管文文，趙 春

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

一類基于時(shí)滯和年齡分布的非線性種群系統(tǒng)解的唯一性

管文文，趙 春

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

研究一類基于時(shí)滯和年齡分布的非線性種群系統(tǒng)，其狀態(tài)方程由一階偏泛函微分方程描述.利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到了系統(tǒng)解的存在唯一性.

種群模型；時(shí)滯；年齡結(jié)構(gòu)

生物種群系統(tǒng)解的存在唯一性一直是人們十分關(guān)心的問題，關(guān)于年齡分布的種群系統(tǒng)，已有學(xué)者做了大量的研究，并積累了較為豐富的研究成果.文獻(xiàn)［1］研究了依賴年齡的單種群動(dòng)力系統(tǒng)非線性模型解的存在唯一性問題.而在種群演化過程中，時(shí)滯是客觀存在的因素，因此較為合理的種群模型應(yīng)當(dāng)考慮時(shí)滯因素的影響.文獻(xiàn)［2］研究了基于時(shí)滯和年齡分布的齊次模型，證明了解的存在唯一性.本研究在此基礎(chǔ)上考慮非齊次模型解的存在唯一性問題.

本研究提出如下數(shù)學(xué)模型：

其中，A表示個(gè)體最高壽命，狀態(tài)變量p（a，t）表示時(shí)刻t年齡為a的種群個(gè)體密度，常數(shù)τ＞0表示孕育期，函數(shù)μ，β，φ分別表示個(gè)體平均死亡率、出生率、初始時(shí)間段上的種群個(gè)體分布，f（a，t）表示轉(zhuǎn)移人口的數(shù)量，P（a，t）表示種群總的數(shù)量.

本研究假設(shè)：

引理 如果p是系統(tǒng)（1）的解，那么P（t）和B（t）在［0，T］上滿足式（7）—（8）.如果P（t）和B（t）滿足式（7）—（8），且是連續(xù)非負(fù)函數(shù)，那么p是系統(tǒng)（1）的解.

定理 如果條件（H1）和（H2）成立，那么系統(tǒng)（1）存在唯一非負(fù)解.

證明 只需證明P（t）和B（t）有唯一解即可，再由引理則可知系統(tǒng)（1）存在唯一非負(fù)解.

因?yàn)棣樱?，且φ（a，t）已知，則當(dāng)0≤t≤τ時(shí)，B（t）可由式（8）直接求出.首先定義C＋（γ）＝C［［0，γ］，R＋］，其中0≤γ≤τ.設(shè)g∈C＋（γ），令

［1］ Gurtin M E，Maccamy R C.Non－linear age－dependent population dynamics［J］.Arc Ratinal Mech Anal，1974，54：281－300.

［2］ 何澤榮.一類基于時(shí)滯和年齡分布的種群控制問題［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2010，30（1）：53－59.

［3］ Swick K E.A nonlinear age－dependent model of single species population dynamics［J］.SIAM J Appl Math，1977，32（2）：484－498.

［4］ Cushing J M.Model stability and instability in age structured populations［J］.J Theor Biol，1980，86：709－730.

Uniqueness of solution for a class of nonlinear population systems with time delay and age distribution

GUANWenwen，ZHAOChun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A class of nonlinear population systems with time delay and age distribution is studied，whose state system is described by apartial functional differential equation.The uniqueness of solution for the system is proved by means of fixed point theorem.

population model；time delay；age distribution

O175.1

A

1671－1114（2011）03－0001－04

2010－12－05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60972089）；天津市高等學(xué)?？萍及l(fā)展基金計(jì)劃資助項(xiàng)目（20060401）；天津師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目（5RL047）

管文文（1984—），女，碩士研究生.

趙 春（1963—），男，教授，主要從事控制論及其應(yīng)用方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）