馬 新，平靜水

(淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038)

永磁同步電機(jī)(PMSM)因其體積小、性能好、結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、快速響應(yīng)能力強(qiáng)、具有高效率及良好的動(dòng)靜態(tài)特性等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛的應(yīng)用于高精度位置控制的伺服系統(tǒng)，如在工業(yè)機(jī)器人、航空航天、數(shù)控機(jī)床、精密電子儀器設(shè)備[1]等電動(dòng)機(jī)性能、控制精度要求較高的應(yīng)用場合與領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.然而，PMSM的精確的位置控制卻由于其速度和電流的非線性耦合以及轉(zhuǎn)矩方程中的非線性而變成一個(gè)復(fù)雜的問題[2].因此從電機(jī)的非線性入手，實(shí)現(xiàn)PMSM的高性能控制具有重要的意義.隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，非線性技術(shù)逐步應(yīng)用到電機(jī)控制系統(tǒng)中，如Backstepping[3]、反饋線性化[4]、無源性控制[5]方法等，但是這些方法都存在一定的局限性，為了達(dá)到精確地位置控制，克服以上方法的局限性，本文將采用新的控制方法——終端滑?？刂破?，它是一種快速控制機(jī)制[6-12]，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂時(shí)，它的性能達(dá)到理想點(diǎn).對于強(qiáng)耦合高階系統(tǒng)，當(dāng)某些狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到零時(shí)，將對其它狀態(tài)不再有影響.本文是在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上利用文獻(xiàn)[13]中的數(shù)學(xué)模型所做的進(jìn)一步研究.

1 系統(tǒng)描述

以定子d、q軸電流id，iq和轉(zhuǎn)子角速度ω為狀態(tài)變量，永磁同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型可表示為

(1)

控制任務(wù):希望通過調(diào)節(jié)定子的電壓ud和uq，使得轉(zhuǎn)子角速度ω在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到理想的轉(zhuǎn)子角速度ω*.

定義跟蹤誤差為x1e=ω-ω*，并記

x2e=iq，x3e=id

則系統(tǒng)(1)可化為

(2)

2 控制器設(shè)計(jì)

首先取電壓輸入信號ud為

(3)

其中β>0為一設(shè)計(jì)參數(shù).由系統(tǒng)(2)的最后一個(gè)方程得

(4)

從而，x3e在有限時(shí)間T0內(nèi)收斂到零.于是，當(dāng)t>T0時(shí)，方程(2)變?yōu)?/p>

(5)

下面引入一個(gè)坐標(biāo)變換使得系統(tǒng)(5)化為可控標(biāo)準(zhǔn)形，使之在新坐標(biāo)系下更便于設(shè)計(jì)TSM控制器.定義坐標(biāo)變換為

(6)

其中y1，y2相應(yīng)于廣義跟蹤誤差.于是系統(tǒng)(5)可化為

定義

(7)

則V是一種廣義的電壓輸入信號，不具有實(shí)際的物理意義.

下面設(shè)計(jì)V，使得yi(i=1，2)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零.取TSM流形[7]為:

(8)

其中β1為正常數(shù)，p1>q1為正奇數(shù)，取

(9)

當(dāng)y1，y2收斂到零時(shí)，由可逆變換(6)可知，x1e在有限時(shí)間T之后變?yōu)榱?，由x1e的定義可知ω(t)在有限時(shí)間內(nèi)分別完全跟蹤理想狀態(tài)ω*(t).

由(3)、(6)和(7)可求得d軸與q軸電壓分別為:

(10)

t>T時(shí)，由上述分析易知電壓uq為有界的信號.

由上述分析，不難得到如下的定理:

定理1 對于給定的永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(1)，設(shè)ω*表示理想的轉(zhuǎn)子角速度.電壓輸入信號uq由(10)式給出，TSM切換面由(8)式給出，則在某一有限時(shí)間之后，轉(zhuǎn)子角速度ω將精確地跟蹤到理想的轉(zhuǎn)子角速度ω*，跟蹤誤差達(dá)到零并且永遠(yuǎn)保持為零.且在整個(gè)跟蹤過程中，閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號是有界的.

永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(1)的TSM控制器的設(shè)計(jì)步驟如下:

(1)取控制律uq=0，ud如(3)式所示，則x3e在有限時(shí)間T0內(nèi)收斂到零;(2)在T0間之后，取廣義電壓輸入信號V如(9)式所示，則y1，y2在有限時(shí)間T內(nèi)收斂到零，即x1e，x2e在有限時(shí)間T內(nèi)收斂到零.且控制量ud，uq，V在整個(gè)控制過程中是有界的.

3 仿真研究

對于給定的PMSM系統(tǒng)(1)，其參數(shù)設(shè)置如下:定子電阻R1=0.9，電機(jī)極對數(shù)np=2，d軸等效電感Ld=0.732×10-3H，q軸等效電感Lq=0.216×10-3H，電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)ψr=0.506Nm/A2，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=2.99×10-4kg·m2，負(fù)載粘滯摩擦系數(shù)B=0.035N·m·s/rad，負(fù)載有關(guān)正的位置常數(shù)

TL=4.08N·m.

TSM參數(shù)取為:

q=q1=3，p=p1=5，β=β1=5，K=5

初始值為:x1(0)=-1，x2(0)=5，x3(0)=5， 理想的負(fù)載速度ω*為:

ω*=πcos(2t)(1-e0.3t3)+0.45πsin(2t)e-0.3t3，

仿真圖像如圖1所示.其中圖(a)和(c)、(d)為跟蹤誤差和控制律隨時(shí)間的變化曲線.圖(b)為實(shí)際轉(zhuǎn)子的速度跟蹤理想的轉(zhuǎn)子的速度隨時(shí)間的變化曲線.由圖(a)可知跟蹤誤差x1e在大約6.5秒時(shí)收斂到零，表明通過調(diào)節(jié)定子的電壓Vd和Vq，使得轉(zhuǎn)子速度ω在大約6.5秒時(shí)間內(nèi)達(dá)到理想的轉(zhuǎn)子速度ω*.由圖(b)可以看出實(shí)際轉(zhuǎn)子的速度ω在有限時(shí)間(6.5秒)以后可以實(shí)現(xiàn)對理想轉(zhuǎn)子速度ω*的完全跟蹤.由圖(c)表明控制律Vq在整個(gè)控制過程中始終是有界的;圖(d)表明控制律Vd在t=0.5秒時(shí)達(dá)到零并永遠(yuǎn)保持為零.

本文將遞推TSM有限時(shí)間收斂的控制方法應(yīng)用于PMSM系統(tǒng)，充分利用了有限時(shí)間跟蹤控制方法的分析簡單，動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，應(yīng)用廣泛等優(yōu)勢，保證了系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到完全跟蹤的目的.仿真結(jié)果充分顯示了該控制策略的有效性.

圖1 跟蹤誤差、轉(zhuǎn)子速度和控制律隨時(shí)間的變化曲線

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