熊偉麗，唐蒙娜，徐保國

(江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇無錫214122)

無線傳感器網(wǎng)絡技術作為一種新的信息獲取和處理技術，具備傳統(tǒng)技術不可比擬的優(yōu)勢，在軍事和民用領域擁有廣闊的應用前景。正確的節(jié)點定位是無線傳感器網(wǎng)絡構建和維護、監(jiān)測定位、目標跟蹤等功能實現(xiàn)的前提和基礎［1］。目前用的較多的節(jié)點定位方法是最小二乘法、加權最小二乘法等，然而最小二乘法雖然考慮了參考節(jié)點的定位誤差，但沒有考慮到遞增式定位方法中不同級的參考節(jié)點定位誤差的不同［4－5］;加權最小二乘法雖然考慮了各級參考節(jié)點的定位誤差的不同，但其權值的確定不能使節(jié)點定位達到最優(yōu)。

本文延續(xù)遞增式模型中不同級參考節(jié)點定位誤差不同的特點，針對加權最小二乘法中權值選取的不足，提出最優(yōu)加權最小二乘法對該問題進行改進，在估計誤差方差矩陣最小時取得最優(yōu)權值，最終得到最優(yōu)估計解。該方法能使節(jié)點的估計坐標與真實坐標間的誤差保持在一個較穩(wěn)定狀態(tài)，同時也使誤差減小，確保后級節(jié)點定位的準確性，盡量減小遞增誤差帶來的影響。仿真結果表明，最優(yōu)加權最小二乘在遞增式節(jié)點定位中具有明顯的優(yōu)越性。

1 遞增式定位與累積誤差的形成

按照節(jié)點定位的先后次序不同，定位方法可分為遞增式定位法與并發(fā)式定位法。并發(fā)式定位法中所有節(jié)點同時進行位置計算，要求錨節(jié)點通信范圍較大，適用于小型傳感器網(wǎng)絡。當網(wǎng)絡中節(jié)點較多、覆蓋范圍較廣時采用遞增式定位法較為合理［6－7］。為了降低成本，應減小WSN中錨節(jié)點所占的比例，但同時也降低了定位節(jié)點覆蓋率。為了提高定位節(jié)點的覆蓋率，將已定位節(jié)點升級為參考節(jié)點，利用參考節(jié)點迭代定位將定位節(jié)點的范圍逐步擴展到整個網(wǎng)絡，這就是遞增式定位法［8］。錨節(jié)點為能夠通過GPS直接定位的節(jié)點。

遞增式定位法引入了誤差累積的問題，參考節(jié)點本身可能存在較大的位置誤差，由于測距誤差和參考節(jié)點位置誤差同時作用，在下一輪的定位估計中引入了更大的誤差，當網(wǎng)絡規(guī)模較大時，誤差累積造成的位置誤差將不容忽視［2，9－10］。遞增式定位方法中，被定義為同一級節(jié)點的定位是同時進行的。假設目標節(jié)點與定位節(jié)點之間的距離已獲得，且測距誤差與距離有關，建立一個模擬無線傳感器網(wǎng)絡來對遞增式定位中的累積誤差進行分析［3，11］。圖 1 中，假設 S1、S2、S3為錨節(jié)點，節(jié)點A～E為待定位的未知節(jié)點。連線表示在通信范圍內的節(jié)點，圖中線段長度不代表距離。設錨節(jié)點為零級節(jié)點，一級節(jié)點是指只由錨節(jié)點直接定位的節(jié)點A;只由一級節(jié)點定位或由錨節(jié)點和一級節(jié)點共同定位的節(jié)點C稱為二級節(jié)點;以此類推，B、D為三級節(jié)點，E為四級節(jié)點。假設錨節(jié)點定位無誤差，由前面提到的遞增模式可知，后級節(jié)點的定位誤差通常都大于其前級節(jié)點，節(jié)點定位誤差隨著定位的逐級進行呈現(xiàn)增大的趨勢。因此，各節(jié)點誤差大小關系為:S1、S2、S3＜A ＜C ＜B、D ＜E。為了解決誤差累積問題，引入最優(yōu)加權最小二乘估計的方法，在最小二乘估計中加入最優(yōu)權值，使定位誤差方差達到最小，提高定位精度。

圖1 網(wǎng)絡中的節(jié)點

2 最優(yōu)加權最小二乘的節(jié)點定位方法

改進的最優(yōu)加權最小二乘法相對于其他普通的加權最小二乘，不僅考慮了不同級節(jié)點誤差因子的差異，并在估計誤差的方差矩陣E［(－H)(－H)T］達到最小時取得權值，能使為真值H的最優(yōu)估計。下面分別對一級節(jié)點、二級及二級以上節(jié)點的定位進行分析。

2．1 一級節(jié)點定位

在本段中，對無線傳感器節(jié)點定位算法進行建模，列出方程，針對傳統(tǒng)的加權最小二乘法存在的估計有偏問題，列出使估計最優(yōu)的兩個條件，引入最優(yōu)加權最小二乘法，不僅得出對節(jié)點位置的最優(yōu)估計，且此最優(yōu)估計無偏。

在實際無線傳感器網(wǎng)絡中，各級節(jié)點都可能有無數(shù)個。假設網(wǎng)絡中零級節(jié)點坐標為Si(Xsi，Ysi)，且不存在位置誤差，一級節(jié)點坐標為A(XA，YA)，測得待定位節(jié)點A到各零級節(jié)點的距離為dsi，其中測距誤差εi1與節(jié)點間距離成比例，獨立且服從方差為高斯分布，則可建立如下方程組:

從方程組(1)的第一個方程開始分別減去最后一個方程，所得的方程組表示為矩陣形式:

式中:

本文針對上述問題提出最優(yōu)加權最小二乘法，其核心是找到最優(yōu)的權系數(shù)陣W，使其估計誤差的方差矩陣達到最小，并且為無偏估計。推導如下:

估計誤差為:

式中:Kij是相關系數(shù)，由于各測距誤差不相關，當i≠j時，Kij=0。

在一級節(jié)點的定位中，權值取值的不同主要取決于測距誤差的不同。上面計算的權值是在方程作差的基礎上取得的。因此，要了解各參考節(jié)點的權值，需再組建一個簡單方程組，經(jīng)過計算得到各節(jié)點的權值，且各權值略小于1。

2．2 二級及二級以上節(jié)點定位

由于無線傳感器節(jié)點間存在距離測量誤差，造成一級節(jié)點的定位有誤差，而這些存在誤差的節(jié)點將被后一級節(jié)點作為參考節(jié)點來對自身進行定位。由于參考節(jié)點受本身的定位誤差和距離測量誤差的影響，后一級節(jié)點的定位誤差呈現(xiàn)增大的趨勢。要提高節(jié)點的定位精度，除了提高距離測量精度外，還需減小參考節(jié)點定位誤差的影響。

如圖1所示C為二級節(jié)點，其參考節(jié)點包括兩個零級參考節(jié)點和一個一級節(jié)點。由于一級節(jié)點受距離測量誤差影響，其估計位置必然存在誤差，因此一級節(jié)點的定位誤差大于零級參考節(jié)點的定位誤差，根據(jù)不同節(jié)點對C節(jié)點精確定位的影響大小，賦予不同的權值。

對于二級及二級以上的節(jié)點，其參考節(jié)點存在不同程度的定位誤差，設各參考節(jié)點定位誤差εi2符服從高斯分布，設其均值為零，方差為σ2il。由于測距誤差εi1也服從高斯分布，因此εi1+εi2仍服從高斯分布，方程組可表示為:

在定位級數(shù)為二級以及二級以上的待定位節(jié)點時，由于參考節(jié)點可能是不同級的，而各級的定位精度不同，賦予的權值也各不同，甚至有較大差異。參考節(jié)點中，除了錨節(jié)點權值略小于1，而對于其它節(jié)點，由于存在節(jié)點位置本身的定位誤差，其權值都小于1，且級數(shù)越高，其本身誤差越大，越不利于后級節(jié)點的正確定位，對應的權值也越小。

3 誤差分析

當只存在測距誤差，各級參考節(jié)點的定位誤差沒有顯著差別，即測距誤差對各級節(jié)點的影響大致相同;當只存在參考節(jié)點定位誤差時，后級節(jié)點的定位誤差明顯大于前級節(jié)點。在遞增式定位過程中，各級節(jié)點定位誤差來源于測距誤差與參考節(jié)點的定位誤差，因此存在嚴重的累積誤差，在相同測距誤差的情況下，累積誤差主要是由節(jié)點的定位誤差決定的，如圖2所示。

圖2 三種情況下的定位誤差對比圖

每條路徑的測距誤差與其路徑長度有關，路徑最短的測距誤差服從獨立的高斯分布 N(0，σ2)。假設待定節(jié)點共K個，第i個待定位節(jié)點的真實坐標為(Xi，Yi)，而根據(jù)本文所運用的定位算法得到的定位坐標為(i，i)，i=0，1，2，…，K。定義節(jié)點定位誤差為節(jié)點的真實位置與估計位置間的距離與通信距離D之比各級節(jié)點平均定位誤差為同級節(jié)點定位誤差之和除以節(jié)點數(shù)。

本文利用的最優(yōu)加權最小二乘可以盡量減小累積誤差帶來的問題，通過計算給不同級節(jié)點引入了不同的權值，誤差越大的節(jié)點對正確定位越不利，相應的權值就越小，并賦予了結果對誤差方差最優(yōu)的特點。下一節(jié)對改進方法進行仿真分析與對比。

4 仿真與對比

以100 m×100 m的正方形農田為單位部署100個節(jié)點，將節(jié)點射頻通信距離設為15 m，測距精度使用相對誤差表示，即誤差占射頻通信距離的比例，測距誤差服從高斯分布。部署于農田中的無線傳感器節(jié)點的主要功能是采集節(jié)點周圍的土壤信息，如溫度、濕度及土壤緊實度等。

仿真階段必須選擇出合理的權值，使定位誤差達到最小。加權最小二乘法中，為了取得能使定位誤差達到相對小的權值，需多次取值進行結果對比。最優(yōu)加權最小二乘法較加權二乘法的最大優(yōu)勢是權值能根據(jù)方差陣的逆陣來取得最高精度的估計值，結果同樣遵循級數(shù)越高，權值越小的原則。測距誤差增大時，要達到最小定位誤差，權值有相應的減小，但這種減小的趨勢不明顯，即測距誤差的影響不占主導作用，影響主要是由參考節(jié)點的位置誤差造成的。圖3為參考節(jié)點定位誤差ε的方差取不同值時的平均誤差圖。

圖3 ε方差不同時各級節(jié)點平均定位誤差對比圖

由圖3可知，ε取不同值時，各級節(jié)點平均定位誤差各不同。ε的方差越大，節(jié)點平均定位誤差也越大。在測距誤差為1%時，由于測距誤差在距離的±1%間呈正態(tài)分布，因此其節(jié)點位置誤差也有變化。圖4是ε的方差一定時，應用最小二乘法、加權最小二乘法和最優(yōu)加權最小二乘法所得到的待定位節(jié)點誤差的對比圖。

圖4 測量誤差一定時不同算法的誤差對比圖

從圖4中的對比可以看出，應用最優(yōu)加權最小二乘法得到的定位誤差明顯低于最小二乘法和加權最小二乘法，對節(jié)點的正確定位具有有效的改進作用。另外由圖可知，不管用何種方法，同一點處的定位誤差呈現(xiàn)相同的趨勢，即低級節(jié)點的定位誤差小于高級節(jié)點，也驗證了本文方法的正確性。

5 結束語

本文根據(jù)遞增式定位方法的特點，提出最優(yōu)加權最小二乘的方法來改進遞增式節(jié)點定位中的缺陷，通過不同測距誤差下定位誤差大小的對比，在一個相對最小的測距誤差下，運用最優(yōu)加權最小二乘法與運用其他定位方法進行MATLAB仿真對比。從仿真結果可以看出，該方法能有效抑制無線傳感器定位迭代循環(huán)過程中誤差累積的影響，使遞增式節(jié)點定位方法能夠越來越廣泛的應用于無線傳感器網(wǎng)絡的定位中。

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