康東升，沈小鳳，楊 芬

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074)

1 問題的引入

本文研究了下列橢圓方程:

其中Ω?RN(N≥3)是包含原點的有界光滑區(qū)域，是臨界Hardy-Sobolev指數(shù)，f(x)是非負(fù)連續(xù)函數(shù).

在全文中假設(shè):

(H2)f∈C(ˉΩ)，f(x) ≥0，且在 Ω 中f≠0.

W=W1a，p(Ω，|x|－ap)是C0∞(Ω)關(guān)于范數(shù)|x|－ap|▽u|pdx)1/p的完備化空間.在W中定義問題(1)的能量泛函為:

那么J∈C1(W，R)，如果對?v∈W有〈J'(u)，v〉=0成立，那么u∈W稱為問題(1)的解，即求問題(1)的解就等價于求J的非零臨界點.由橢圓正則性理論知u∈C1(Ω{0}).

研究問題 (1)的重要工具是Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式［1］:

當(dāng)b=a+1時p*(a，b)=p，上式變?yōu)橹腍ardy不等式［1］:

當(dāng)μ＜時，空間W中的范數(shù)定義為:

由(2)式和(3)式，當(dāng)μ＜ˉμ時，可以定義最佳常數(shù)［2，3］:

那么S＞0.

參照文獻(xiàn)［4］作如下定義:

其中|Ω|是Ω的Lebesgue測度.

本文的主要結(jié)果可以總結(jié)為下面的定理1.

定理1假設(shè)(H1)和(H2)成立，則存在λ＞0，使得對任意的λ∈(0，Λ1)，問題(1)存在一個正解.

在下面的討論中，我們常常用C來表示正常數(shù)，為了簡單起見，我們省略掉積分號中的“dx”.

2 預(yù)備定理

首先考慮映射:φλ:W→R，滿足:

結(jié)合問題(1)考慮:

并將Nλ分成3 部分［5］:

那么Nλ包含問題(1)的所有解，u∈Nλ當(dāng)且僅當(dāng):

引理1對任意的λ∈(0，Λ1)有?.

證明用反證法，假設(shè)?λ0∈(0，Λ1)使得≠ ?，則N0λ?W且當(dāng)u∈時有:

從而有:

則由Holder不等式及(2)式得:

并且，

因此就有:

這與λ0∈(0，Λ1)矛盾，從而對任意的λ∈(0，Λ1)有?.證畢.

由引理1知，對任意的λ∈(0，Λ1)有Nλ∪，定義:

引理2(i)對?λ∈(0，Λ1)有αλ≤＜0.

(ii) 存在依賴于 λ，μ，p，q，N，S，|f|∞和|Ω|的常數(shù)d0＞0，使得對?λ∈(0，Λ1)有＞d0.

證明(i)令u∈，由(7)式知:

又由(6)式得:

因此，根據(jù)αλ和的定義有αλ≤＜0.

式知:

根據(jù)S的定義，得到:

由(9)式和(10)式可以推出:

從而由(7)式及(11)式有:

即J(u)＞d0，?u∈，

其中d0=d0(λ，μ，p，q，N，S，|f|∞，|Ω|) 是正常數(shù).證畢.

對任意u∈W使令:

引理3［6］假設(shè)λ ∈(0，Λ1)，函數(shù)u∈W滿足

3 定理的證明

引理4 (i)若λ∈(0，Λ1)，那么泛函J存在(PS)αλ序列{un} ?Nλ.

證明過程可參考文［7］.

引理5若 λ∈ (0，Λ1)，則J存在極小值點u0∈Nλ+滿足:

(i)J(u0)=αλ=.

(ii)u0是問題(1)的一個正解.

(iii)J(u0) →0，當(dāng) λ →0+.

證明由引理4(i)，對泛函J存在極小化序列{un}?Nλ使得:

因此序列{un}是有界的，且存在一個子序列(仍記為{un})，從而存在u0∈W使得:

首先，證明u0是問題(1)的一個非平凡解.由(12)式和(13)式易知u0是問題(1)的解，令{un}?Nλ，則有:

在(14)式中令n→∞，由(12)式和(13)式及αλ＜0有:

因此，u0∈Nλ是問題(1)的一個非平凡解.

現(xiàn)證明在W中un→u0(強收斂)且J(u0)=αλ.令u0∈Nλ，由 Fatou 引理有:

即J(u0)=αλ且.令vn=un－u0，由Brezis－Lieb引理得:

從而在W中un→u0(強收斂)，且u0∈.否則，假設(shè)u0∈，由引理3(ii)，存在唯一的和使得t－u∈和t+u∈.特別地，當(dāng)1時，

產(chǎn)生矛盾，因此J(u0)=J(|u0|)且|u0|∈N+λ，由引理4知u0是問題(1)的一個非負(fù)非平凡解.由強極致原理得u0＞0在Ω中，且當(dāng)λ＞0時u0是問題(1)的一個正解.又根據(jù)引理2(i)和(7)式得出:＜0，

上式意味著J(u0)→0，當(dāng)λ→0+.

定理1的證明 由引理5知存在λ＞0，使得對任意的λ∈(0，Λ1)，問題(1)存在一個正解.

［1］Catrina F，Wang Z.On the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities:sharp constants，existence(and nonexistence)，and symmetry of extermal functions［J］.Comm Pure Appl Math，2001，54:229-258.

［2］Kang D.On the quasilinear elliptic problems with critical Sobolev-Hardy exponents and Hardy terms［J］.Nonlinear Anal，2008，68:1973-1985.

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