李 高，常秀芳

（山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同037003）

二階變系數(shù)線性微分方程及其衍生方程

李 高，常秀芳

（山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同037003）

目的 探究二階變系數(shù)線性微分方程的求解．方法 從構(gòu)造二階變系數(shù)線性微分方程解的形式出發(fā)，給出正負(fù)各級(jí)衍生方程的概念．結(jié)果 得到二階線性微分方程衍生方程的存在性，各級(jí)衍生方程的遞推公式，導(dǎo)出二階變系數(shù)線性微分方程與衍生方程解的關(guān)系．結(jié)論 得到二階變系數(shù)線性微分方程求解方法的重要結(jié)論．

二階變系數(shù)齊次線性微分方程；初始方程；衍生方程；衍生方程的存在性；遞推公式

現(xiàn)行 《高等數(shù)學(xué)》中的方程，只是對(duì)常系數(shù)微分方程的情況做了詳細(xì)的討論，即使 《常微分方程》也未對(duì)二階變系數(shù)微分方程的解作進(jìn)一步的闡述．

對(duì)二階變系數(shù)線性微分方程由 《常微分方程》教材知，只要能求出二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一個(gè)特解，則二階變系數(shù)線性齊次或非齊次微分方程的解即可求得［1］．盡管目前國內(nèi)外專家學(xué)者進(jìn)行了大量的研究也給出了特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程的求解法［2－5］，以及采用構(gòu)造降階法求二階變系數(shù)線性微分方程的通解［6］．然而到目前為止，如何求出其中的某一特解是無法可循的．本文從構(gòu)造解的形式給出衍生方程，詣在解決二階變系數(shù)線性微分方程求解的問題，并得出成規(guī)求解的方法．

1 衍生方程

假設(shè)二階變系數(shù)線性微分方程

的解的形式為

對(duì) （2）求導(dǎo)

將 （2）、（3）、（4）式代入 （1）式，并整理得

則把方程 （5）就稱為方程 （1）的正一級(jí)衍生二階變系數(shù)線性微分方程，簡稱一級(jí)衍生方程，而方程（1）稱為初始方程或零級(jí)衍生方程．

而由方程 （5）得到的一級(jí)衍生方程

可規(guī)定為方程 （1）的正二級(jí)衍生二階變系數(shù)線性微分方程，簡稱二級(jí)衍生方程．依此類推，由方程 （1）的n－1級(jí)衍生方程可推得方程 （1）的n級(jí)衍生方程

其中

綜上所述，可以把方程 （1）定義為方程 （5）的負(fù)一級(jí)衍生二階變系數(shù)線性微分方程，簡稱負(fù)一級(jí)衍生方程，而方程 （5）稱為初始方程或零級(jí)衍生方程；方程 （1）稱為方程 （6）的負(fù)二級(jí)衍生二階變系數(shù)線性微分方程，簡稱負(fù)二級(jí)衍生方程，而方程 （6）稱為初始方程或零級(jí)衍生方程；依此類推，方程 （1）稱為方程 （7）的負(fù)n級(jí)衍生方程，而方程 （7）稱為初始方程或零級(jí)衍生方程．注意的是衍生方程的級(jí)數(shù)又是相對(duì)的，初始方程或零級(jí)衍生方程也是相對(duì)的，而正負(fù)二級(jí)或以上的衍生方程通稱為高級(jí)衍生方程．

若記p0（x）＝p（x），q0（x）＝q（x），則 （8）式就稱為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的正級(jí)衍生方程系數(shù)的通項(xiàng)公式．

又由 （8）式可得

則 （9）式就稱為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的負(fù)級(jí)衍生方程系數(shù)的通項(xiàng)公式．

2 衍生方程的存在性

由衍生方程系數(shù)通項(xiàng)公式 （8）或 （9）知，p（x）、q（x）均為常數(shù)時(shí)，方程就沒有衍生方程，即常系數(shù)線性微分方程無衍生方程，這也就是說常系數(shù)線性微分方程的解為什么有成規(guī)的歐拉法［7］，而變系數(shù)線性微分方程為什么沒有成規(guī)求解法的原因所在．

3 方程與衍生方程的解

3．1 負(fù)一級(jí)衍生方程的解

由衍生方程概念知，初始方程的解正好是負(fù)一級(jí)衍生方程所設(shè)解的形式 （2）中的函數(shù)u（x），因此，若初始方程的解是已知的，設(shè)為u（x），按 （2）式即可求得負(fù)一級(jí)衍生方程的解．

3．2 正一級(jí)衍生方程的解

若初始方程的解是已知的，設(shè)為y，則由 （3）式可得正一級(jí)衍生方程的解u（x）

綜上所述，只要初始方程的解是已知的，即可求得各級(jí)衍生方程的解或通解，又由于衍生方程的級(jí)數(shù)是相對(duì)的，所以只要在各級(jí)衍生方程中能夠知道其中某級(jí)衍生方程的解或通解，就可以求得二階變系數(shù)線性微分方程的解或其通解．但在多數(shù)情況下，隨著衍生級(jí)數(shù)的增大，得到的衍生方程就會(huì)越來越復(fù)雜，其通解也會(huì)隨之愈來愈繁瑣．為此，通過衍生方程求二階變系數(shù)線性微分方程的解時(shí)，觀察二階變系數(shù)線性微分方程的特征，依據(jù)問題應(yīng)靈活使用．

4 舉例

例 已知初始方程

的通解

求其正、負(fù)一級(jí)衍生方程及其通解．

解 根據(jù)p0（x）＝tanx，q0（x）＝－cos2x

當(dāng)n＝0時(shí)，由 （9）式得

則所求方程的負(fù)一級(jí)衍生方程為

而由初始方程知其兩個(gè)線性無關(guān)的特解為

由 （2）可得負(fù)一級(jí)衍生方程兩個(gè)線性無關(guān)的特解為

故所求方程的負(fù)一級(jí)衍生方程的通解為

當(dāng)n＝1時(shí)，由 （8）式得

則所求方程的正一級(jí)衍生方程為

又由 （10）可得正一級(jí)衍生方程兩個(gè)線性無關(guān)的特解為

故所求方程的正一級(jí)衍生方程的通解為

［1］ 王高雄．常微分方程 ［M］．北京：高等教育出版社，1985：1－46

［2］ 常秀芳，李高．伯努利方程的幾種新解法 ［J］．雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，23（02）：89－91

［3］ 李錄蘋，王通．關(guān)于幾類二階微分方程的解法 ［J］．雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，22（02）：71－72

［4］ 李高，常秀芳．不定方程x2＋y2＋z2＝2（xy＋yz＋xz）的解及其性質(zhì) ［J］．山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，27（03）：6－10

［5］ 常秀芳，李高．股票漲跌中數(shù)學(xué)模型的研究 ［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，24（06）：63－66

［6］ 李高，常秀芳．關(guān)于二階變系數(shù)線性微分方程求解法的研究［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（06）：12－19

［7］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué) ［M］．北京：高等教育出版社，2003：259－317

Second－order Variation Coefficient Linear Differential Equation and Its Derivative Equation

LI Gao，CHANG Xiu－fang
（School of Coal Engineering，Shanxi Datong University，Datong 037003，Shanxi，China）

Objective To explore the solution to second－order variation coefficient linear differential equations．Methods By constructing the models of the solution to this kind of equation，the concept of all levels of derivative equations is obtained．Results The existence of the derivative equations，and the recurrence formula of those equations are obtained，and the relations between the primitive equation and the derivate equations are deduced．Conclusion Important conclusions of the solution to this kind of equations are obtained．

second－order variation coefficient linear differential equation；primitive equation；derivative equation；existence of derivative equations；recurrence formula

O 175．1

A

1673－1492 （2011）05－0013－03

來稿日期：2011 07 13

李高（1965－），男，山西天鎮(zhèn)人，山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院副教授．

常秀芳 （1965－），女，山西應(yīng)縣人，山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院副教授．

劉守義 英文編輯：劉彥哲］