響因素之 和.注意到R i與X i受到同一個(gè)系統(tǒng)因子Z的影響, 因此,可以直接通過控制系統(tǒng)因子Z的2 組系數(shù)a i和b i來調(diào)整違約概率與回收率之間的相互依賴關(guān)系.對(duì)于債務(wù)對(duì)象i和j(i,j=1,…,N),如果有a i b j=0,則表示X i的違約與回收率R j是相互獨(dú)立的.

引理1 設(shè)系統(tǒng)因子Z的概率分布密度為ω(z),Fi為X i的概率分布函數(shù), 則違約門檻

證明

由于假設(shè)Z和εi是互相獨(dú)立的, 立得

2 重構(gòu)模型的計(jì)算分析

在實(shí)際市場中,系統(tǒng)因子Z的分布是一個(gè)重要的金融因素, 然而它的分布卻是未知的.因此這里的模型遠(yuǎn)遠(yuǎn)比高斯-Coup la 模型要復(fù)雜, 并且違約門檻的大小還與未知的系統(tǒng)因子分布有關(guān).根據(jù)隨機(jī)化回收率的模型, 把系統(tǒng)因子Z看作是某種能夠服從市場條件報(bào)價(jià)的未知分布, 而將高斯分布作為它的先驗(yàn)分布, 具體的分布函數(shù)應(yīng)該依賴于當(dāng)前人們對(duì)市場未來一段時(shí)間的預(yù)期.由于已知信息的不完全, 本節(jié)用最小熵原則以及市場上CDO 分層產(chǎn)品的公開報(bào)價(jià),確定系統(tǒng)因子Z的分布函數(shù).其基本原理為:將隨機(jī)化回收率結(jié)構(gòu)式(10)應(yīng)用于CDO 定價(jià)模型框架, 就能得到各個(gè)分層的現(xiàn)金流函數(shù)式(8), 而市場上的CDO 報(bào)價(jià)應(yīng)用于式(9), 就得到了最小熵問題的約束條件.只是這里的最小熵優(yōu)化問題不是標(biāo)準(zhǔn)的最小相對(duì)熵問題,因此需要用迭代方法求解,才能得出系統(tǒng)因子概率密度ω(z).

為了簡化計(jì)算表達(dá),假定資產(chǎn)池具有一致性, 即具有相同的違約結(jié)構(gòu), 且每個(gè)資產(chǎn)具有相同的份額.令ρ=ai,q=bi,σ=σi.此時(shí),在[0 ,t] 之間CDO 的全部損失為

其中

是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量, 違約門檻ci,t的表達(dá)式

由引理1 得到,ci,t的大小與系統(tǒng)因子Z的密度函數(shù)形式有關(guān).為了簡化符號(hào),記

則

這里由于ci,t的關(guān)系,A,B的值與系統(tǒng)因子Z的分布有關(guān).

資產(chǎn)池在分層j(分層j的損失范圍為的損失為

那么,在tk時(shí)刻, 分層j預(yù)期的剩余部分比率為

為了計(jì)算式(14), 將式(12)代入可以得到

由式(15),可以計(jì)算出每一Qj,k(Z)的表達(dá)式, 將該式代入式(8),就得到分層j的現(xiàn)金流函數(shù)Ψj(Z),這里Ψj(Z)與系統(tǒng)因子的密度函數(shù)ω有關(guān).

若能從CDO 市場得到當(dāng)日的報(bào)價(jià)信息,就能根據(jù)該報(bào)價(jià)確定現(xiàn)金流函數(shù)和它所顯示的系統(tǒng)因子Z的分布信息.不過,由于這是一些不完全的信息, 不能用這些信息完全給出系統(tǒng)因子的分布.而用最小相對(duì)熵方法, 找出一個(gè)相對(duì)最佳的未知分布.

由以上分析, 得到了CDO 模型重構(gòu)的最小相對(duì)熵問題

由于此時(shí)Ψj(Z)與待定的概率密度函數(shù)ω(z)有關(guān),這個(gè)問題也不能簡單地直接求解.采用迭代方法處理這一問題, 即每次求解標(biāo)準(zhǔn)最小熵問題

其中ci,k,t是通過求解下列非線性方程

得到的.求解問題(20), 得到迭代解ωk(z)的函數(shù)形式為

具體求解步驟為:①根據(jù)上一輪迭代得到的概率密度函數(shù)ωk-1,求解問題(21), 計(jì)算出ci,k,t;②將ci,k,t代入方程組(23), 計(jì)算出待定系數(shù)λ=(λ1,…,λJ);③將系數(shù)λ=(λ1,…, λJ)與c i,k,t代入式(22),得到概率密度函數(shù)ωk(x).

3 市場LGD 分布

一旦系統(tǒng)因子的概率密度函數(shù)ω(z)得到以后,就能夠推出此時(shí)的市場LGD 分布了.由于所有的參數(shù)數(shù)據(jù)都是基于整個(gè)市場的總體數(shù)據(jù), 計(jì)算分析的所有假設(shè)也都是基于總體市場的,所以得到的回收率概率分布也應(yīng)該是適應(yīng)于整個(gè)CDO 所覆蓋的債務(wù)對(duì)象市場, 而不是其中某一個(gè)債務(wù)對(duì)象的.根據(jù)本文CDO 模型中回收率R i的形式(10),可得到CDO所反映的總體市場的回收率R為

由總體市場的回收率的表達(dá)式(24), 就可以給出市場LGD 的概率分布函數(shù)G(h)

由此得到市場LGD 的概率密度函數(shù)f(h)為

4 數(shù)值計(jì)算例子

下面基于以上對(duì)隨機(jī)回收率模型(10)的計(jì)算分析,利用CDO 市場報(bào)價(jià),給出經(jīng)過最小相對(duì)熵方法的重構(gòu)的系統(tǒng)因子的分布和相對(duì)應(yīng)的市場LGD 分布.

對(duì)于最小熵模型(16)—(19), 給定其中的各個(gè)參數(shù):ρ=0 .23 ,q=0 .17 ,σ=0 .32,=0 .41(此處參考了文獻(xiàn)[4] 中給出的參數(shù)), 無風(fēng)險(xiǎn)利率r取1 年期的美元Libor(倫敦銀行拆放利率)r=4 .233 7 %.

采用了iTraxx Eur 的CDO 市場報(bào)價(jià),該iTraxx將在2013 年12 月20 日到期.iTraxx 包括125 家公司的CDS, 共有5 個(gè)層次報(bào)價(jià)(Tranches), 即N=125 ,J=5 .將iTraxx Eur S6 的市場報(bào)價(jià)(表1)代入式(22),(23), 并假設(shè)初始系統(tǒng)分布ω0 (z)=ω(z)為正態(tài)分布, 利用引理1,計(jì)算得初始的p i,t,從而計(jì)算得到ω1(z)(圖1).

表1 iTraxx Eu r S6 的7年期在2008 年3 月21 日的報(bào)價(jià)Tab.1 Prices of 7-year-iTax Eur S6 on March 21, 2008

重復(fù)這一步驟,可看到經(jīng)過每一次迭代之后, 概率密度函數(shù)的誤差確實(shí)在逐步減小趨于0 .經(jīng)過10次迭代, 直到最后得到滿足市場報(bào)價(jià)條件的Z的概率密度函數(shù)圖像(圖2).

圖2 系統(tǒng)因子10 次迭代的密度函數(shù)ω(z)Fig .2 Density function ω(z)by 10 iterations

由于相對(duì)熵基本可以看作是概率密度函數(shù)之間的一種“距離”,這里還將相對(duì)熵作為考察2 個(gè)概率密度函數(shù)偏差大小的度量, 得到了迭代次數(shù)與2 次迭代的系統(tǒng)因子的密度函數(shù)之間的相對(duì)偏差關(guān)系圖像(圖3).可以看到,相對(duì)偏差隨著迭代次數(shù)的增加,很快減小趨于0 .

圖3 迭代所得的密度函數(shù)的相對(duì)偏差D(ωk ωk-1)Fig .3 Relative error D(ωk ωk-1)of density function

由系統(tǒng)因子Z的概率密度函數(shù)ω(z),再由表達(dá)式(28), 就得到最終所需的市場LGD 的概率密度函數(shù)f(h)的圖像(圖4).

另一個(gè)例子用2007 年3 月21 日的iTraxx Eur市場報(bào)價(jià)(表2), 該iTraxx 仍將在2013 年12 月20日到期.計(jì)算得到市場LGD 的概率密度函數(shù)f(h)的圖像(圖5).

從上面得到的系統(tǒng)因子Z的概率密度函數(shù)ω(z)和市場LGD 的概率密度函數(shù)f(h)的2 個(gè)例子的圖像, 可以看到,得到的結(jié)果確實(shí)能體現(xiàn)模型的偏態(tài)的相關(guān)性.

圖4 LGD 的密度函數(shù)f(h)Fig.4 Density function of LGD f(h)

表2 iTraxx Eu r S6 的7年期在2007 年3 月21 日的報(bào)價(jià)Tab.2 Prices of 7-year-iTrax Eur S6 on March 21, 2007

圖5 LGD 的概率密度函數(shù)f(h)Fig .5 Probability density function f(h)of LGD

比較2008 年3 月與2007 年3 月的市場預(yù)期LGD 的概率密度函數(shù)圖像,從2007 年3 月21 日報(bào)價(jià)給出的市場預(yù)期的違約損失率LGD 要遠(yuǎn)小于由2008年3 月21 日報(bào)價(jià)得到的市場預(yù)期LGD .2007 年3 月的市場預(yù)期LGD 取0～0 .4 的概率明顯較大,而2008年3 月的市場預(yù)期LGD 大于等于0 .5 的概率要大得多.從中可以讀出:2008 年3 月時(shí),金融市場情緒比較悲觀,市場預(yù)期將來一段時(shí)間內(nèi)違約發(fā)生時(shí), 損失率會(huì)非常高;而2007 年3 月的市場預(yù)期要積極得多.

5 結(jié)語

本文采用的隨機(jī)化回收率模型中的回收率與高斯-Copula 模型不同, 不再是常數(shù), 而是具有隨機(jī)性的.市場形勢變化時(shí), 違約發(fā)生的概率與LGD 的大小發(fā)生同向變化.

本文首先討論了LGD 的模型結(jié)構(gòu), 其中回收率也同資產(chǎn)指標(biāo)一樣, 將回收率的隨機(jī)部分分成系統(tǒng)因子影響部分與每一個(gè)回收率的特異隨機(jī)因子.而每一個(gè)債務(wù)對(duì)象的回收率與資產(chǎn)指標(biāo)用的是同一個(gè)系統(tǒng)因子,以此體現(xiàn)LGD 與違約發(fā)生概率同時(shí)被市場所影響.通過系統(tǒng)因子Z之前的系數(shù),體現(xiàn)了回收率與違約發(fā)生的相關(guān)性的大小.

目前較為常用的高斯-Copula 模型缺點(diǎn)是:債務(wù)對(duì)象之間的違約發(fā)生的相關(guān)性不會(huì)發(fā)生變化, 也就是各個(gè)債務(wù)對(duì)象之間的相關(guān)性應(yīng)當(dāng)是有偏的.Andersen[4]的隨機(jī)化回收率的模型, 則由特異因子的變化來考慮;而本文隨機(jī)化回收率的模型從系統(tǒng)因子的角度可克服這一問題, 其資產(chǎn)指標(biāo)的系統(tǒng)因子的分布并不一定是高斯分布, 而是由市場CDO 報(bào)價(jià)重構(gòu)系統(tǒng)因子的分布來確定.

用最小相對(duì)熵方法重構(gòu)能夠匹配CDO 市場價(jià)格的系統(tǒng)因子分布.這時(shí)的現(xiàn)金流函數(shù)也包含待定的系統(tǒng)因子分布, 為了求解問題的方便, 使用了迭代最小相對(duì)熵的方法, 每次為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的最小相對(duì)熵問題以方便數(shù)值求解.

根據(jù)系統(tǒng)因子與LGD 的關(guān)系式,分析出預(yù)期未來市場LGD 的概率密度函數(shù), 這個(gè)LGD 概率密度函數(shù)由系統(tǒng)因子的分布來決定.而用2007 年和2008年3 月的iTraxx Eur 報(bào)價(jià),分布得到的預(yù)期的LGD分布圖像能夠較好地反映出當(dāng)時(shí)的金融市場狀態(tài).

最后應(yīng)該注意到, 本文的模型是靜態(tài)模型, 針對(duì)CDO 框架來說, 都是從當(dāng)前時(shí)刻(CDO 報(bào)價(jià)當(dāng)日)起, 假定在未來一段時(shí)間內(nèi)(在CDO 的到期日之前),債務(wù)對(duì)象的違約和回收率的分布結(jié)構(gòu)不隨時(shí)間變化而調(diào)整, 違約和回收率的分布是固定不變的.

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