(中山開放大學(xué)，廣東 中山，528402)

1 引言與主要結(jié)果

定理A如果f(z)是超越的全純函數(shù)，其增長(zhǎng)級(jí)滿足：0<ρ(f)<∞，這里

則對(duì)于任意有限復(fù)數(shù)a，都有

μ(f-a)=ρ(f)

至多有一個(gè)a值例外,其中μ(f-a)稱為f(z)-a的零點(diǎn)序列的收斂指數(shù)，可根據(jù)如下定義1給出.

定義1給定復(fù)數(shù)序列{zn}，滿足條件：0<|z1|≤|z2|≤… (如果{zn}是無窮序列，則有|zn|→∞(n→∞)).用n(r)表示圓盤Dr={z:|z|≤r}內(nèi)所含序列{zn}中復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)(按重?cái)?shù)計(jì)算)，稱之為序列{zn}的計(jì)數(shù)函數(shù). 令

稱其為序列{zn}的收斂指數(shù).

定理A中的例外值稱為全純函數(shù)f(z)的Borel值.

1929年，芬蘭數(shù)學(xué)家Nevanlinna發(fā)展了一套理論，引進(jìn)亞純函數(shù)的特征函數(shù)T(r,f)，將上述結(jié)果推廣到亞純函數(shù)[3]：

定理B如果f(z)是超越的亞純函數(shù)，其增長(zhǎng)級(jí)滿足：0<ρ(f)<∞，這里

μ(f-a)=ρ(f)

至多有兩個(gè)a值例外.

定理B中的例外值稱為亞純函數(shù)f(z)的Borel值.

此后，眾多學(xué)者從不同的角度對(duì)上述定理進(jìn)行了推廣[4-6].最近，我們對(duì)于ρ(f)=∞的情形，采用Sato引進(jìn)的方法[7]，將Borel定理推廣到具有p階正級(jí)的亞純函數(shù)的情形，給出了如下定理[8].

μp(f-a)=ρp(f)

至多有兩個(gè)a值例外.其中

稱為f(z)的p階增長(zhǎng)級(jí)，這里log[1]u=log+u,log[k+1]u=log+{log[k]u}.而μp(f-a)是f(z)-a的零點(diǎn)序列{zn}的p階收斂指數(shù)，由下列公式定義：

當(dāng)f(z)是全純函數(shù)時(shí)，其p階增長(zhǎng)級(jí)還可由下式定義

這里，M(r,f)是f(z)的最大模函數(shù).

我們稱上述定理中的例外值為亞純函數(shù)f(z)的p階Borel值.

這些結(jié)果都沒有論及增長(zhǎng)級(jí)ρp(f)=0的情形.有學(xué)者斷言：ρ(f)=0的亞純函數(shù)沒有Borel值！其實(shí)不然！我們發(fā)現(xiàn)：存在ρ(f)=0的超越亞純函數(shù)，有一個(gè)Picard值！當(dāng)然，更可以有一個(gè)Borel值.

本文，我們采用Juneja等學(xué)者的方法[10]，對(duì)滿足ρp(f)=0的亞純函數(shù)的增長(zhǎng)性進(jìn)行更細(xì)致的刻劃，引進(jìn)如下定義.

定義2給定整數(shù)p≥1，設(shè)f(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的超越亞純函數(shù)，即有：ρp(f)=0，ρp-1(f)=∞.對(duì)于整數(shù)l≥m≥0，稱

為f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型.進(jìn)一步，

(1) 稱f(z)是p階零級(jí)極小型的，如果存在m≥0，使得：1≤σp(m,m+1;f)<∞；

(2) 稱f(z)是p階零級(jí)極大型的，如果存在m≥1，使得：0<σp(m,m;f)≤1；

(3)稱f(z)是p階零級(jí)中間型的，如果對(duì)所有l(wèi)≥m≥0，有：σp(m,l;f)=0或∞.

當(dāng)f(z)是全純函數(shù)時(shí)，其p階零級(jí)增長(zhǎng)型還可由下式定義

相應(yīng)地，還要對(duì)p階收斂指數(shù)為零的復(fù)數(shù)序列{zn}，給出增長(zhǎng)型的概念.

定義3給定復(fù)數(shù)序列{zn}，滿足條件：μp({zn})=0，μp-1({zn})=∞.對(duì)于整數(shù)l≥m≥0，稱

為{zn}的p階零級(jí)增長(zhǎng)型.進(jìn)一步，

(1) 稱{zn}是p階零級(jí)極小型的，如果存在m≥0，使得：1≤λp(m,m+1;{zn})<∞；

(2) 稱{zn}是p階零級(jí)極大型的，如果存在m≥1，使得：0<λp(m,m;{zn})≤1；

(3) 稱{zn}是p階零級(jí)中間型的，如果對(duì)所有n≥m≥0，有：λp(m,n;{zn})=0或∞.

特別地，當(dāng){zn}是函數(shù)f(z)-a的全部非零零點(diǎn)序列時(shí)，{zn}的型稱為f(z)的a值點(diǎn)列的型, 記為

λp(m,l;f-a)=λp(m,l;{zn}).

現(xiàn)在，我們可以考慮推廣定理B和C到零級(jí)的情形，給出如下定理.

μp(f-a)=0，μp-1(f-a)=∞，

且f(z)的a值點(diǎn)列的p階零級(jí)增長(zhǎng)型等于f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型，即對(duì)于所有l(wèi)≥m≥0，有：

λp(m,l;f-a)=σp(m,l;f)，

當(dāng)p>1時(shí)，至多有兩個(gè)a值例外；而當(dāng)p=1時(shí)，至多有一個(gè)a值例外.

我們稱上述定理中的例外值為函數(shù)f(z)的p階零級(jí)Borel值.

特別地，作為定理1的推論，我們有：

推論1如果f(z)是1階零級(jí)的超越全純函數(shù)，則f(z)沒有Borel值和Picard值.

2 p階零級(jí)增長(zhǎng)型的比較

為了證明我們的結(jié)論，需要在亞純函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型之間引進(jìn)高低比較的概念.

命題1設(shè)整數(shù)p≥1.如果f(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，則對(duì)于任意l≥m≥0，σp(m,l;f)具有下列性質(zhì)：

(1)0≤σp(m,m;f)≤1，m=1,2,…；

(2)σp(l,m;f)=0，1≤m

(3)1≤σp(m-1,m;f)≤∞，m=1,2,…；

(4)σp(m-1,l;f)=∞，1≤m

(5) 如果存在整數(shù)k≥1，使得σp(k,k;f)>0，則可記k=inf{k′:0<σp(k′,k′;g)≤1}，從而有：1≤mk時(shí)，σp(m,m;f)=1；以及σp(m,m+1;f)=∞，m=1,2,….

(6) 如果存在整數(shù)k≥1，使得σp(k-1,k;f)<∞，則可記k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞}，從而有：1≤mk時(shí)，σp(m,m+1;f)=1；以及σp(m,m;f)=0，m=1,2,….

證明由ρp(f)=0可知：對(duì)于ε>0，當(dāng)r充分大時(shí)有：log[p]T(r,f)≤εlogr.于是有：

log[p+1]T(r,f)≤logε+log[2]r.

(2.1)

由此可得：0≤σp(1,1;f)≤1.對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)，就可得：0≤σp(2,2;f)≤1.如此下去，就得到性質(zhì)(1).

從(2.1)式可得：σp(2,1;f)=0，進(jìn)而易知：σp(n,1;f)=0，n≥2.類似地，從σp(m,m;f)≤1，可導(dǎo)出：σp(l,m;f)=0，l>m.這就是性質(zhì)(2).

由ρp-1(f)=∞可知：任取實(shí)數(shù)A>0，存在序列{rn}使得：log[p-1]T(rn,f)≥Alogrn，于是有：

log[p]T(rn,f)≥logA+log[2]rn.

(2.2)

由此可得：1≤σp(0,1;f)≤∞.對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)，就可得：1≤σp(1,2;f)≤∞.如此下去，就得到性質(zhì)(3).

從(2.2)式還可得σp(0,2;f)=∞，進(jìn)而知：σp(0,l;f)=∞，l≥2.類似地，從1≤σp(m-1,m;f)，可導(dǎo)出：σp(m-1,l;f)=∞，l>m.這就是性質(zhì)(4).

如果存在整數(shù)k≥1，使得σp(k,k;f)>0，記σ=σp(k,k;f)，對(duì)于ε>0且σ-ε>0，則有序列{rn}使得：log[p+k]T(rn,f)≥(σ-ε)log[k+1]rn，因而可得：σp(k,k+m;f)=∞，m=1,2,….再對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，有：log[p+k+1]T(rn,f)≥log(σ-ε)+log[k+2]rn，結(jié)合性質(zhì)1可得：σp(k+1,k+1;f)=1.重復(fù)此步驟，就得：σp(k+m,k+m;f)=1，m=1,2,….由此，可得：σp(k+m,k+m+1;f)=∞，m=1,2,….記k=inf{k′:0<σp(k′,k′;f)≤1}，這表明m≥k時(shí)有σp(m,m+1;f)=∞.再考慮1≤m0，有σp(k-1,k;f)=∞；結(jié)合性質(zhì)(3)，由此可得σp(m,m+1;f)=∞.由k的定義，結(jié)合性質(zhì)(1)可得：σp(m,m;f)=0.這就是性質(zhì)(5).

如果存在整數(shù)k≥1，使得σp(k-1,k;f)<∞，記σ=σp(k-1,k;f)，對(duì)于ε>0，則當(dāng)r充分大時(shí)有：log[p+k-1]T(r,f)≤(σ+ε)log[k+1]r.因而得到：log[p+k]T(r,f)≤log(σ+ε)+log[k+2]r.由此得：σp(k,k;f)=0，再結(jié)合性質(zhì)(3)可得：σp(k,k+1;f)=1.重復(fù)此步驟，進(jìn)而可得：σp(k+m-1,k+m;f)=1，m=1,2,….由此可得：σp(k+m,k+m;f)=0，m=1,2,….記k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞}.這表明m≥k時(shí)有σp(m,m;f)=0.再考慮1≤m

命題證畢.

作為命題1的推論，我們有如下：

命題2設(shè)整數(shù)p≥1，f(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，則下列結(jié)論成立：

(1)如果f(z)不是極小型的，則對(duì)所有整數(shù)m≥0，總有σp(m,m+1;f)=∞.

(2)如果f(z)不是極大型的，則對(duì)所有整數(shù)m≥1，總有σp(m,m;f)=0.

(3)如果f(z)既不是極小型的，也不是極大型的，則f(z)必是中間型的.

命題3設(shè)整數(shù)p≥1.如果f(z)和g(z)都是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，則下列結(jié)論成立：

(1)當(dāng)f(z)是極小型的，g(z)是中間型的時(shí)，存在整數(shù)k≥0，使得：σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g)，且對(duì)于任意l≥m≥0，皆有σp(m,l;f)≤σp(m,l;g).

(2)當(dāng)f(z)是中間型的，g(z)是極大型的時(shí)，存在整數(shù)k≥1，使得：σp(k,k;f)<σp(k,k;g)，且對(duì)于任意l≥m≥0，皆有σp(m,l;f)≤σp(m,l;g).

(3)當(dāng)f(z)是極小型的，g(z)是極大型的時(shí)，存在整數(shù)k≥0，使得：σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g)；或者，存在整數(shù)k′≥1，使得：σp(k′,k′;f)<σp(k′,k′;g)；且對(duì)于任意l≥m≥0，皆有σp(m,l;f)≤σp(m,l;g).

證明由f(z)是極小型的可知：存在k′≥0，使得：1≤σp(k′,k′+1;f)<∞.不妨記

k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞}，

則有：1≤σp(k,k+1;f)<∞，σp(k+l,k+1;f)=0，σp(k+l,k+l+1;f)=1，l=1,2,…；以及：σp(m,m+1;f)=∞，0≤m

由g(z)是極大型的可知：存在k′≥1，使得：0<σp(k′,k′;g)≤1.不妨記

k=inf{k′:0<σp(k′,k′;g)≤1}，

則有：0<σp(k,k;g)≤1，σp(k+l,k+l;g)=1，σp(k+l,k+l+1;g)=∞，l=1,2,…；以及：σp(m,m;g)=0，1≤m

由f(z)是極小型的可知：存在k≥0，k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞}，滿足1≤σp(k,k+1;f)<∞.而由g(z)是極大型的可知：存在k′≥1，k′=inf{k:0<σp(k,k;g)≤1}，滿足0<σp(k′,k′;g)≤1.于是，由性質(zhì)(5)知：σp(k,k+1;f)<∞=σp(k,k+1;g)；或者由性質(zhì)(6)知：σp(k′,k′;f)=0<σp(k′,k′;g).這就是結(jié)論(3).

至此，命題得證.

現(xiàn)在，根據(jù)命題3，我們引進(jìn)如下定義.

定義4給定整數(shù)p≥1，設(shè)f(z)和g(z)都是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，稱f(z)的增長(zhǎng)型低于g(z)的增長(zhǎng)型(或稱g(z)的增長(zhǎng)型高于f(z)的增長(zhǎng)型)，如果下列條件之一成立：

(1)f(z)是極小型的，g(z)是中間型的；

(2)f(z)是極小型的，g(z)是極大型的；

(3)f(z)是中間型的，g(z)是極大型的；

(4)f(z)和g(z)都是極小型的，k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞}，l=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;g)<∞}，且k

(5)f(z)和g(z)都是極小型的，k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞}=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;g)<∞}，且σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g)；

(6)f(z)和g(z)都是極大型的，k=inf{k′:0<σp(k′,k′;f)}，l=inf{k′:0<σp(k′,k′;g)}，且k>l(此時(shí)有σp(l,l;f)=0<σp(l,l;g))；

(7)f(z)和g(z)都是極大型的，k=inf{k′:0<σp(k′,k′;f)}=inf{k′:0<σp(k′,k′;g)}，且σp(k,k;f)<σp(k,k;g).

3 幾個(gè)引理

本節(jié)，我們給出幾個(gè)后面要用到的引理.

引理1給定整數(shù)p≥1，設(shè)f(z)和g(z)都是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，則它們的和、差、積、商都是p階零級(jí)的亞純函數(shù).進(jìn)一步，如果f(z)的增長(zhǎng)型低于g(z)的增長(zhǎng)型，則f(z)+g(z)和f(z)g(z)的增長(zhǎng)型都等于g(z)的增長(zhǎng)型.

證明由特征函數(shù)的性質(zhì)：T(r,f+g)≤T(r,f)+T(r,g)+log2和T(r,fg)≤T(r,f)+T(r,g)，不難得到：ρp(f+g)≤max{ρp(f),ρp(g)}=0和ρp(fg)≤max{ρp(f),ρp(g)}=0.其次，由ρp(g)=ρp(-g)，可得ρp(f-g)=0.再由Nevanlinna第一基本定理，可得：ρp(g)=ρp(1/g)，因此ρp(f/g)=0.這就完成引理前半部分的證明.

如果f(z)的增長(zhǎng)型低于g(z)的增長(zhǎng)型，先證明f(z)+g(z)的增長(zhǎng)型等于g(z)的增長(zhǎng)型.依據(jù)定義4和命題3，可分為兩種情形：

情形一，存在整數(shù)k≥0，使得：σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g).由特征函數(shù)的性質(zhì)，我們有

σp(k,k+1;f+g)≤max{σp(k,k+1;f),σp(k,k+1;g)}=σp(k,k+1;g)，

和σp(k,k+1;f)=σp(k,k+1;-f)，再結(jié)合g=(f+g)+(-f)，便得

σp(k,k+1;g)≤max{σp(k,k+1;f+g),σp(k,k+1;-f)}≤σp(k,k+1;g).

這就導(dǎo)出：σp(k,k+1;f+g)=σp(k,k+1;g).由此我們斷言：ρp-1(f+g)=∞，因而f(z)+g(z)的增長(zhǎng)型等于g(z)的增長(zhǎng)型.

為證明上述斷言，假設(shè)ρp-1(f+g)<∞，則有σp-1(m,m;f+g)≤1，m=1,2,….這等同于σp(m-1,m;f+g)≤1，m=1,2,….對(duì)于m=k+1，就有σp(k,k+1;f+g)=σp(k,k+1;g)≤1.另一方面，由σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g)和命題1中性質(zhì)(3)知必有:1<σp(k,k+1;g).矛盾！這表明我們的斷言成立.

情形二，存在整數(shù)k≥1，使得：σp(k,k;f)<σp(k,k;g).由特征函數(shù)的性質(zhì)，我們有

σp(k,k;f+g)≤max{σp(k,k;f),σp(k,k;g)}=σp(k,k;g)

和σp(k,k;f)=σp(k,k;-f)，再結(jié)合g=(f+g)+(-f)，便得

σp(k,k;g)≤max{σp(k,k;f+g),σp(k,k;-f)}≤σp(k,k;g).

這就導(dǎo)出：σp(k,k;f+g)=σp(k,k;g).由此，我們斷言：ρp-1(f+g)=∞，因而f(z)+g(z)的增長(zhǎng)型等于g(z)的增長(zhǎng)型.

為證明上述斷言，假設(shè)ρp-1(f+g)<∞，則有σp-1(m,m;f+g)≤1，m=1,2,….這等同于σp(m-1,m;f+g)≤1，m=1,2,….對(duì)于m=k，就有σp(k-1,k;f+g)=σp(k-1,k;g)≤1.另一方面，由σp(k,k;f)<σp(k,k;g)和命題1中性質(zhì)(5)知必有:σp(k-1,k;g)=∞.矛盾！這表明我們的斷言成立.

完全類似地討論，可證明f(z)g(z)的增長(zhǎng)型也等于g(z)的增長(zhǎng)型.

引理得證.

λp(m,l;{zn})≤σp(m,l;f).

(3.1)

(3.2)

由此可得：

μp(f-a)≤ρp(f)=0，

即f(z)-a的零點(diǎn)序列{zn}也是p階零級(jí)的.進(jìn)一步，當(dāng){zn}是p-1階無窮的時(shí)，由定義3和定義2，結(jié)合(3.2)式，不難得到(3.1)式.

引理得證.

引理3給定整數(shù)p≥1，設(shè)φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的全純函數(shù)，則f(z)=exp(φ(z))是p+1階零級(jí)、p階無窮的全純函數(shù).

證明由ρp(φ)=0，及M(r,f)≤exp(M(r,φ))，可得ρp+1(f)=0.其次，由ρp-1(φ)=∞，存在序列{rn}，使得

應(yīng)用Pòl(fā)ya關(guān)于復(fù)合函數(shù)最大模的一個(gè)不等式[11]：

其中0

因而可得：

此即：ρp(f)=∞.故引理得證.

特別地，當(dāng)φ(z)為超越全純函數(shù)時(shí)，我們有[12]：

即φ(z)是零階無窮的全純函數(shù)，因而依據(jù)上述引理結(jié)論，f(z)=exp(φ(z))是1階無窮的全純函數(shù)，即有：ρ1(f)=∞.

引理4給定實(shí)數(shù)區(qū)間(0,∞)上的非降正值函數(shù)α(x)和β(x)，滿足條件：

則對(duì)所有整數(shù)m≥1，都成立：

這里exp[1](u)=eu，exp[m+1](u)=exp {exp[m](u)}.

證明我們對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法來證明引理結(jié)論.

先考慮m=1的情形.由

及

可得

即m=1的時(shí)候，引理結(jié)論成立.

假設(shè)m=k的時(shí)候引理結(jié)論也成立.再考慮m=k+1的情形.

記α1(x)=exp{α(x)}，β1(x)=exp{β(x)}，則α1(x)和β1(x)也滿足引理?xiàng)l件.根據(jù)歸納假設(shè)，可得：

于是由歸納法可知引理結(jié)論成立.

引理得證.

引理5給定整數(shù)p≥1，若復(fù)數(shù)序列{zn}是p階零級(jí)、p-1階無窮的，即滿足條件：μp({zn})=0，μp-1({zn})=∞，則{zn}的p階零級(jí)增長(zhǎng)型還可由下式給出：

這里整數(shù)l≥m≥0.

證明記rn=|zn|，n(r)是序列{zn}的計(jì)數(shù)函數(shù)，由n(rn)≥n，可得：

另一方面，{rn}中必存在一個(gè)子序列{rnk}(k=1,2,…)滿足條件：rnk→∞(k→∞)以及

rnk

則當(dāng)rnk≤r

引理得證.

引理6給定整數(shù)p≥1，如果f(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的超越全純函數(shù)，具有冪級(jí)數(shù)展式

其中ak皆不為零，則f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型滿足：

證明記

先考慮σ<∞的情形，則對(duì)于ε>0，當(dāng)r>r0=r0(ε)時(shí)，有

logM(r,f)

由關(guān)于冪級(jí)數(shù)系數(shù)的Cauchy不等式，可從上式導(dǎo)出：對(duì)所有k≥1，成立

log|ak|

取

可得：

于是，當(dāng)k充分大時(shí)，有：

由此可歸納地導(dǎo)出：

進(jìn)而可得：

再令ε→0，便得到：

對(duì)于σ=∞的情形，上式顯然成立.

為證相反的不等式，記

同樣先考慮σ<∞的情形，則對(duì)于ε>0，當(dāng)k>k0=k0(ε)時(shí)，有

而由

其中A(k0)是次數(shù)不高于k0的多項(xiàng)式，S是一個(gè)整數(shù)滿足條件：S

M(r,f)

注意到上式中兩個(gè)級(jí)數(shù)都是收斂的，可以得到：

log[2]M(r,f)

因此有：

再令ε→0，便得到：

對(duì)于σ=∞的情形，上式顯然成立.

故此引理得證.

引理7設(shè)整數(shù)p≥1，f(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)f′(z)也是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，且f′(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型等于f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型.

證明由[13]

T(r,f)<Ο(T(2r,f′)+logr)

和[14]

T(r,f′)<2T(r,f)+S(r,f)

易得證引理結(jié)論.

4 p階零級(jí)復(fù)數(shù)序列形成的典型乘積

給定復(fù)數(shù)序列{zn}，滿足條件：0<|z1|≤|z2|≤… ，|zn|→∞(n→∞).Weierstrass最早認(rèn)識(shí)到[12]：可以適當(dāng)?shù)剡x取正整數(shù)序列{λn}，使得無窮乘積

(4.1)

是復(fù)數(shù)平面上的全純函數(shù).Borel發(fā)現(xiàn)[1]：當(dāng)μ1({zn})<∞時(shí)，可以取整數(shù)λn=q,n=1,2,…，滿足q≤μ1({zn})≤q+1，使得μ1({zn})=ρ1(Φ).我們最近發(fā)現(xiàn)[8]：對(duì)于p≥1，當(dāng)μp({zn})<∞時(shí)，可以取λn=[logn],n=1,2,…，這里[u]是u的整數(shù)部分，使得μp({zn})=ρp(Φ).我們稱這樣的Φ(z)為序列{zn}形成的典型乘積.

本節(jié)，我們?cè)谖腫8]的基礎(chǔ)上，給出更進(jìn)一步的結(jié)論：

定理2設(shè)整數(shù)p≥1.如果復(fù)數(shù)序列{zn}是p階零級(jí)、p-1階無窮的，則它形成的典型乘積Φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的全純函數(shù)，且Φ(z)的增長(zhǎng)型等于序列{zn}的增長(zhǎng)型.

證明依據(jù)文[9]，我們僅須證明Φ(z)的增長(zhǎng)型等于序列{zn}的增長(zhǎng)型.依據(jù)引理2可得到： 對(duì)p≥1和任意整數(shù)l≥m≥0，皆有

λp(m,l;{zn})≤σp(m,l;Φ).

為證明相反的不等式，記λp(m,l;{zn})=λ，先考慮λ<∞的情形.對(duì)于ε>0，當(dāng)r>r0=r0(ε)時(shí)，有

n(r)

(4.2)

另外，記rn=|zn|，考慮級(jí)數(shù)

(4.3)

其中，nk是整數(shù)滿足條件：[lognk]=k和[log(nk-1)]=k-1，這里[u]表示u的整數(shù)部分.特別地，記n0=1，容易計(jì)算出：n1=3，n2=8，n3=21，n4=55，等等.且不難證明[8]：

(4.4)

由(4.3)式，有ak皆不為零，且

據(jù)此，結(jié)合(4.4)式，可對(duì)l≥1歸納地得出：當(dāng)k充分大時(shí)，成立

另一方面，我們有l(wèi)og[p+m-1]k≤log2+log[p+m-1](k-1)，則有

注意到log[p+m-1](k-1)≤log[p+m]nk-1，再結(jié)合引理6和引理5，可得：

于是對(duì)于上述ε>0，當(dāng)r>r1=r1(ε)時(shí)，有

M(r,h)

(4.5)

現(xiàn)在，我們來估計(jì)log|Φ(z)|，固定|z|=r，記(4.1)中通項(xiàng)為

(4.6)

結(jié)合(4.2)式有

≤(logn(r)+1)M(r,h)<2exp[p+m-2]((log[l]r)λ+ε)×exp[p+m-1]((log[l]r)λ+ε).

(4.7)

<2exp[p+m-2]((log[l]2r)λ+ε)×exp[p+m-1]((log[l]2r)λ+ε).

(4.8)

則有

(4.9)

將(4.7)，(4.8)和(4.9)代入(4.6)式中，可以得到：

log[2]M(r,Φ)≤5exp[p+m-2]((log[l]2r)λ+ε)+log4,

從而有

令ε→∞，就得到：

σp(m,l;Φ)≤λp(m,l;{zn}).

當(dāng)λ=∞時(shí)，上式顯然成立.

定理得證.

5 p階零級(jí)的全純函數(shù)組的Borel定理

在亞純函數(shù)值分布的研究中，Nevanlinna發(fā)展的特征函數(shù)法有著非常重要的作用，開拓了嶄新的研究領(lǐng)域，收獲了豐富多彩的成果.這一方法的巨大成功，使得人們逐漸淡忘了早期Borel獲得關(guān)于全純函數(shù)的Borel定理時(shí)所用的因子分解法.

其實(shí)，因子分解法是一個(gè)偏重于構(gòu)造性的方法.而要證明我們的結(jié)果，使用因子分解法或許更恰當(dāng)些.此外，我們還需要用到Borel關(guān)于全純函數(shù)組的一個(gè)定理，借助它才可以不使用Nevanlinna第二基本定理，直接將Borel關(guān)于全純函數(shù)的例外值定理推廣到亞純函數(shù)[8].因此，為證明定理1，我們需要如下結(jié)論：

定理3給定整數(shù)p>1，設(shè)fj(z),φj(z),j=1,2,…,n是兩組全純函數(shù)，滿足條件：

(1)f1(z)exp(φ1(z))+f2(z)exp(φ2(z))+…+fn(z)exp(φn(z))=0；

(2)fj(z)都是p階零級(jí)的，φj(z)都是p-1階零級(jí)、p-2階無窮的，j=1,2,…,n；

(3)當(dāng)1≤j≤n,1≤h,k≤n,h≠k時(shí)，fj(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型低于exp (φh(z)-φk(z))的p階零級(jí)增長(zhǎng)型.

則有：fj(z)≡0,j=1,2,…,n.

證明我們對(duì)于n(>1)使用歸納法.

先考慮n=2的情形.假設(shè)定理結(jié)論不真，則不妨設(shè)f1(z)?0. 于是根據(jù)條件(1)，可有：

而由條件(2)，上式右端亞純函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型低于左端函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型，矛盾！這一矛盾說明假設(shè)是不對(duì)的，因而定理結(jié)論成立.

現(xiàn)假設(shè)n=m時(shí)定理結(jié)論成立，再考慮n=m+1的情形.由條件(1)，有：

f1(z)exp(φ1(z))+…+fm(z)exp(φm(z))+fm+1(z)exp(φm+1(z))=0.

(5.1)

如果fm+1(z)≡0，則由歸納假設(shè)可得：fj(z)≡0,j=1,2,…,m.故可設(shè)fm+1(z)?0，并令

(5.2)

則可將(5.1)式改寫為：

g1(z)exp(ψ1(z))+g2(z)exp(ψ2(z))+…+gm(z)exp(ψm(z))=1，

(5.3)

根據(jù)引理1和(5.2)式，這里的gj(z)，exp(ψj(z))，j=1,2,…,m，也滿足條件(2)和(3).

對(duì)(5.3)式兩端求導(dǎo)數(shù)，得到：

(g′1+ψ′1g1)exp(ψ1(z))+…+(g′m+ψ′mgm)exp(ψm(z))=0.

(5.4)

由引理1和引理7知g′j+ψ′jgj的p階零級(jí)增長(zhǎng)型不高于gj(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型，從而知g′j+ψ′jgj，exp(ψj(z))，j=1,2,…,m，也滿足條件(2)和(3).根據(jù)歸納假設(shè)和(5.4)式，可得：

g′j+ψ′jgj≡0，j=1,2,…,m.

解微分方程，有：

gj(z)=cjexp(-ψj(z)),j=1,2,…,m.

如果cj≠0，則由(5.2)式知：上式左端函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型低于右端函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型，矛盾！因此，只能有：cj=0.進(jìn)而有：gj(z)≡0，j=1,2,…,m.將它們代入到(5.1)式中，得到：fm+1(z)≡0，與我們假設(shè)fm+1(z)?0矛盾！因此表明：n=m+1時(shí)定理結(jié)論也成立.

得證定理.

用完全類似的討論，我們還可以得到如下結(jié)論.

定理4給定整數(shù)p≥1，設(shè)fj(z),φj(z),j=1,2,…,n；是兩組全純函數(shù)，滿足條件：

(1)f1(z)exp(φ1(z))+f2(z)exp(φ2(z))+…+fn(z)exp(φn(z))=0；

(2)fj(z)都是p階有窮的，j=1,2,…,n；

(3)當(dāng)1≤h,k≤n,h≠k時(shí)，exp(φh(z)-φk(z))都是p階無窮的.

則有：fj(z)≡0,j=1,2,…,n.

這個(gè)定理也是文[8]中定理6的推論.

6 p階零級(jí)的亞純函數(shù)的Hadamard因子分解定理

本節(jié)，我們借助于定理2，將Hadamard關(guān)于全純函數(shù)的因子分解定理推廣到p階零級(jí)的亞純函數(shù)的情形.給出如下定理.

定理5給定整數(shù)p≥1，如果f(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，則它可表示為：

(6.1)

且成立下列結(jié)論：

(1)Ρ1(z)=zmΦ1(z)，m≥0是f(z)在原點(diǎn)處的零點(diǎn)的階數(shù)，當(dāng)f(z)的非零零點(diǎn)序列{zn}是無窮的時(shí)，Φ1(z)是f(z)的非零零點(diǎn)序列形成的如(4.1)式所示的典型乘積，而當(dāng)f(z)的非零零點(diǎn)序列{zn}是有窮的時(shí)，Φ1(z)具有形式：

(2)Ρ2(z)=zkΦ2(z)，k≥0是f(z)在原點(diǎn)處的極點(diǎn)的階數(shù)，當(dāng)f(z)的非零極點(diǎn)序列{yn}是無窮的時(shí)，Φ2(z)是f(z)的非零極點(diǎn)序列形成的如(4.1)式所示的典型乘積，而當(dāng)f(z)的非零極點(diǎn)序列{yn}是有窮的時(shí)，Φ2(z)具有形式：

(3)Ρj(z),j=1,2都是p階零級(jí)的全純函數(shù)，且如果Ρj(z)是p-1階無窮的全純函數(shù)，則Ρj(z)的增長(zhǎng)型不高于f(z)的增長(zhǎng)型.

(4)φ(z)是p-1階零級(jí)的全純函數(shù)，特別地，當(dāng)p=1時(shí)，φ(z)≡c是常數(shù).

證明結(jié)論(1)和(2)是顯然的.僅需注意到：m>0時(shí)，必有k=0；以及k>0時(shí)，必有m=0.

根據(jù)引理2和定理2便可得到結(jié)論(3).

為證結(jié)論(4)，令

則F(z)是沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)的亞純函數(shù)，因而有F(z)=eφ(z)，這就得到(6.1)式.再依據(jù)引理1，可知F(z)是p階零級(jí)的全純函數(shù).再次應(yīng)用Pòl(fā)ya關(guān)于復(fù)合函數(shù)最大模的一個(gè)不等式[11]：

其中0

因而可得：

ρp-1(φ)≤ρp(F)=0，

即φ(z)是p-1階零級(jí)的全純函數(shù).

當(dāng)p=1時(shí)，φ(z)是0階零級(jí)的全純函數(shù)，因而有φ(z)≡c是常數(shù).

定理證畢.

7 定理1的證明

情形一，ρp-1(Ρj)<∞，j=1,2,3.先考慮三個(gè)復(fù)數(shù)中一個(gè)為零，一個(gè)為無窮的場(chǎng)合.不妨設(shè)為：a1=0，a2=∞，于是a3≠0,∞，應(yīng)用定理5，有：

(7.1)

且ρp-1(eφ1)=ρp-1(f)=∞.

考慮函數(shù)

它是沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)的亞純函數(shù)，因而有F(z)=eφ2(z)，且ρp-1(eφ2)=ρp-1(f)=∞.于是得：

Ρ1(z)eφ1(z)-a3Ρ2(z)=Ρ3(z)eφ2(z)，

(7.2)

Ρ1(z)-a3Ρ2(z)e-φ1(z)=Ρ3(z)eφ2(z)-φ1(z).

(7.3)

從(7.3)式可得：ρp-1(eφ2-φ1)=ρp-1(e-φ1)=∞.應(yīng)用定理4，導(dǎo)出：Ρ1(z)≡0，Ρ2(z)≡0，Ρ3(z)≡0.矛盾！這個(gè)矛盾說明假設(shè)是錯(cuò)誤的，即ρp-1(Ρj)<∞，j=1,2,3不能成立.

再考慮三個(gè)復(fù)數(shù)中一個(gè)為無窮，沒有復(fù)數(shù)為零的場(chǎng)合.不妨設(shè)a2=∞，令g(z)=f(z)-a1，知g(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的亞純函數(shù)，且記b1=0，b2=∞，b3=a3-a1，則g(z)-bj的全部零點(diǎn)形成的典型乘積就是f(z)-aj的全部零點(diǎn)形成的典型乘積Ρj(z).重復(fù)上面的討論，導(dǎo)出矛盾！故此這種場(chǎng)合也不成立.

因此，情形一不成立.

情形二，存在某個(gè)ρp-1(Ρj)=∞.注意到ρp-1(Ρj)<∞時(shí)有σp(0,1;Ρj)=σp-1(1,1;Ρj)≤1，即Ρj的p階零級(jí)增長(zhǎng)型不高于極小型，從而所有Ρj(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型都低于f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型，j=1,2,3.

類似于情形一的討論，應(yīng)用定理5和定理3可以導(dǎo)出矛盾！故情形二也不成立.這樣就證明了定理1對(duì)于整數(shù)p>1的結(jié)論.

先考慮兩個(gè)復(fù)數(shù)中一個(gè)為零，一個(gè)為無窮的場(chǎng)合.不妨設(shè)為：a1=0，a2=∞，于是應(yīng)用定理5，有：

(7.4)

這里C為常數(shù).注意到ρ0(Ρj)<∞等價(jià)于Ρj(z)是多項(xiàng)式，可知至少有一個(gè)ρ0(Ρj)=∞，不妨設(shè)為ρ0(Ρ1)=∞.于是由ρ0(Ρ2)<∞時(shí)有σ1(0,1;Ρ2)=σ0(1,1;Ρ2)≤1≤σ1(0,1;Ρ1)，可知Ρ2(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型不高于Ρ1(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型，從而Ρ1(z)和Ρ2(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型都低于f(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型.對(duì)于ρ0(Ρ1)=ρ0(Ρ2)=∞的情形，假設(shè)定理結(jié)論不真導(dǎo)出Ρ1(z)和Ρ2(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型都低于f(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型.

這樣，應(yīng)用引理1可知，(7.4)式右端函數(shù)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型低于左端函數(shù)f(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型.矛盾！這個(gè)矛盾說明對(duì)于這種場(chǎng)合假設(shè)是錯(cuò)誤的.

再考慮兩個(gè)復(fù)數(shù)中一個(gè)為無窮的場(chǎng)合.不妨設(shè)為：a2=∞，令g(z)=f(z)-a1，知g(z)是1階零級(jí)、0階無窮的亞純函數(shù)，且記b1=0，b2=∞，則g(z)-bj的全部零點(diǎn)形成的典型乘積就是f(z)-aj的全部零點(diǎn)形成的典型乘積Ρj(z).重復(fù)上面的討論，導(dǎo)出矛盾！這個(gè)矛盾說明對(duì)于這種場(chǎng)合假設(shè)也是錯(cuò)誤的.

于是定理1得證.

現(xiàn)在，我們來給出一些p階零級(jí)的亞純函數(shù)的例子.

例1給定整數(shù)p≥1，m≥0，取復(fù)數(shù)序列{zn}滿足條件：

則應(yīng)用引理4和引理5，可得：

μp({zn})=0，μp-1({zn})=∞，λp(m,m+1;{zn})=λ.

應(yīng)用定理2，可知序列{zn}形成的如(4.1)式所示的典型乘積Φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的極小型的全純函數(shù).

例2給定整數(shù)p≥1，m≥1，取復(fù)數(shù)序列{zn}滿足條件：

則應(yīng)用引理4和引理5，可得：

μp({zn})=0，μp-1({zn})=∞，λp(m,m;{zn})=λ.

應(yīng)用定理2，可知序列{zn}形成的如(4.1)式所示的典型乘積Φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的極大型的全純函數(shù).

問題：應(yīng)該如何構(gòu)造p階零級(jí)、p-1階無窮的中間型的全純函數(shù)Φ(z)？

例3給定整數(shù)p≥1，取φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無窮的全純函數(shù)，{zn}和{yn}是p階有窮的復(fù)數(shù)序列，它們所形成的典型乘積為Φ1(z)和Φ2(z)，則Φ1(z)和Φ2(z)都是p階有窮的全純函數(shù).令

則f(z)是p+1階零級(jí)、p階無窮的亞純函數(shù)，以0和∞為其p+1階零級(jí)Borel值.

例4取Φ1(z)為1階零級(jí)的超越全純函數(shù)，Φ2(z)為多項(xiàng)式，令

則f(z)是1階零級(jí)、0階無窮的亞純函數(shù)，以∞為其1階零級(jí)Borel值，事實(shí)上，∞為其Picard值.