●常國(guó)良 (泰興中學(xué) 江蘇泰興 225400)

正弦定理、余弦定理在立體幾何中的推廣

●常國(guó)良 (泰興中學(xué) 江蘇泰興 225400)

數(shù)學(xué)命題的推廣是數(shù)學(xué)發(fā)展不可缺少的手段，是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性的活動(dòng)．近幾年的高考試題也加強(qiáng)了對(duì)這方面的考查，給考生耳目一新之感．本文給出正弦定理和余弦定理在立體幾何中的推廣，供參考．

1 在三棱柱中的推廣

圖1

如圖1所示，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面ABB1A1的面積為 S1，側(cè)面 ACC1A1的面積為 S2，側(cè)面 BCC1B1的面積為S3，二面角A-CC1-B，C-BB1-A，B-AA1-C 的大小分別為 α，β，γ，面 A0B0C0為三棱柱的一個(gè)直截面．

推廣1在三棱柱ABC-A1B1C1中，有

2 在三棱錐中的推廣

推廣3在三棱錐中，各側(cè)面的面積與其所對(duì)棱長(zhǎng)的積同該側(cè)棱所在二面角正弦的比都相等．

如圖 2所示，在三棱錐 P-ABC中，PA=a，PB=b，PC=c，S△PBC=S1，S△PCA=S2，S△PAB=S3，二面角 C-PA-B，A-PB-C，B-PC-A的大小分別為 θ1，θ2，θ3，則

證明過(guò)點(diǎn)P作PO⊥面ABC，PD⊥AB，點(diǎn)O，D為垂足，連結(jié)OD．由三垂線定理的逆定理，知OD⊥AB，因此∠PDO為二面角P-AB-C的平面角，即∠PDO= θ，于是

圖2

圖3

推論在對(duì)棱分別相等的三棱錐中，側(cè)棱與其所對(duì)二面角的正弦的比相等．

推廣4在三棱錐中，它的任意一個(gè)面的面積的平方，等于其他3個(gè)面的面積的平方和，減去這3個(gè)面中每個(gè)面的面積與它們所夾二面角余弦積的和的2倍．

如圖3，在四面體 A-BCD 中，設(shè)頂點(diǎn) A，B，C，D所對(duì)面的面積分別為 S1，S2，S3，S4，其中每 2 個(gè)面所夾的二面角分別為 αij(i，j=1，2，3，4，i≠j)，則