劉春苔

(武漢工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，湖北武漢，430023)

設(shè)H是一個(gè)可分Hilbert空間，{ fn}n∈Z是其上的一個(gè)可數(shù)集族.如果存在正常數(shù)A，B，使得對(duì)于任意f∈H，有

則稱(chēng){fn}為H的一個(gè)框架，且稱(chēng)A為框架下界，B為框架上界.

在L2(R)上定義算子Ta，Eb為

對(duì)于任意 g ∈ L2(R)，稱(chēng){e2πimbxg(x-na)}m，n∈Z={EmbTnag}m，n∈Z：=(g，a，b) 為一個(gè) Gabor系統(tǒng)，此時(shí)稱(chēng)g為一個(gè)窗口函數(shù).如果(g，a，b)為一個(gè)框架，則稱(chēng)(g，a，b)為一個(gè)Gabor框架，也稱(chēng)為Weyl-Heisenberg框架(WH框架).

在應(yīng)用中，平方可積空間中的WH框架往往為人們所關(guān)注［1-5］.很自然地有，

問(wèn)題：在L2(R)中，Gabor系統(tǒng)(g，a，b)何時(shí)成為一個(gè)WH框架?

這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)復(fù)雜，目前只解決了某些特殊情形(詳見(jiàn)文獻(xiàn)［1］).鑒于一般窗口函數(shù)，WH框架的存在性很難刻畫(huà)，所以一個(gè)有效的處理方法是將窗口函數(shù)限制為一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)甚至限制為可測(cè)集E的特征函數(shù) χE(x)，若 Gabor系統(tǒng)(χE，a，b)為 WH框架，則稱(chēng)此可測(cè)集E為a，b框架集.有大量文獻(xiàn)涉及到框架集的存在性，比如Gu和Han［6］系統(tǒng)的討論了WH框架的a，b，c問(wèn)題，方法是對(duì)實(shí)直線進(jìn)行分類(lèi)，然后計(jì)算框架的上、下界.Han和Wang［7］討論了高維空間上的網(wǎng)tile成為WH框架集，此時(shí)平移調(diào)制參數(shù)被替換為滿(mǎn)秩矩陣.Janssen［8］利用Zak變換將判別Gabor系統(tǒng)是否為WH框架轉(zhuǎn)化為判別一個(gè)共軛對(duì)稱(chēng)陣是否為正定陣.值得指出的是，何［9］證明了若則(g，a，1)為WH框架的充分且必要的條件是 h在單位圓上沒(méi)有根，此處序列{ an}滿(mǎn)足這推廣了Casazza和Kalton［4］的結(jié)果：將WH框架集的存在性轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問(wèn)題.

本文主要考慮兩個(gè)區(qū)間并所構(gòu)成的Z-tile可測(cè)集E成為a，1-框架集的條件，主要思想來(lái)源于文獻(xiàn)［10］，得到如下定理，這里記號(hào)［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù).

定理1設(shè)集E為兩個(gè)區(qū)間的不交并，0＜a＜1.若E為Z-tile，則存在n∈Z，c∈R，0 ＜ r＜1使得 E= ［0，r)∪［n+r，n+1)+c.此時(shí)集 E 為a，1-框架集等價(jià)于下面兩條之一成立：

(1)a ≤max{r，1-r};

(2)n-［n/a］a∈ {0}∪ {2a-1，a}.

1 若干記號(hào)和引理

首先給出若干記號(hào)，細(xì)節(jié)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］.設(shè)c＞0，R上可測(cè)集E具有有限正Lebesgue測(cè)度，即0＜μ(E)＜∞.定義R到N∪{∞}上的函數(shù)τc為

τc(x)=#{y∈E：存在某個(gè)整數(shù) j使得y=x+cj}，這里#E表示集E的勢(shì).記E(c，k)={x∈E：

τc(x)=k}，k∈N∪{∞}.記號(hào)E+F表示E+F={e+f：e∈E，f∈F}.稱(chēng)集E為R的一個(gè)c覆蓋，如果

進(jìn)一步，如果上述并是不交的(在Lebesgue測(cè)度意義下，下同)，則稱(chēng)E是一個(gè)c-tile.當(dāng)c=1時(shí)，稱(chēng)集E為一個(gè)Z-tile.

引理1［10］設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足ab≤1，集E滿(mǎn)足0＜μ(E)＜∞.如果集E滿(mǎn)足(1)E(1/b，1)是R的一個(gè)a-覆蓋;(2)存在某個(gè)k使得對(duì)任意l≥k有E(1/b，l)=E(a，l)= ?，則E為一個(gè)a，b-框架集.

引理2［10］設(shè)E?R，j∈Z，k1，k2∈N∪{∞}，且 k1≠ k2.則 E(c，k1) ∩ (E(c，k2+cj)= ?.且

進(jìn)一步，若μ(E) ＜+∞，則E(c，+∞)=?.

引理3設(shè)集E是兩個(gè)區(qū)間的不交并.若E是一個(gè)Z-tile，則存在整數(shù)n和實(shí)數(shù)c，r，使得E具有如下形式 E= ［0，r］∪［n+r，n+1］+c，其中r滿(mǎn)足0＜r＜1.

證明：設(shè) E= ［a1，a2) ∪［a3，a4)：=E1∪E2+a1，其中 E1= ［0，a2-a1)，E2= ［a3-a1，a4-a1)，且a1＜a2＜a3＜a4.因?yàn)镋是Z-tlie，所以

R= ∪n∈Z(E+n) =∪n∈Z(E1∪ E2+n) =(∪n∈Z(E1+n)) ∪ (∪m∈ZE2+m)

注意到上式右端并是不交的，從而a2-a1＜1，且存在整數(shù)m使得，［0，1］=E1∪(E2+m)，所以E2+m= ［a2-a1，1)，令r=a2-a1，n=-m，c=a1，則 E可表為

引理4設(shè)集E是兩個(gè)區(qū)間的不交并且集E是一個(gè)Z-tile，則 (1)E(1，1)=E;(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a＞0，存在正整數(shù)k=k(a)，使得E(a，l)=?，l≥ k.

證明：因?yàn)棣?E)＜+∞，故由引理3知，對(duì)于任意正數(shù)c，E(c，∞)=?.從而

再由引理3 可知，E= ［0，r］∪［n+r，n+1］+c，其中0 ＜r＜1.

(1)注意到對(duì)任意x∈R，存在唯一的一對(duì)數(shù)(y，n)∈E ×Z使得x=y+n，所以τ1(x)=1，于是 τ1(E)={1}，從而 E=E(1，1).

(2) 取k=［(n+1)/a］+1，則ka＞n+1.所以E-c?［0，ka)，因此對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有τa(x) ＜k，從而τa(E)?{1，2，3，…，k-1}，于是當(dāng)l≥k時(shí)有 E(a，l)= ?

推論：設(shè) E= ［0，r)∪［n+r，n+1)+c，0＜r＜1，0＜a≤1.則存在正整數(shù)k，使得當(dāng)l≥k時(shí)有 E(1，l)=E(a，l)= ?.

2 定理1的證明

引理5設(shè) E= ［0，r) ∪［n+r，n+1)，1/2≤r＜1.r＜a＜1.若n-［n/a］a≥2a-1或者n/a為整數(shù)，則E是R的一個(gè)a覆蓋.

證明：注意到

其中整數(shù)m滿(mǎn)足n≤ma≤n+r.

(1)當(dāng)n/a∈Z時(shí)，有n/a=m.因?yàn)?/p>

［0，r) ∪［n+r-ma，n+1-ma)= ［0，1) ?［0，a)

所以集E是R的一個(gè)a覆蓋.

(2)而當(dāng)n/a?Z時(shí)，設(shè)l=［n/a］，a1=nla.此時(shí)由m的定義知m=l+1.顯然

再由題設(shè)條件a1≥2a-1知

n+1-ma=la+a1+1-(l+1)a=a1+1-a≥ a.

因此由(1)式知集E是R的一個(gè)a覆蓋.

定理1的證明：集E的表達(dá)式E=［0，r)∪［n+r，n+1)+c已由引理4得到，下面只需刻畫(huà)集E成為a，1-框架集的充要條件.由推論6和引理2知集E是一個(gè)a，1-框架集當(dāng)且僅當(dāng)集E是R的一個(gè)a覆蓋.由于對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)1/2≤r＜1.

充分性.當(dāng)a≤r時(shí)，集E顯然是R的一個(gè)a覆蓋.當(dāng)r＜a＜1時(shí).只需考慮c=0的情形，即E=［0，r)∪［n+r，n+1).而在這種情形下，引理7已證集E是R的一個(gè)a覆蓋，故集E是一個(gè)a，1-框架集.

必要性.由充分性知，只需驗(yàn)證當(dāng)a＞r且0＜a1＜2a-1時(shí)，集E不是R的一個(gè)a覆蓋即可.令l= ［n/a］，則

n+r-(l+1)a＜a1-a+r＜r，n+1-(l+1)a=a1+1-a ＜ a，

所以(a1+1-a，a) ?∪k∈Z(E+ka)，即證集E不是a，1-框架集.

［1］ Casazza P G.The art of frame theory［J］.Taiwanese J Math，2000，5(2)：129-201.

［2］ Casazza P G.Modern tools for Weyl-Heisenberg(Gabor)frame theory［J］.Adv Imag Elect Phys，2001，115：1-127.

［3］ Casazza P G，Christensen O.Weyl-Heisenberg frames for subspaces of L2(R) ［J］.Proc Amer Math Soc，2001，129：145–154.

［4］ Casazza P G.Kalton N J.Roots of complex polynomials and Weyl-Heisenberg frame sets［J］.Proc Amer Math Soc，2002，130(8)：2313-2318.

［5］ Casazza P G，Christensen O.Gabor frames over irregular lattices［J］.Adv Comput Math，2003，18(2-4)：329-344.

［6］ Gu Q，Han D G.When a characteristic function generates a Gabor frame［J］.Appl Comput Harmon Anal，2008，24(3)：290-309.

［7］ Han D G，Wang Y.The existence of Gabor bases and frames［J］.Wavelets，frames and operator theory，2004，345：183-192.

［8］ Janssen A J E M.Zak transforms with few zeros and the tie［C］.Advances in Gabor analysis，31-70，Appl Numer Harmon Anal，Birkhauser Boston，Boston，MA，2003.

［9］ He X G，Lau K S.On the Weyl–Heisenberg frames generated by simplefunctions［J］.J Func Anal，2011，261：1010-1027.

［10］ Lian Q F，Li Y Z.Gabor frame sets for subspaces［J］.Adv Comput Math，2011，34：391-411.