●張紅云 (朝暉中學(xué) 浙江杭州 310014)

巧用整體的思想方法解題

●張紅云 (朝暉中學(xué) 浙江杭州 310014)

1 知識要點(diǎn)概述

在解數(shù)學(xué)題時,人們往往習(xí)慣于從問題的局部出發(fā),將問題分解成若干個簡單的子問題,然后再各個擊破、分而治之.但此方法并非對所有題目都適用,它常常導(dǎo)致某些題目求解過程繁雜、運(yùn)算量大,甚至半途而廢.其實(shí),有很多數(shù)學(xué)問題,若能有意識地放大考查問題的“視角”,則往往能發(fā)現(xiàn)問題中隱含的某個“整體”,利用這個“整體”對問題實(shí)施調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化,常常能使問題快速獲解.一般地,我們把這種從整體觀點(diǎn)出發(fā),通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對問題進(jìn)行整體處理的解題思想方法,稱為整體思想方法.

在數(shù)學(xué)思想中,整體思想是最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想之一.運(yùn)用整體思想可以理清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維障礙,可以使繁難的問題得到巧妙的解決.它是數(shù)學(xué)解題中一種極其重要而有效的策略,是提高解題速度的有效途徑.在高考中,整體思想方法是一個重點(diǎn)考查對象,在選擇題、填空題、解答題中都有不同層次的滲透.

2 解題方法指導(dǎo)

(1)運(yùn)用整體的思想方法解題,要有強(qiáng)烈的整體意識,要認(rèn)真分析問題的條件或結(jié)論的表達(dá)形式、內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征,不拘泥于常規(guī),不著眼于問題的各個組成部分,從整體上觀察、分析,從整體結(jié)構(gòu)及原有問題的改造與轉(zhuǎn)化入手,尋找解題的途徑.

(2)運(yùn)用整體的思想方法解題,在思維方向上,既有正向的,也有逆向的;在思維形態(tài)上,既有集中的,也有發(fā)散的,既有直觀的,也有抽象的.

(3)運(yùn)用整體的思想方法解題,常與換元法結(jié)合起來,對題目進(jìn)行整體觀察、整體變形、整體配對、整體換元、整體代入,在運(yùn)用整體的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化問題時一定要注意等價性.

3 整體解題表現(xiàn)形式透視

3.1 整體配方

2 整體構(gòu)式

3 整體補(bǔ)形

分析若按常規(guī)方法利用體積公式求解,則底面積可用海倫公式求出,但頂點(diǎn)到底面的高無法作出.換個角度思考,注意到三棱錐的有 3對邊兩兩相等,若能把它放在一個特定的長方體中,則問題不難解決.

圖1

圖2

解如圖 2所示,把三棱錐 P-ABC補(bǔ)成一個長方體 A E B G-F P D C,易知三棱錐 P-ABC的各邊分別是長方體的面對角線.不妨令 P E=x,E B=y,E A=z,則由已知得

4 整體展開

例 4有一個各條棱長均為 a的正四棱錐,現(xiàn)用一張正方形包裝紙將其完全包住,不能剪裁,但可以折疊,求包裝紙的最小邊長.

思路整體展開→化歸平幾→面積覆蓋.

解將圖 3中的正四棱錐整體展開,變?yōu)閳D 4中的平面圖形,問題可轉(zhuǎn)化為求一個最小的正方形將圖 4完全覆蓋.順次連結(jié)圖 4中的 S1,S2,S3,S4,易證 S1S2S3S4為正方形,且為將圖4完全包住的最小的正方形.于是其邊長為

圖3

圖4

評注為研究立體圖形的某些特性,譬如表面積問題、沿表面行走路徑最短問題、包裝問題、剪裁問題、制作問題等等,常常視立體圖為一個整體,將其展開變?yōu)槠矫鎴D形,通過對平面圖形的研究達(dá)到解決立體幾何問題的目的.近幾年的高考加大了對這種解題思想方法的考查力度,試題常常以現(xiàn)實(shí)生活為背景,設(shè)計(jì)新穎,能有效考查學(xué)生的空間想象能力和綜合能力.

5 整體構(gòu)形

例 5已知 x,y,z,求證:

分析觀察到:x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1及乘積式,聯(lián)想到可用面積公式證明.

證明構(gòu)造如圖 5所示的正三角形,則

圖5

6 整體補(bǔ)式

7 整體代換

點(diǎn)評利用整體代換構(gòu)建不等式也是求解此類問題的最基本的方法.

8 整體構(gòu)思

評注若 Sn+1,Sn與 Sn-1均用求和公式代入,則將會十分繁難.而從 Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0整體著眼,實(shí)施整體代換,解題過程十分簡捷、明快.整體代換在解題中往往能起到化難為易、化繁為簡的作用,高考中以簡化數(shù)列、解析幾何運(yùn)算居多.

9 整體設(shè)元

評注本題條件分散、聯(lián)系隱蔽,由三角恒等變形求解難以達(dá)到目標(biāo).從待求 cos(α+β)與能求cos(α-β)中發(fā)現(xiàn) cos α cos β 和 sin α sin β 這 2個整體 ,而這 2個整體又恰好含在 tan α tan β中 .因此通過引進(jìn) 2個新元 x,y,迅速構(gòu)建出以 x,y為未知數(shù)的方程組,使問題順利獲解.其中,整體換元是解題關(guān)鍵性的一步.整體換元是一種重要的解題方法,幾乎每年的高考都要從不同的角度對其進(jìn)行考查.

10 整體換元

點(diǎn)評本題利用整體換元成功地實(shí)現(xiàn)了二元函數(shù)問題一元化的目的,這是求解二元函數(shù)最值問題最常用的思想方法.

11 整體聯(lián)想

12 整體運(yùn)算

分析遵循常規(guī)思路,只需求出直線 P1P2的斜率 k,運(yùn)用待定系數(shù)法寫出直線 P1P2的點(diǎn)斜式與橢圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程,其 2個根為點(diǎn) P1,P2的橫坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理可得關(guān)于 k的方程,但運(yùn)算量較大.

當(dāng) x1=x2時,直線不滿足條件,故所求的直線為2x+3y-5=0.

我們在觀察與思考數(shù)學(xué)問題時,著眼結(jié)構(gòu)的整體性可以簡化解題思路,有利于確定解題的突破口或總體思路.在教學(xué)中,應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生全面考慮問題,養(yǎng)成整體分析的思維習(xí)慣,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì),以優(yōu)化其數(shù)學(xué)素質(zhì).

13 整體構(gòu)造

例 13已知 α,β,γ均為銳角,且滿足 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求證:

分析由題設(shè)條件,易聯(lián)想到長方體對角線的性質(zhì):“長方體的一條對角線與同一個頂點(diǎn)上的 3條棱所成角的余弦的平方和等于 1”,于是可構(gòu)造長方體解題.

證明如圖 6,設(shè)以 a,b,c為長、寬、高的長方體ABCD-A1B1C1D1的對角線A C1與過點(diǎn) A的 3條棱 A D,AB,A A1所成的角分別為 α,β,γ,則

圖6

點(diǎn)評由于題目中特殊的結(jié)構(gòu)形式,因此有時應(yīng)充分發(fā)揮類比、聯(lián)想,合理構(gòu)造,從而起到快速、簡捷的解題效果.

14 整體求導(dǎo)

因?yàn)?t≥1,所以實(shí)數(shù) t的取值范圍是 t≥1.

評注本例是含參數(shù)的恒成立不等式問題,常規(guī)解法涉及到分類討論和建立較復(fù)雜的不等式組,對學(xué)生的要求比較高.而整體求導(dǎo)法打破常規(guī),巧用函數(shù)的最值使問題順利獲解,令人耳目一新.導(dǎo)數(shù)的引入給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了生機(jī)與活力,為中學(xué)數(shù)學(xué)問題(如函數(shù)問題、不等式問題、解析幾何問題等)的研究提供了新的視角、新的方法,拓寬了高考的命題空間.理解和掌握整體求導(dǎo)法,有助于開辟新的解題途徑,提高創(chuàng)新能力.

綜上所述,數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于單純的知識灌輸、就題論題,應(yīng)在知識與能力之間架設(shè)一座橋梁,使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西——數(shù)學(xué)思想,尤其是整體思想.這樣有利于學(xué)生清除思維障礙、理解數(shù)學(xué)知識,有利于巧妙解決數(shù)學(xué)問題、發(fā)展創(chuàng)造性思維能力.