郭利軍，褚衍東，張曉剛，翟海峰

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

一個自治系統(tǒng)的混沌控制與同步

郭利軍，褚衍東，張曉剛，翟海峰

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

對一個新三維混沌自治系統(tǒng)進(jìn)行研究.根據(jù)線性負(fù)反饋法和Routh-Hurwitz穩(wěn)定性條件，得到達(dá)到控制目標(biāo)時負(fù)反饋系數(shù)所滿足的條件.根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，利用Lyapunov直接法在響應(yīng)系統(tǒng)中構(gòu)造非線性函數(shù)，實現(xiàn)了該系統(tǒng)的完全同步，并證明了該系統(tǒng)同步誤差的零點穩(wěn)定性.最后利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果表明該方法是可行的、有效的.

自治系統(tǒng)；混沌控制；線性負(fù)反饋法

自從1963年美國氣象學(xué)家Lorenz[1]發(fā)現(xiàn)第一個混沌吸引子、1990年美國海軍研究實驗室的Pecora和Carroll[2]提出混沌同步原理以來，混沌理論、混沌控制和同步就成了非線性領(lǐng)域的研究熱點[3-6]，人們先后提出了許多新的混沌系統(tǒng)，如Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Qi系統(tǒng)、L-S系統(tǒng)等.最近，文獻(xiàn)[7]提出了一個新三維自制系統(tǒng)，并對其非線性動力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了深入分析.本文對文獻(xiàn)[7]的新三維自制系統(tǒng)的控制及同步問題進(jìn)行研究，采用線性負(fù)反饋法將混沌控制到目標(biāo)點，利用Lyapunov直接法在響應(yīng)系統(tǒng)中構(gòu)造非線性函數(shù)，實現(xiàn)了該系統(tǒng)的完全同步，并利用Matlab數(shù)值仿真驗證了方法的有效性.

1 混沌系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)[7]提出的新自治混沌系統(tǒng)的模型如式（1）所示：

式中 (x,y,z)∈R3為控制變量，a和b是正常數(shù)，當(dāng)選取參數(shù)a=16，b=4時，系統(tǒng)（1）處于混沌狀態(tài)，該系統(tǒng)的時間響應(yīng)圖和混沌吸引子如圖1所示.

2 系統(tǒng)（1）的混沌控制

利用線性負(fù)反饋法把混沌態(tài)控制到三維空間中的任意一個點，構(gòu)造如下受控系統(tǒng)：

圖1 系統(tǒng)(1)的時間響應(yīng)曲線和混沌吸引子

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性條件知，當(dāng)

時，所有的特征值都具有負(fù)實部，所以系統(tǒng)（2）將收斂到控制目標(biāo)P(α,β,)γ.

下面用上述方法把系統(tǒng)的混沌吸引子控制到系統(tǒng)（1）的平衡點處.

2.1 將混沌系統(tǒng)控制到平衡點A(0,0,0)

2.2 將混沌控制到平衡點B(15,15,15)

此時對應(yīng)的雅可比矩陣為：

2.3 數(shù)值實驗及結(jié)果

當(dāng)控制參數(shù)取a= 16，b= 4時，系統(tǒng)（1）處于混沌態(tài).本文利用線性負(fù)反饋法及Routh-Hurwitz穩(wěn)定性條件將該系統(tǒng)很好地控制到各平衡點.數(shù)值模擬圖如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)(2)隨時間的變化曲線

1）當(dāng)反饋系數(shù)取k1=1,k2=10,k3=5并滿足式（5），系統(tǒng)（2）的初始值為x0=?8 ,y0=2,z0=5時，系統(tǒng)（2）很好地被控制到平衡點A(0,0,0).

2）當(dāng)反饋系數(shù)取k1=1,k2=1,k3=1并滿足式（7），系統(tǒng)（2）的初始值為x0=?8 ,y0=2,z0=5時，系統(tǒng)（2）很好地被控制到平衡點

3 混沌系統(tǒng)（1）的同步

定義驅(qū)動系統(tǒng)為如下形式：

再取如下系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)：

原系統(tǒng)同步問題可轉(zhuǎn)化為式（10）的穩(wěn)定性問題，只要將誤差系統(tǒng)穩(wěn)定至狀態(tài)空間的原點處，則可以達(dá)到同步的目的.

定理1 對于系統(tǒng)（8）和系統(tǒng)（9），若系統(tǒng)的控制率取

此時，系統(tǒng)（8）和系統(tǒng)（9）漸進(jìn)同步，即對于任意的初始值有

證明：將控制函數(shù)（11）代入誤差系統(tǒng)（10）中，得誤差系統(tǒng)為：

4 實驗與結(jié)果

采用非線性反饋法對一個新三維自治系統(tǒng)的同步問題進(jìn)行研究.為使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，選取控制參數(shù)a=16，b=4.下用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真.當(dāng)控制率選取式（11）時，誤差系統(tǒng)（10）的初始值為e1(0) =?1，e2(0)=2，e3(0) = 1，數(shù)值仿真圖如圖3所示.

圖3 系統(tǒng)(9)的同步誤差

由圖3可以看到，在t=5s時加入控制式（12），在非線性控制器作用下，5s后驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)很快達(dá)到了同步，誤差穩(wěn)定到零點.

5 結(jié) 語

本文利用線性負(fù)反饋法將一個自治系統(tǒng)的混沌態(tài)控制到系統(tǒng)的平衡點處，同時基于Lyapunov直接法構(gòu)造了非線性函數(shù)，并對系統(tǒng)（1）設(shè)計了一種控制器，實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步.最后，借助Matlab數(shù)值仿真檢驗了所給方法的有效性.

[1]Lorenz E N. Deterministic non-periodic flow [J]. J Atmos Sci, 1963, 20: 130-141.

[2]Carroll T L, Pecora L M. Synchronizing chaotic circuits [J]. IEEE Trans Circ Syst, 1991, 38: 453-456.

[3]Li T Y, Yorke J. Period there implies chaos [J]. Amer Math Monthly, 1975, 82: 985-992.

[4]Ott E, Grebogi C, Yorke J A. Controlling chaos [J]. Phys Rew Lett, 1990, 64: 1196-1199.

[5]黃潤生, 黃浩. 混沌及其應(yīng)用[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2005: 318-363.

[6]劉宗華. 混沌動力學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 102-112.

[7]薛薇, 郭彥嶺, 陳增強(qiáng). 永磁同步電機(jī)的混沌分析及其電路實現(xiàn)[J]. 物理學(xué)報, 2009, 12: 8146-8151.

Controlling and Synchronizing Chaos in One Autonomous System

GUO Lijun, CHU Yandong, Zhang Xiaogang, Zhai Haifeng
(School of Mathematics, Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

In this paper, a new three-dimensional autonomous chaotic system was studied. On the basis of the method of linear negative feedback and Routh-Hurwitz criterion, the needed condition of linear negative feedback coefficient in controlling was obtained. Based on the Lyapunov stability theorem, globally synchronization of the system could be achieved by using the Lyapunov’s direct method to create a nonlinear function in the response system. Then, the zero stability of synchronization error was verified to be existed in the system. At last, the method was proved to be feasible and effective by means of numerical simulation with Matlab.

Autonomous System; Controlling Chaos; Method of Linear Negative Feedback

(編輯：王一芳)

O415.5

A

1674-3563(2011)04-0012-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.04.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-10-29

甘肅省自然科學(xué)基金(3ZS-042-B25-049)

郭利軍(1985- )，男，內(nèi)蒙古涼城人，碩士研究生，研究方向：混沌控制和應(yīng)用