100048 首都師大附中 張文娣

巧用中考試題進行中考復習(2)

100048 首都師大附中 張文娣

(接上期)

7 拓廣變式

變式7 如圖11在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1.

(1)在直線AD上是否存在一點E，使△BCE是直角三角形?若存在，求出AE的長;

(2)若在，說明理由.(即把變式6中的“線段”換成“直線”)

分析 存在.分∠BEC=90°，∠BCE=90°，∠CBE=90°三種情況分別求解.

圖11

8 一題多用變式

一題多用變式，就是以教材中的基本例、習題或中考題為集中目標，探討該題及其變通形式的應用，挖掘基本題目的解題功能，從而提高學生的解題能力.

通過對上述【試題】的解答可以得到圖12.

在圖 12中，若∠A=∠D=∠BMC=90°，則△ABM∽△CDM.

這一結論有著廣泛的應用，現舉幾例說明.

圖12

變式1 (2006年山西)如圖13，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊 BC，CD上，如果 AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面積等于

圖13

解 因為AE2+EF2=AF2=25，

所以∠AEF=90°.

又因為∠B=∠C=90°，由例1知△ABE∽△ECF，

變式2 (2006年安徽)如圖14，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A，C到l的距離分別為1cm，2cm，則正方形ABCD的邊長為＿＿.

圖14

解 由例1知△AMB∽△BNC，

且 AM=1，BM=CN=2.

圖15

變式3 如圖15，邊長為2的正方形 ABCD，點 B在x軸上，C在 y軸上，∠OBC=30°，求 A，D 兩點的坐標.

解 作DE⊥y軸，AF⊥x軸，垂足分別為E，F.

由例1得，△AFB∽△BOC∽△CED，

因為正方形邊長為2，∠OBC=30°，

變式4 如圖16，已知正方形ABCD 的邊長為1，E，F，G，H 分別為各邊上的點，且AE=BF=CG=DH，設 AE長為 x，正方形 EFGH的面積為S，則S關于x的函數大致圖象是

圖16

變式5 (2005年海淀)如圖17，梯形 ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點 E在 BC上，且 AE⊥ED，若 BC=12，DC=7，BE ∶EC=1 ∶2，求 AB 的長.

解 因為BE ∶EC=1 ∶2，BC=12，

設 BE=x，EC=2x，

則 x+2x=12，解得 x=4.

所以，BE=4，CE=8.

由例1知 △ABE∽△ECD，

圖17

變式6 (2006年河南)如圖18，用形狀相同大小不等的三塊直角三角形木板，恰好能拼成如圖19所示的四邊形ABCD，若AE=4，CE=2BE，這個四邊形的面積為

＿＿.

解 在矩形ABCD中，因為CE=2BE，設BE=x，CE=2x，AB=CD=y，

由例1知 △ABE∽△ECD

變式7 (2005年浙江)在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖20所示).已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則

圖20

解 因為在直線l上依次擺放著七個正方形，由例1 知△1≌△2，△3≌△4，△5≌△6.

變式8 (2008年北京)已知，如圖21，一塊三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的AB邊上，并且使一條直角邊經過點C，三角板的另一條直角邊與AD交于點Q.

(1)請你寫出此時圖形中成立的一個結論(任選一個);

(2)當點P滿足什么條件時，有AQ+BC=CQ，請證明你的結論;

(3)當點Q在AD的什么位置時，可證得PC=3PQ，并寫出過程.

解 (1)△APQ∽△BCP.

(2)當P為AB中點時，有AQ+BC=CQ.

圖21

證明 如圖22，連接 CQ，延長QP交CB的延長線于點E.

可證△APQ≌△BPE，則AQ=BE，PQ=PE，

又因為CP⊥QE，可得CQ=CE，

所以AQ+BC=CQ.

圖22

證明 如圖23，在正方形ABCD中，

∠A= ∠B=90°，AD=BC=AB，

又因為直角三角板的頂點P在邊AB上，

所以∠1+∠2=180°－∠QPC=90°

因為 Rt△CBP 中，∠3+∠2=90°，

圖23

變式9 (2008年北京)如圖24，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=90°，AD=18，BC=24，AB=m.在線段BC上任取一點P，連接 DP，作射線 PE⊥DP，PE與直線AB交于點E.

(1)當CP=6時，試確定點E的位置;

(2)若設CP=x，BE=y，寫出y關于 x的函數關系式;

(3)在線段BC上能否存在不同的兩點P1，P2使得按上述作法得到的點E都分別與點A重合，若能，試求出此時m的取值范圍，若不能，請說明理由.

解 (1)作DF⊥BC，F為垂足.

當PC=6時，

由已知可得，四邊形ABFD是矩形，FC=6，

∴點P與點F重合，又BF⊥FD，

圖24

∴此時點E與點B重合.(2)當點P在BF上(即6 ＜x≤24)時，如圖25.

∵∠EPB+∠DPF=90°，∠EPB+ ∠PEB=90°，

∴∠DPF=∠PEB.

∵∠B=∠PFD=90°

圖25

圖26

綜合以上知

假設在線段BC上能找到兩個不同的點P1與P2滿足條件，即方程①有兩個不相等的正根，

首先要△=(－30)2－4×(144+m2)＞0，

(3)解法1 能找到這樣的P點.當點E與點A重合時，y=EB=m，此時點P在線段BF上，

解法2 能找到這樣的P點.

當點E與點A重合時，

∵∠APD=90°，∴點P在以AD為直徑的圓上，設圓心為Q，則Q為AD的中點.

要使在線段BC上能找到兩個不同的點P1與P2滿足條件，

只要使線段BC與⊙Q相交，即:圓心Q到BC的距離d滿足0＜d＜

一題多用變式，實際上是對基本題目解答后的特征探究與經驗應用，屬模型解題.經常進行這種訓練，可以培養(yǎng)學生經驗意識，提高解題能力.

(全文完)

20110326)