馮秀紅,楊主旺

(南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,江蘇南京 210044)

＊矩陣乘積之跡的不等式

馮秀紅,楊主旺

(南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,江蘇南京 210044)

研究若干復(fù)矩陣乘積之跡的不等式,并利用得到的不等式推出兩個(gè) Hermite半正定矩陣乘積的任意次冪之跡的不等式,利用矩陣的分解給出一個(gè) Hermite半正定矩陣任意次冪之跡的不等式,推廣了相關(guān)結(jié)果.

Hermite矩陣;跡;不等式

0 引言與引理

矩陣的跡作為矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征在計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)值估計(jì)、隨機(jī)控制及其計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論等方面有重要應(yīng)用.國內(nèi)外學(xué)者對此研究相當(dāng)活躍[1-11].本文運(yùn)用矩陣特征值與奇異值不等式的性質(zhì),獲得m個(gè)復(fù)矩陣乘積以及 Hermite半正定矩陣任意次冪之跡的不等式,推廣了 Yang在文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果.

本文所用記號如下:我們用 I表示單位矩陣,O表示零矩陣,tr(A)表示矩陣A的跡,即矩陣A的主對角線之和或所有特征值之和,λi(A)與σi(A)(i=1,…,n)分別表示n階矩陣A的特征值與奇異值;|λ1(A)|≥…≥|λn(A)|≥0表示n階復(fù)矩陣A的特征值的遞降排序,σ1(A)≥…≥σn(A)≥0表示n階復(fù)矩陣A的奇異值的遞降排序.特別地,當(dāng)A是n階 Hermite半正定矩陣時(shí),λ1(A)≥…≥λn(A)≥0,且σi(A)=λi(A)(i=1,…,n).如果λi(A)≤λi(B)(i=1,…,n),則記 A≤B,或 B≥A.特別地,當(dāng)λi(A)≥0時(shí),記 A≥O.A+表示矩陣A的Moore-Penrose逆.

首先介紹本文需要的引理.

引理1[1-2]設(shè)A與B是 Hermite半正定矩陣,則

其次,設(shè) B是 Hermite半正定矩陣,則?ε＞0,B+εI＞O,于是由上面所證λi(A(B+εI))≥0,因?yàn)樘卣髦凳蔷仃囋氐倪B續(xù)函數(shù)[1],故令ε→0即得所證.

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A1,A2,…,Am是m個(gè)n階復(fù)矩陣,則

甚至tr(A1A2…Am)有可能是復(fù)數(shù).

由引理4可知,當(dāng)A與B都是n階 Hermite半正定矩陣時(shí),λi(AB)≥0,(i=1,…,n),則tr(AB)≥0.

定理2 設(shè)矩陣A與B都是n階 Hermite半正定矩陣,k為任意正整數(shù),則

證明 當(dāng)k=1時(shí),因?yàn)?A與B都是n階 Hermite半正定矩陣,所以σ1(A)=λ1(A),σ1(B)=λ1(B),故由引理4與定理1有

同理,tr(AB)≤λ1(B)tr(A),因而 tr(AB)≤min{λ1(A)tr(B),λ1(B)tr(A)}≤tr(A}tr(B).對于一般情形,由于BAB…AB以及AB…ABA都是 Hermite半正定矩陣,故有

注記4 如果將定理2的條件中B是n階 Hermite半正定矩陣減弱為B是n階 Hermite矩陣,此時(shí)取k,s為正偶數(shù),m=k+s,則定理3的結(jié)論仍然成立.

事實(shí)上,因?yàn)閗,s為正偶數(shù),故可設(shè)k=2~k,s=2~s,則m=2~k+2~s,且 B2是n階 Hermite半正定矩陣,于是由定理2,我們有

[1] Ho rn R A,Johnson C R.Topics in Matrix Analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991.

[2] 王松桂,吳密霞,賈忠貞.矩陣不等式[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2006.

[3] 楊興東.關(guān)于斜 Hermite矩陣乘積之跡的不等式[J].南京師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,24(1):37-39.

[4] 楊興東.關(guān)于 Hermite矩陣跡的不等式[J].南京氣象學(xué)院學(xué)報(bào),2000,23(1):130-132.

[5] Marshall A W,Olkin I.Inequalities:Theory of Majoration and Its Applications[M].New York:Academic Press,1979.

[6] Wang Bo-ying,Gong Ming-peng.Some Eigenvalue Inequalities for Positive Semi-Definite Matrix Power Products[J].L inear Algebra and Its Applications,1993,184:249-260.

[7] Yang X J.NOTE:A Matrix Trace Inequality[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2000,250:372-374.

[8] 楊興東.矩陣之和的特征值與奇異值估計(jì)[J].數(shù)學(xué)雜志,2004,24(3):263-266.

[9] Furuichi Shigeru,Kuriyama Ken,Yanagi Kenjiro.Trace Inequalities for Products of Matrices[J].Linear Algebra and Its Applications,2009,430:2271-2276.

[10] Furuichi Shigeru,Lin Ming-hua.A Matrix Trace Inequality and Its Application[J].Linear Algebra and Its Applications,2010,433:1324-1328.

[11] Komaroff N.Enhancements to the Von Neumann Trace Inequality[J].Linear Algebra and Its Applications,2008,428:738-741.

Trace Inequalities of Product of Matrices

FENG Xiu-hong,YANG Zhu-wang
(College of Mathematics&Physics,N anjing University of Information Science&Technology,Nanjing210044,China)

Some trace inequalities of the product of some comp lex matrices,and derive a trace inequality of the power of product of two positive semidefinite Hermite matrices by using the obtained results.Moreover,we get a trace inequality of the power of a positive semidefinite Hermite matrix by using matrix decomposition,in the mean time,we extend correlative results.

Hermite matrix;trace;inequality

O151.21

A

0253-2395(2011)01-0010-04＊

2010-08-15;

2010-09-30

國家自然科學(xué)基金(10871138);南京信息工程大學(xué)資助項(xiàng)目(20100076)

馮秀紅(1978-),女,山西運(yùn)城人,副教授,博士研究生,主要從事矩陣的研究和教學(xué).E-mail:fengxh78@163.com