史勤益，梁華秋

（臺(tái)州學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318000）

不等長(zhǎng)雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布

史勤益，梁華秋

（臺(tái)州學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318000）

根據(jù)夫瑯禾費(fèi)衍射與傅立葉變換的關(guān)系，數(shù)值計(jì)算了由寬度相同而長(zhǎng)度不同雙縫組成衍射平面的夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布，結(jié)果表明雙縫長(zhǎng)度之比是影響干涉條紋的可見度的主要因素。

夫瑯禾費(fèi)衍射；不等長(zhǎng)雙縫；傅立葉變換；光強(qiáng)分布

1 引言

衍射是光波動(dòng)性的表現(xiàn)之一。雙縫衍射本質(zhì)上是單縫衍射與雙縫干涉共同作用的結(jié)果，在光學(xué)教學(xué)中分析不同情況下雙縫衍射的條紋特征，可以加深對(duì)光波干涉與衍射的理解。對(duì)衍射光強(qiáng)分布的計(jì)算一般采用惠更斯-菲涅耳原理，由于計(jì)算復(fù)雜，普通教材中只對(duì)等長(zhǎng)等寬雙縫的衍射光強(qiáng)分布給出解析解［1,2］。如果狹縫的長(zhǎng)度或?qū)挾炔煌?，?duì)衍射光強(qiáng)分布又會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響呢？我們注意到洪正平等［3］討論了不等縫寬雙縫衍射光強(qiáng)分布特征，張永炬等［4］用光電傳感器觀測(cè)了雙縫部分相干干涉光強(qiáng)分布，并對(duì)部分相干現(xiàn)象作出理論解釋，但至今尚未見到對(duì)不等長(zhǎng)雙縫衍射光強(qiáng)分布進(jìn)行分析的報(bào)導(dǎo)。本文根據(jù)夫瑯禾費(fèi)衍射與傅立葉變換的關(guān)系，利用數(shù)值計(jì)算分析不等長(zhǎng)雙縫的夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布特點(diǎn)，并定性分析兩縫長(zhǎng)度之比對(duì)光強(qiáng)分布的影響。

2 計(jì)算方法

如圖1（a）所示，衍射平面x0y0由寬度相同而不長(zhǎng)度不同的雙縫組成。狹縫內(nèi)復(fù)振幅透過率為1，狹縫外復(fù)振幅透過率為0。兩條狹縫縫寬均為b，第一條狹縫長(zhǎng)度為l1，第二條狹縫長(zhǎng)度為l2，兩縫中心之間的距離為d。

圖1 等寬不等長(zhǎng)雙縫衍射裝置，其中（a）不等長(zhǎng)雙縫衍；（b）衍射平面與觀察平面的相對(duì)位置

圖1（b）表示衍射平面與觀察平面的相對(duì)位置。衍射平面x0y0與觀察平面xy距離為z，衍射平面上點(diǎn) P（x0y0）與觀察平面上 Q（xy）點(diǎn)的光矢量的復(fù)振幅分別為 U0（P）、U（Q）。對(duì)于夫瑯禾費(fèi)衍射，傍軸條件與遠(yuǎn)場(chǎng)條件同時(shí)得到滿足，則有［5］：

上式中 F{U0（x0,y0）}表示 U0（x0，y0）的傅里葉變換。根據(jù)光強(qiáng) I與|U（x，y）|2的正比關(guān)系即可求得觀察平面上的光強(qiáng)分布。

3 數(shù)值計(jì)算及結(jié)果分析

根據(jù)（1）式，對(duì)雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，我們令兩縫之間的距離為8b。圖3（a）為等長(zhǎng)等寬雙縫衍射光強(qiáng)分布，圖 3（b）～圖 3（f）分別顯示了兩度縫長(zhǎng)度之比 l1/l2分別為 1/2、1/4、1/8、1/16、1/32作為衍射平面的夫瑯禾費(fèi)衍射在垂直狹縫方向的光強(qiáng)分布，圖3（g）為單縫衍射光強(qiáng)分布。

圖2 不等長(zhǎng)雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射在垂直狹縫方向的光強(qiáng)分布

下面我們將分析不等長(zhǎng)雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射在垂直狹縫方向的光強(qiáng)分布特征，定性討論兩條狹縫長(zhǎng)度之比對(duì)條紋可見度的影響。條紋可見度表示為［6］

從上式可以看出條紋中的光強(qiáng)極小值Imin越大，則可見度越小。從圖2中可以看出：

（1）對(duì)比圖（a）～（f）可以看出，與等寬等長(zhǎng)雙縫一樣，不等長(zhǎng)雙縫衍射也是單縫衍射與雙縫干涉共同作用的結(jié)果。雙縫干涉形成密集等間距條紋，而每一干涉條紋的光強(qiáng)最大值受單縫衍射的調(diào)制。由于我們數(shù)值計(jì)算時(shí)采用d=8b，在不等長(zhǎng)雙縫衍射圖樣中，同樣可以看到缺級(jí)現(xiàn)象，即干涉條紋的缺級(jí)發(fā)生在第8，16，…，級(jí)。

（2）當(dāng)兩縫長(zhǎng)度相同，即為等寬等長(zhǎng)雙縫的衍射，如圖2（a）所示，干涉條紋的光強(qiáng)的最小值為0，可見度最大；從圖（b）～（f）可以看出，當(dāng)兩縫長(zhǎng)度不相同時(shí)，干涉條紋的光強(qiáng)的最小值一般不為0，當(dāng)兩縫長(zhǎng)度之比l1/l2減小時(shí)，也就是說兩狹縫長(zhǎng)度的相差變大，干涉條紋可見度呈下降趨勢(shì)；與等長(zhǎng)等寬雙縫衍射光強(qiáng)分布相比較，當(dāng)l1/l2分別為1/2、1/4時(shí)，雖然條紋可見度變小，但衍射中央主極大所包含的干涉條紋仍然明顯可見，當(dāng)l1/l2降低到1/8時(shí)，從圖中可知，中央主極大所包含的最旁邊的條紋已經(jīng)消失，當(dāng)l1/l2繼續(xù)降低時(shí)，就有更多的條紋消失，如當(dāng)l1/l2=1/32，衍射中央主極大下最多只能觀察到0，±1，±2等5條干涉條紋，但可見度較小。

（3）在相同的情況下，單縫衍射除中央主極大以外其余各級(jí)所包含的干涉條紋可見度更小，如當(dāng)l1/l2=1/32時(shí)，單縫衍射除中央主極大以外其余各級(jí)單縫次極大所包含的干涉光強(qiáng)雖有起伏，但基本上已經(jīng)不能形成條紋，衍射光強(qiáng)分布與圖2（g）所示的單縫衍射光強(qiáng)分布接近。

4 結(jié)論

本文根據(jù)夫瑯禾費(fèi)衍射與傅立葉變換的關(guān)系，計(jì)算了寬度相同而長(zhǎng)度不同的雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布，并分析了衍射光強(qiáng)的分布特點(diǎn)，通過以上分析，可以得出如下結(jié)論：

（1）寬度相同而長(zhǎng)度不同的雙縫的夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布，可以看成是單縫衍射與不等長(zhǎng)雙縫干涉共同作用的結(jié)果。缺級(jí)的條件及位置與等寬等長(zhǎng)雙縫相同。

（2）雙縫長(zhǎng)度之比是影響干涉條紋的可見度的主要因素。當(dāng)雙縫長(zhǎng)度差別較大時(shí)，在觀察平面上將得到的是相當(dāng)于兩列強(qiáng)度相差較大的相干光疊加而形成的圖樣，干涉條紋的可見度較低。當(dāng)雙縫長(zhǎng)度接近時(shí)，條紋的可見度較大。當(dāng)兩縫長(zhǎng)度相同時(shí)，在觀察平面上將得到的是普通雙縫的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，條紋可分見度最大，形成了清晰可見的明暗相間條紋。

在教學(xué)中，如果利用激光直接照射雙縫觀察雙縫衍射光強(qiáng)分布，應(yīng)當(dāng)盡量使得激光光斑位于雙縫中心，如果激光光斑偏離其中心，觀察到的相當(dāng)于不等長(zhǎng)雙縫衍射的光強(qiáng)分布，將會(huì)影響干涉條紋的可見度。

［1］母國(guó)光，戰(zhàn)元令．光學(xué)［M］．人民教育出版社，1978：325-331．

［2］姚啟鈞．光學(xué)教程［M］．高等教育出版社，2008：96-97．

［3］洪正平，王秀娥，高嵩．不同縫寬雙縫衍射光強(qiáng)分布的分析［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，25（3）：64-66．

［4］張永炬，馮尚申，梁華秋，鄭薇薇．雙縫部分相干干涉光強(qiáng)分布觀測(cè)與分析［J］.大學(xué)物理，2003，22（4）：32-34．

［5］蘇顯渝，李繼陶．信息光學(xué)［M］．北京：科學(xué)出版社，1999：34-47．

［6］E．赫克特，A．贊斯著，詹達(dá)三，秦克誠(chéng)，林福成譯．光學(xué)（下冊(cè)）［M］．高等教育出版社，1980：867-876．

Fraunhofer Diffraction Light Intensity Distribution of the Double-slit with Inequality Length

SHI Qin-yi，LIANG Hua-qiu
(School of Physics and Electronics Engineering,Taizhou University,Taizhou 318000,China)

According to the relationship between Fraunhofer diffraction and Fourier transformation, the Fraunhofer diffraction light intensity distribution of the double-slit with equality wideth but inequality length is numeriacally calculated. The result shows that the proportion of the length of the double-slit will mainly affect the visibility of the interference fringe of the double-slit.

Fraunhofer diffraction;double-slit with inequality length;Fourier transformation;light intensity distribution

周小莉）

R730.2

A

1672-3708（2011）06-0017-04

2011-08-23；

2011-08-28

梁華秋（1 9 6 7- ），男，浙江臨海人，副教授，主要從事量子信息研究及光學(xué)教學(xué)研究。