付宏睿，俞建寧，張建剛

(蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院，甘肅蘭州730070)

自從1990年P(guān)ecora和Carroll［1］首次發(fā)現(xiàn)混沌同步以后，混沌同步得到各個領(lǐng)域的普遍關(guān)注并掀起了研究熱潮［2－4］．在復雜動力學網(wǎng)絡(luò)中，一個重要的現(xiàn)象就是節(jié)點之間的同步．如果復雜網(wǎng)絡(luò)中各個節(jié)點代表一個混沌系統(tǒng)，那么復雜網(wǎng)絡(luò)的同步就是大量節(jié)點的混沌同步問題［5－9］．

由于混沌信號本身具有良好的特性，所以非常有利于應用在保密通信系統(tǒng)中［10－13］．混沌信號自身具有非周期性連續(xù)帶寬頻譜，類似噪聲及對初值極端的敏感性，使得它具有不可預測和天然的隱蔽性，利用上述特點將其應用于保密通信．信號的混沌加密主要是信號的加密，解密以及信號的傳輸．混沌加密的方式多種多樣，但是目前大多數(shù)復雜網(wǎng)絡(luò)的混沌通信系統(tǒng)都是含有2個節(jié)點的混沌系統(tǒng)，在發(fā)送端經(jīng)過1次加密，在接收端解密1次就可以恢復有用信號，安全性比較低．本文利用對初值極其敏感的多節(jié)點的混沌系統(tǒng)對信息進行加密，多節(jié)點的混沌保密通信系統(tǒng)含有3個或更多個節(jié)點的混沌系統(tǒng)，可以大大提高混沌保密通信的安全性．

本文對復雜網(wǎng)絡(luò)中具有N個節(jié)點的全局耦合網(wǎng)絡(luò)的全局漸近同步進行了研究，給出了其同步的條件，并將其應用到保密通信中，提出了一種多級混沌保密通信系統(tǒng)的實現(xiàn)方法．最后對3個節(jié)點的Lorenz系統(tǒng)的全局耦合網(wǎng)絡(luò)進行了數(shù)值仿真，證明了該方法的有效性．

1 模型描述

1．1 復雜網(wǎng)絡(luò)模型

考慮一個由N個相同節(jié)點通過耦合作用構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，在這個網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點都是一個n維的動力系統(tǒng)．網(wǎng)絡(luò)中第i個節(jié)點的狀態(tài)方程為：

其中A(xi)+f(xi，t)表示節(jié)點間無耦合作用時的混沌系統(tǒng)，xi=(xi1，xi2，…，xin)∈Rn為節(jié)點i的狀態(tài)變量，常數(shù)d為耦合強度，H(xj)：Rn→Rn為各個節(jié)點狀態(tài)變量之間的內(nèi)部耦合函數(shù)，也稱為各節(jié)點的輸出函數(shù)，假設(shè)每個節(jié)點具有相同的輸出函數(shù)，矩陣B=(bij)N×N表示網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣，當耦合矩陣B描述了一個無權(quán)無向拓撲網(wǎng)絡(luò)時，其定義如下：當i≠j時，若節(jié)點i和節(jié)點j之間有連接，則bij=1;若節(jié)點i和節(jié)點j之間不存在連接，則是一個對稱矩陣．

1．2 復雜網(wǎng)絡(luò)同步的定義

2 混沌同步方案

2．1 理論分析

考慮由N個相同節(jié)點組成的全局耦合網(wǎng)絡(luò)，這N個相同節(jié)點構(gòu)成的全局耦合網(wǎng)絡(luò)模型如式(1)．全局耦合網(wǎng)絡(luò)的連接矩陣為：

并令各節(jié)點的狀態(tài)變量之間的內(nèi)部耦合函數(shù)為：

則N個相同節(jié)點的全局耦合網(wǎng)絡(luò)模型為：

設(shè)

由于混沌系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡都是有界的，而Mi，i+1(i=1，…，N-1)，MN，1都是關(guān)于狀態(tài)軌跡的函數(shù)矩陣，故都為有界矩陣．令各個節(jié)點的同步誤差為：

則誤差系統(tǒng)為：

所以誤差系統(tǒng)寫成向量形式為：

其中，D=diag(d，d，…，d)n，n 是節(jié)點的狀態(tài)變量個數(shù)．

定理1 若存在耦合強度d＞0，使得BN+BTN對于x1，x2，…，xN(由于混沌是有界的，即x1，x2，…，xN有界)一致負定，則誤差系統(tǒng)(3)的零解一致漸近穩(wěn)定，從而全局耦合網(wǎng)絡(luò)(2)全局漸近同步．其中：

其中，A'=A+AT，Mi，i+1'=Mi，i+1+MT

i，i+1，i=1，2，…，N-1，MN，1'=MN，1+MT

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：V=eTe則V延誤差系統(tǒng)(3)的解的全導數(shù)為：

N，1．

2．2 數(shù)值仿真

以Lorenz系統(tǒng)為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，取節(jié)點數(shù)N=3，Lorenz系統(tǒng)為：

因為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點是相互耦合的，故3個節(jié)點的全局耦合網(wǎng)絡(luò)模型為：

運用Matlab進行數(shù)值仿真，選取耦合參數(shù)d=2，仿真結(jié)果表明3個節(jié)點的初始狀態(tài)不同，但最終實現(xiàn)了混沌同步．同步誤差圖如圖1所示．

3 復雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的保密通信

為了提高復雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的混沌同步保密通信系統(tǒng)的安全性能與傳輸性能，提出了如圖2所示的復雜網(wǎng)絡(luò)的多級混沌同步保密通信系統(tǒng)．在發(fā)送端，有用信號首先與混沌信號進行合成，將合成的混沌信號作用于第1個節(jié)點的混沌系統(tǒng)，然后將傳輸?shù)幕旌闲盘?/p>

在作用于第2個節(jié)點的混沌系統(tǒng);在接收端，發(fā)送系統(tǒng)與接收系統(tǒng)同步以后，經(jīng)信道傳輸?shù)幕煦缧盘柦?jīng)過2級解調(diào)后恢復出原有用信號．顯然，由于有用信號直接作用于混沌系統(tǒng)且經(jīng)過多次加密，并且在接收端必須經(jīng)過2級解調(diào)才能恢復有用信號，考慮到混沌信號對初值的依賴性與敏感性，故該方案在安全性能方面要優(yōu)越于以往的同步掩蓋保密方案．

選擇連續(xù)信號m(t)=sin(t)，混合信號為s(t)=m(t)+x11(t)，由圖2可知：s'(t)=s(t)+x21(t)，s″(t)=s'(t)+x31(t)．設(shè)m'(t)和m″(t)分別是第1次和第2次解密后的信號．令節(jié)點1和節(jié)點2為發(fā)射系統(tǒng)：

令節(jié)點3為接收系統(tǒng)：

圖3顯示了數(shù)值仿真結(jié)果．很明顯，有用信號很快恢復出來．這種基于3個節(jié)點的混沌系統(tǒng)的多級混沌同步保密通信系統(tǒng)經(jīng)過了2次加密，與以往的2個節(jié)點的混沌系統(tǒng)同步加密相比有更高的安全性．

4 結(jié)語

本文對具有N個節(jié)點的全局耦合網(wǎng)絡(luò)進行了研究，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到了節(jié)點全局漸近同步的條件，使網(wǎng)絡(luò)能快速的達到同步．提出了一種基于多個節(jié)點的多級混沌保密通信系統(tǒng)，并且進行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果表明本系統(tǒng)很好的實現(xiàn)了保密通信．驗證了結(jié)論的可靠性．

［1］ PECORA L M，CARROLL T L．Synchronization in chaotic systems［J］．Phys Rev Lett，1990，64(8)：821 － 824．

［2］ CARROLL T L，PECORA L M．Synchronization chaotic circuits［J］．IEEE Trans Circuits and Systems，1991，38(4)：453 －456．

［3］ LIAO Xiaoxin，CHEN Guanrong．On global synchronization of chaotic systems［J］．Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems，2003，10：865 －872．

［4］朱清祥，張蕊．陳氏混沌系統(tǒng)的混沌同步［J］．武漢理工大學學報，2008，30(3)：348－358．

［5］ ZHANG Rong，HU Manfeng，XU Zhenyuan．Synchronization in complex networks with adaptive Coupling［J］．Physics Letters A，2007，368(8)：276 －280．

［6］ ZHOU Jin，LU Junan，LU Jinhu．Pinning adaptive synchronization of a general complex dynamical network［J］．Automatica，2008，44(4)：996 －1003．

［7］胡愛花，徐振源，李芳．復雜網(wǎng)絡(luò)連接的Chen系統(tǒng)的同步化［J］．系統(tǒng)科學與數(shù)學，2007，27(2)：302－313．

［8］趙永清，江明輝．基于復雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步研究［J］．三峽大學學報：自然科學版，2009，31(6)：67－72．

［9］呂翎，張超．一類節(jié)點結(jié)構(gòu)互異的復雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步［J］．物理學報，2009，58(3)：1462－1465．

［10］王瑞兵，姚洪興．復雜網(wǎng)絡(luò)的同步及保密通信［J］．微計算機信息，2007，23(3)：103－104．

［11］龔美靜，瞿少成，王曉燕．一種通過異結(jié)構(gòu)同步實現(xiàn)混沌保密通信新方法［J］．電子與信息學報，2009，31(6)：1 442－1 444．

［12］王曉燕，瞿少成，田文匯．異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)同步及其在保密通信中的應用［J］．計算機應用研究，2009，26(5)：1 874－1 876．

［13］ AN Xinlei，YU Jianning，ZHANG Jiangang，et al．A new multistage chaos synchronized system for secure communications［C］//2009 Fifth International Conference on Natural Computation．Washington DC：IEEE Computer Society，2009，437 －441．

［14］馬知恩，周義倉．常微分方程定性與穩(wěn)定性方法［M］．北京：科學出版社，2001：70－71．