陳 舉,拾 兵,劉 勇

(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院,山東青島266100)

河道中的植物群落對(duì)于復(fù)式河道內(nèi)的水流特性產(chǎn)生重要影響,即植物因子對(duì)河相關(guān)系動(dòng)態(tài)調(diào)整的作用是十分顯著的。近年來,隨著生態(tài)河流建設(shè)步伐的不斷推進(jìn),人們加深了對(duì)植物河道水沙特性的理解。但其河相關(guān)系的研究,仍是植物河道設(shè)計(jì)控制理論與堤岸生態(tài)修復(fù)技術(shù)中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題。

目前對(duì)植物河道河相關(guān)系的研究甚少。仙農(nóng)熵的引入,可作為分析水力學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)中一些隨機(jī)特性變量變化規(guī)律的有效工具[1-3]。Cao(1995,1996)、Cao&Knight(1999)對(duì)沖積河流的穩(wěn)定床面形態(tài)作了研究[3-4]。拾兵、王燕等[5](2010)利用仙農(nóng)熵理論推導(dǎo)了沙質(zhì)河床無植物作用時(shí)的河相關(guān)系動(dòng)態(tài)調(diào)整關(guān)系,并通過物理模型試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證,得到了令人滿意的計(jì)算表達(dá)式。本文擬對(duì)植物河道河寬動(dòng)態(tài)調(diào)整進(jìn)行非線性分析和試驗(yàn)研究,旨在建立植物作用下的河相關(guān)系動(dòng)態(tài)調(diào)整表達(dá)式。

1 理論推導(dǎo)

1.1 仙農(nóng)熵

對(duì)于1個(gè)事件X,其信息量l(X)可用該事件出現(xiàn)概率p(X)的負(fù)對(duì)數(shù)來表示,即

對(duì)于某個(gè)物理量的仙農(nóng)熵的定義為其平均信息量。連續(xù)變量y的仙農(nóng)熵H(y)為其數(shù)學(xué)期望,用概率密度函數(shù)可表示為:

式中:p(y)為概率密度,p(y)d y則為該物理量在y至y+d y區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率。

1.2 公式推導(dǎo)

與推導(dǎo)無植物河道河相關(guān)系動(dòng)態(tài)調(diào)整公式類似[5],為得出考慮植物因子在內(nèi)的河相關(guān)系系數(shù)的動(dòng)態(tài)調(diào)整公式,需采用最大熵原理。從物理意義上看,ζ的最大熵導(dǎo)致在滿足約束的前提下,ζ的概率分布趨于均勻。決定ζ的概率分布和大小取決于邊界條件。

圖1 植物河道河相關(guān)系系數(shù)時(shí)間變化示意圖Fig.1 A schematic draw ing of hydraulic geometry facto r varying with time

從理論上講,ζ在(0,T1)內(nèi)是遞增的,之后便趨于穩(wěn)定。對(duì)于T1以后的時(shí)間,ζ1出現(xiàn)的概率為1,其仙農(nóng)熵為0(見圖1)。下面探討(0,T1)內(nèi)的情況。

當(dāng)T=0時(shí),ζ=ζ0;當(dāng)T=T1時(shí),ζ=ζ1。在時(shí)間段(0,T1)內(nèi),均可進(jìn)行河相系數(shù)的采樣計(jì)算,即各時(shí)間點(diǎn)具有相同的采樣概率?？紤]河相系數(shù)隨時(shí)間遞增的關(guān)系,河相系數(shù)小于或等于ζ的概率是T/T1。河相系數(shù)對(duì)應(yīng)的累積概率分布函數(shù)為:

則其概率密度函數(shù)為:

式(4)所示函數(shù)應(yīng)滿足概率空間的性質(zhì),即隨機(jī)概率空間全概率定義和數(shù)學(xué)期望定義這2個(gè)約束條件:

由式(2)知,河相關(guān)系系數(shù)在ζ0和ζ1之間的概率熵為:

為求解(7)式定義的概率熵在滿足(5)、(6)式的約束條件下的極大值,采用變分法求解,約束條件為等式的條件極值。即滿足方程:

式中:λ1,λ2為拉格朗日算子。求解式(8)得河相系數(shù)概率密度函數(shù)為

將式(9)代入約束條件(5)式和(6)式,則求出拉格朗日算子λ1和λ2為:

將式子(9),(10)和(11)代入式(7)可得熵

由式(4)和式(9)知,各式右邊相等,即

解(13)式可得河相系數(shù)動(dòng)態(tài)變化的表達(dá)式:

式(15)描述了由概率熵導(dǎo)出的植物河道河相系數(shù)動(dòng)態(tài)變化表達(dá)式,當(dāng)a=0時(shí),即可化成無植物河道的情況。

2 參數(shù)k的敏感性分析

借助物理模型試驗(yàn),對(duì)k值進(jìn)行敏感性分析。本試驗(yàn)為概化的復(fù)式植物河道物理模型試驗(yàn),滿足重力相似準(zhǔn)則,幾何比尺λL=20。試驗(yàn)河道為順直型,模型控制流量80～140 m3/h,每種工況試驗(yàn)時(shí)間為3 h。即當(dāng)試驗(yàn)接近3 h左右,河床變形很小,可視為河道寬度調(diào)整基本穩(wěn)定。

植物布置見圖2。灘地種植麥冬草,采用規(guī)則布置,排列方式為10 cm×10 cm。由于根系的不規(guī)則性,采用根系的面積比率來計(jì)算根系影響,即a=0.018。試驗(yàn)測(cè)算所得河相系數(shù)各時(shí)間點(diǎn)的值見表1。式(15)各參數(shù)取值見表2。

圖2 植物河道寬度調(diào)整試驗(yàn)布置剖面圖(A)和平面圖(B)Fig.2 Profile chart(A)and plan view(B)for testing rrangement of width adjustment in a vegetated channel model

表1 河相系數(shù)實(shí)測(cè)值Table 1 Measured values of hydraulic geometry factor

表2 相關(guān)參數(shù)取值Table 2 Values of related parameters

圖3選取了幾個(gè)不同的k值,繪出了相應(yīng)的河相系數(shù)動(dòng)態(tài)曲線。當(dāng)k<0時(shí),式(15)對(duì)k的敏感性很差。當(dāng)控制k在20～30,其效果良好,誤差較小。通過誤差分析,k取25時(shí)誤差最小。圖4為計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較,可以看出計(jì)算值與實(shí)測(cè)值非常接近。

由此可知,k的取值決定了式(15)的精確性。只要知道了初始和穩(wěn)定2個(gè)狀態(tài)的邊界條件,即可推求區(qū)間內(nèi)的任意時(shí)刻的河相關(guān)系系數(shù)。

圖3 k的敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis of k

圖4 河相系數(shù)計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較Fig.4 Comparison values of hydraulic geometry factor in calculating and measuring

3 對(duì)植物因子a的分析

在圖2所示的植物河道中,又進(jìn)行了4種植物排列方式的試驗(yàn),流量控制在80 m3/h左右。試驗(yàn)中測(cè)取了穩(wěn)定后的河寬、水深,并計(jì)算對(duì)應(yīng)河相系數(shù),其相關(guān)數(shù)據(jù)見表3。

表3 植物因子與河相系數(shù)關(guān)系Table 3 Relationship between vegetation factor and hydraulic geometry

擬合表3中的數(shù)據(jù),可得植物因子與河相關(guān)系之間的關(guān)系曲線,(見圖5)。其擬合方程為:

圖5 穩(wěn)定河相關(guān)系擬合曲線Fig.5 Fitted curve of stable hydraulic geometry with test data

由上圖可以看出,河相系數(shù)隨著植物因子的增加而遞減。說明植物河道河相關(guān)系系數(shù)受植物影響明顯。當(dāng)灘地種植植物后,因植物根系的作用,河寬調(diào)整受到限制,河道向窄深型發(fā)展。

4 結(jié)論

(1)本文提出了植物河道的河相系數(shù)動(dòng)態(tài)變化表達(dá)式(15),并將植物影響因子考慮其中,若無植物,即可還原至無植物河道的河相系數(shù)動(dòng)態(tài)變化式。

(2)計(jì)算時(shí)的初始和穩(wěn)定狀態(tài)的河相系數(shù),是控制該表達(dá)式的2個(gè)邊界條件。有了這2種狀態(tài)參數(shù),任意時(shí)刻的河相系數(shù)隨植物因子呈現(xiàn)非線性變化規(guī)律。

(3)植物影響因子只考慮了根系的作用,因其影響的復(fù)雜性,若考慮枝葉作用的影響,尚需進(jìn)一步研究。

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[5] 拾兵,王燕等.基于仙農(nóng)熵理論的河相關(guān)系[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版.2010,40(1):095-098.