趙天玉 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北荊州434023)

記G(M,M0)=

(M,M 0)也是調(diào)和方程

Green函數(shù)是求解調(diào)和方程邊值問題的重要方法之一,在船舶磁場的計(jì)算[1]與物理大地測量學(xué)[2]等方面都有應(yīng)用。傳統(tǒng)教材定義調(diào)和方程的Green函數(shù)有2種方式,分別是基本解方式[3]和狄拉克δ函數(shù)方式[4];文獻(xiàn) [5]討論了2種定義方式的等價(jià)性,而且?guī)缀跻訢irichlet內(nèi)問題進(jìn)行討論;文獻(xiàn) [2]討論了外問題的Green函數(shù),但沒有給出滿足的條件;文獻(xiàn) [6]和文獻(xiàn) [7]從物理角度出發(fā),用狄拉克δ函數(shù)討論了Neumann問題。下面,筆者對以基本解方式定義的Green函數(shù)進(jìn)行研究①長江大學(xué)2009年教學(xué)研究立項(xiàng)項(xiàng)目 (JY2009012)。。

1 Neumann內(nèi)問題的Green函數(shù)

設(shè) Ψ為 R3中的有界區(qū)域,且具光滑邊界 Γ,u(M)∈C2(Ψ)∩C1(ˉΨ)?？紤]邊值問題:

問題(1)有解的必要條件[3]是:

另外,若M0(x0,y0,z0)是區(qū)域Ψ內(nèi)的某一固定點(diǎn),則調(diào)和函數(shù)u(M)可表示為[3]:

式中,rM0M=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2。

從式(3)中看出,要想求解問題(1),必須消除 u項(xiàng)。如果引入Dirichlet問題Green函數(shù)一樣[3],g(M,M0),g(M,M0)滿足。這時(shí),由高斯公式知不滿足條件(2),g(M,M 0)可能不存在。

為解決上述問題,有2種方法:

1)修改方程方法 引入滿足下列定解問題的函數(shù)g(M,M0):

式中,h(M)待定。由格林第二公式[3]推得問題(4)有解的必要條件為:

記G(M,M0)=

2)修改邊界條件方法 如果問題(4)中的方程修改為調(diào)和方程,邊界條件修改為:

則根據(jù)調(diào)和方程N(yùn)eumann內(nèi)問題有解的必要條件:

(M,M0)也是調(diào)和方程

2 Neumann外問題的Green函數(shù)

設(shè) Ψ為R3中的有界區(qū)域,且具光滑邊界 Γ,u(M)∈C2(Ψ′),Ψ′為Γ的外部區(qū)域,且u(M)在 Γ上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),考慮邊值問題:

設(shè)M 0(x0,y0,z0)是 Ψ′內(nèi)任意一點(diǎn),問題(6)的Green函數(shù)為G(M,M0)函數(shù)g(M,M 0)滿足條件:

下面證明格林函數(shù)及其滿足的條件的合理性。作以原點(diǎn)O為球心,以任意大的正數(shù)R為半徑的球面ΓR,使得 ΓR包含Γ和M 0(x0,y 0,z0),并記 ΓR與Γ所夾的區(qū)域?yàn)棣稲。在以 A=Γ∪ ΓR為邊界的區(qū)域 ΨR上,討論問題(7)。根據(jù)調(diào)和方程N(yùn)eumann問題有解的必要條件,d SM=0。作以 M0為球心,以充分小的正數(shù)ε為半徑的球面 Γε,它所包圍的區(qū)域?yàn)?Ψε。在區(qū)域 ΨR/Ψε上應(yīng)用高斯公式得:

令R→+∞可得要證明的結(jié)果。

在以A=?！圈為邊界的區(qū)域ΨR上,對調(diào)和函數(shù)u,g應(yīng)用格林第二公式[3]可得:

即:

→n與球半徑r指向相同,故:

在式(9)中,令R→+∞,可得:

對于 M 0(x0,y 0,z0)∈ Ψ′,由于 u(M)調(diào)和,由條件(10)和文獻(xiàn)[9]知,調(diào)和函數(shù)u(M 0)也可用式(3)表示,只是表達(dá)式中Γ的法向量指向內(nèi)側(cè)。

式(3)減去式(11)可得:

注意到u,g滿足的邊界條件得到:

3 應(yīng) 用

下面求解以原點(diǎn)O為球心,R為半徑的球面K R外的區(qū)域Ψ′上的Neumann問題,其中u在K R上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù):

先求格林函數(shù) 。設(shè) M0(ρ0,θ0,φ0)是球面K R外 Ψ′上的任意一點(diǎn),在線段OM 0上取一點(diǎn) M 1(ρ0,θ0,φ0),使得 ρ0ρ1=R2,顯然 M1在球內(nèi) ,稱 M1為M0關(guān)于球面 KR的反演點(diǎn) 。設(shè) M(ρ,θ,φ)是 Ψ′內(nèi)的動點(diǎn),γ是ρ0,由余弦定理可得:

可以驗(yàn)證由文獻(xiàn)[2]給出的函數(shù):

滿足條件(7)。故:

其中,cosγ=cosθcosθ0+sinθsinθ0 cos(φ-φ0)。問題(13)的解化為球坐標(biāo)形式可得:

[1]周耀忠.格林函數(shù)在船舶磁場計(jì)算中的應(yīng)用 [J].中國修船,2006,19(5):29-31.

[2]張傳定,陸仲連.球域調(diào)和函數(shù)外部邊值問題的格林函數(shù)解 [J].解放軍測繪學(xué)院學(xué)報(bào),1994,11(3):161-165.

[3]谷超豪.數(shù)學(xué)物理方程 [M].第2版.北京:高等教育出版社,2002:68-95.

[4]于濤.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) [M].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社,2006:99-116.

[5]柯導(dǎo)明,陳軍寧.數(shù)學(xué)物理方法 [M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008:297-311.

[6]劉鳳勤.對格林函數(shù)法的邊值問題的討論[J].濰坊學(xué)院學(xué)報(bào),2002,2(2):24-27.

[7]胡先權(quán).格林函數(shù)法解靜電場第二類邊值問題的方法 [J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版),1990,7(3):36-43.

[8]趙天玉,劉慶.反演變換在調(diào)和函數(shù)研究中的應(yīng)用 [J].長江大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版),2009,6(3):N1-4.

[9]趙天玉,李凱.調(diào)和方程Dirichlet外問題的Green函數(shù) [J].長江大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版),2010,7(2):N36-43.