郭鵬飛,王俊新

(1.連云港師范高等?？茖W校數(shù)學系,江蘇連云港 222006;2.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所,上海 200072;3.山西財經大學數(shù)學系,山西太原 030031)

＊局部M SSP-群的結構

郭鵬飛1,2,王俊新3

(1.連云港師范高等專科學校數(shù)學系,江蘇連云港 222006;2.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所,上海 200072;3.山西財經大學數(shù)學系,山西太原 030031)

若有限群G的每個Sylow子群的極大子群都在G中s-半置換,則稱G為MSSP-群.文章給出群G的每個極大子群是MSSP-群,但G本身不是MSSP-群的分類.

s-半置換子群;超可解群;內冪零群;內超可解群

本文考慮的群均為有限群,所用群論術語、符號都是規(guī)范的,可參閱文獻[1].

群G的兩個子群H和K若滿足H K=KH,則稱H和K是可置換的.Kegel[2]稱群G的子群H為G的s-置換子群(或s-擬正規(guī)子群),若H與G的每個Sylow子群可置換.作為s-置換性的推廣,陳重穆[3]引入如下定義:群G的子群H被稱為G的s-半置換子群,若H與G的每個滿足條件(p,|H|)=1的Sylow子群可置換.

群論研究中最具有意義的工作之一就是確定具有某種性質的群的結構,并且這方面已有許多有意義的研究成果,這為群論的發(fā)展起到了強有力的推動作用.例如:Schmidt[4]確定出內冪零群的結構,Doerk[5]確定出內超可解群的結構.關于這方面的進一步研究成果可參閱文[6-8].

本文中,我們稱群G為M SSP-群,若G的每個Sylow子群的極大子群都是G的s-半置換子群.若群G的每個極大子群是M SSP-群,但G本身不是M SSP-群,則稱群G為局部M SSP-群,并且給出了局部M SSP-群的分類.

1 預備知識

引理1.1[10,定理7.47]若群G是一個M SSP-群,則G為超可解群.

引理1.2[5]設群G為內超可解群,則

(1)G僅有一個正規(guī)的Sylowp-子群P;

(2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群,且P/Φ(P)非循環(huán)群;

(3)若p≠2,則P的方次數(shù)是p;

(4)若P為非交換群且p=2,則P的方次數(shù)是4.

引理1.3[5]若群G包含4個具有兩兩互素指數(shù)的超可解子群,則G為超可解群.

引理1.4[9,性質1]設H是群G的s-半置換子群,且H≤K≤G,則H是K的s-半置換子群.

引理1.5[11,Theorem2.8]設群G為內冪零群,則G為超可解群的充要條件是G的正規(guī)Sylowp-子群是循環(huán)群.

引理1.6[12,Lemma5]設群G=P〈x〉,P是G的正規(guī)Sylowp-子群且x是一個q-元素.若G的每個Sylow子群的極大子群都是G的正規(guī)子群,則x誘導出P/Φ(P)上的一個冪自同構.

引理1.7[13]設{P1,P2,…,Pr}為可解群G的一個Sylow系,則下列兩個結論等價:

(a)對于i≠j,Pi的每個子群與Pj的每個子群可置換;

(b)設G∞是G的冪零剩余,則G∞是G的交換 Hall子群且G的每個元素誘導出G∞上的一個冪自同構.

2 主要結果

定理2.1 設群G為局部M SSP-群,則G必為下列三種情形之一:

(I)G是超可解群;

(II)G是內冪零群,其中G的正規(guī)Sylowp-子群非循環(huán);

(III)G是內超可解群使得G=PQ,其中P是G的正規(guī)Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正規(guī)Sylowq-子群,p＞q,yq誘導出P/Φ(P)上的一個冪自同構,y誘導出Φ(P)上的一個冪自同構,且至少有一個冪自同構是非平凡的.

證明 若G非超可解群,由于G的每個極大子群都是M SSP-群,利用引理1.1,G為內超可解群.由引理1.2可得,G僅有一個正規(guī)Sylowp-子群P.

現(xiàn)證π(G)=2.若π(G)＞3,由引理1.3可知,G為超可解群,與假設矛盾.因此設π(G)=3且{P,Q,R}是G的一個Sylow系使得P?—G.顯然,PQ或者是G的一個極大子群或者是G的一個極大子群的 Hall子群.若PQ是G的一個極大子群,由假設可知,PQ是一個M SSP-群.若PQ是G的一個極大子群的 Hall子群,由引理1.4可知,PQ是一個M SSP-群.因此,對于P的極大子群P1而言,P1是PQ的s-半置換子群.由P1在PQ中次正規(guī)可得,P1次正規(guī)于P1Q,進而P1正規(guī)于P1Q.類似地,P1正規(guī)于P1R.這時P1正規(guī)于G=〈P,Q,R〉,這與引理1.2矛盾.因此,π(G)=2且可設G=PQ,其中P∈Sylp(G),Q∈Sylq(G),P?—G.

若Q有兩個極大子群Q1和Q2,則PQ1和PQ2都是G的極大子群.類似于上面的討論,對于P的每個極大子群P2而言,P2正規(guī)于G,這與引理1.2矛盾,因此Q是循環(huán)群且設Q=〈y〉.

現(xiàn)在斷言:若Q≤M＜-G,則Φ(P)是M的一個 Sylow子群.記M=P3Q,其中P3是M的一個 Sylow子群.由于[P3,Q]≤P∩P3Q=P3,因此NG(P3)≥P3Q=M.注意到N P(P3)＞P3,因此P3是G的正規(guī)子群.由引理1.2,我們就有P3≤Φ(P).再由M的極大性,我們得出P3=Φ(P)是M的一個Sylow子群.

顯然,G有極大子群P〈yq〉g和Φ(P)Qg,其中g∈G.若p＜q,則G是內冪零群.由引理1.5可知,G的正規(guī)Sylow子群P非循環(huán),因此G是情形(II).

現(xiàn)設p＞q,若G為內冪零群,則G屬于情形(II),因此可設G非內冪零群.因為P的每個極大子群既是P〈yq〉g的s-半置換子群又是P〈yq〉g的次正規(guī)子群,所以P的每個極大子群是P〈yq〉g的正規(guī)子群.類似地,Φ(P)的每個極大子群是Φ(P)Qg的正規(guī)子群.利用引理1.6,yq誘導出P/Φ(P)上的一個冪自同構,y誘導出Φ(P)上的一個冪自同構且至少有一個冪自同構是非平凡的,因此G是情形(III).

推論2.1 非超可解群G是局部M SSP-群的充要條件是G屬于下列兩種情形之一:

(I)G是內冪零群,其中G的正規(guī)Sylowp-子群非循環(huán);

(II)G是內超可解群使得G=PQ,其中P是G的正規(guī)Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正規(guī)Sylowq-子群,p＞q,yq誘導出P/Φ(P)上的一個冪自同構,y誘導出Φ(P)上的一個冪自同構,且至少有一個冪自同構是非平凡的.

證明 顯然,我們只需證明其充分性.

若G是情形(I),則由引理1.5可知,G非超可解群.由引理1.1可知,G非M SSP-群,因此G為局部MSSP-群.

若G是情形(II),由引理1.1可知,G非M SSP-群.類似于定理2.1的證明,G有極大子群P〈yq〉g和Φ(P)Qg,其中g∈G.由于y誘導出Φ(P)上的一個冪自同構且yq誘導出P/Φ(P)上的一個冪自同構,容易證明G的每個極大子群都是M SSP-群,這時G為局部M SSP-群.

推論2.2 非超可解群G是內M SSP-群(非M SSP-群但其每個真子群都是M SSP-群)的充要條件是G屬于下列兩種情形之一:

(I)G是內冪零群,其中G的正規(guī)Sylowp-子群非循環(huán);

(II)G是內超可解群使得G=PQ,其中P是G的初等交換正規(guī) Sylowp-子群,Q=〈y〉是G的非正規(guī)Sylowq-子群,p＞q,且yq誘導出P上的一個非平凡冪自同構.

證明 充分性是顯然的.

只需設G是一個內M SSP-群且G是推論2.1中情形(II),容易證明P的每個極大子群在P〈yq〉g中正規(guī).歸納可知,P的每個子群都被yq正規(guī)化.利用引理1.7,P是初等交換群且yq誘導出P上的一個非平凡冪自同構.

致謝 非常感謝這位認真負責的匿名審稿人所提出的寶貴建議,這些建議使文章增色不少.

[1] Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups[M].New York-Heidelberg-Berlin:Sp ringer-Verlag,1980.

[2] Kegel O H.Sylow-Gruppen und Subnormalteiler Endlicher Gruppen[J].Math Z,1962,78:205-221.

[3] 陳重穆.關于 Srinivasan的一個定理[J].西南師范大學學報:自然科學版,1987,12(1):1-4.

[4] Schmidt O J.über Gruppen,Deren Sàmtliche Teiler Spezielle Gruppen Sind[J].Mat Sbornik,1924,31:366-372.

[5] Doerk K.Minimal Nicht überaufl?sbare,Endliche Gruppen[J].Math Z,1966,91:198-205.

[6] Asaad M.On Minimal Subgroups of Finite Groups[J].Glasgow Math J,2009,51:359-366.

[7] Li SR.On Minimal Non-PE-groups[J].J Pure and Appl Alg,1998,132:149-158.

[8] Sastry N SN.On Minimal Non PN-groups[J].JAlg,1980,65:104-109.

[9] 張勤海,王麗芳.s-半置換子群對群構造的影響[J].數(shù)學學報,2005,48:81-88.

[10] 陳重穆.內外∑-群與極小非∑-群[M].重慶:西南師范大學出版社,1988.

[11] Xu M Y,Zhang Q H.On Conjugate-permutable Subgroups of a Finite Group[J].A lg Colloq,2005,12:669-676.

[12] Walls G.Groups with Maximal Subgroups of Sylow Subgroups Normal[J].Israel J Math,1982,43:166-168.

[13] Huppert B.Zur Sylow struktur Aufl?sbarer Gruppen[J].A rch M ath,1961,12:161-169.

The Structure of Partial MSSP-Groups

GUO Peng-fei1,2,WANG Jun-xin3
(1.Department of Mathematics,Lianyungang Teachers College,Lianyungang222006,China;
2.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai200072,China;
3.Department of Mathematics,Shanxi University of Finance and Economics,Taiyuan030031,China)

A finite groupGis called anMSSP-group if allmaximal subgroups of the Sylow subgroups ofGares-semipermutable inG.We give a classification of these group s which are notMSSP-groups but whose maximal subgroups are allMSSP-groups.

s-semiperm utable subgroup s;supersolvable group s;minimal non-nilpo tent group s;minimal nonsupersolvable groups

O152.1

A

0253-2395(2011)01-0029-03＊

2010-09-01;

2010-10-10

國家自然科學基金(11071155);山西省國土資源廳專項基金(0905910)

郭鵬飛(1972-),男,山西武鄉(xiāng)人,副教授,博士,主要研究領域為有限群論.E-mail:guopf999@163.com