徐步青， 楊紹普， 齊月芹

(1．石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，河北 石家莊 050043;2．河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

0 引言

功能梯度材料( Functionally Graded Material，簡(jiǎn)稱(chēng)FGM) 是由一種全新的設(shè)計(jì)概念而開(kāi)發(fā)的新型功能材料。以計(jì)算機(jī)輔助材料設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，采用先進(jìn)的材料復(fù)合技術(shù)，使構(gòu)成材料的要素( 組成、結(jié)構(gòu)等) 在幾何空間上呈連續(xù)變化，使材料的性質(zhì)和功能也呈梯度變化，從而滿足構(gòu)件不同部位對(duì)材料使用性能的不同要求。同時(shí)，由于該材料對(duì)結(jié)構(gòu)中各組分相呈連續(xù)變化，不存在明顯的界面及性能的突變，具有明顯優(yōu)于一般層疊型復(fù)合材料的特性。這種將性能各異的材料按照設(shè)計(jì)意愿在結(jié)構(gòu)內(nèi)部非均勻、連續(xù)地合成的新型材料將復(fù)合材料的研究帶入了材料設(shè)計(jì)的更高層次。

功能梯度材料是在20 世紀(jì)80 年代末90 年代初由日本學(xué)者新野正之、平井敏雄和渡邊龍三等提出的［1］，主要用于國(guó)防高新技術(shù)領(lǐng)域?qū)Σ牧闲阅芴岢龅奶厥庖蠓矫?，后?lái)這一概念逐漸被應(yīng)用于其它功能材料的構(gòu)思與研究中。目前，該材料在軍事、航天、能源、電子、光學(xué)、化學(xué)和生物醫(yī)學(xué)工程等重要領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用與發(fā)展。而圓柱殼結(jié)構(gòu)在這些工程領(lǐng)域得到廣泛使用，其聲輻射的研究是非常有必要的。

近年來(lái)，功能梯度材料及其結(jié)構(gòu)的研究已引起國(guó)際學(xué)術(shù)界廣泛關(guān)注。目前，對(duì)功能梯度材料主要集中在熱應(yīng)力分析、斷裂力學(xué)行為以及材料優(yōu)化等方面［2-3］，而在聲輻射方面的研究鮮有報(bào)道。

文獻(xiàn)［4］根據(jù)均質(zhì)材料圓柱殼基本理論，將功能梯度材料圓柱殼原始三維變系數(shù)控制方程轉(zhuǎn)化為特殊類(lèi)型各向異性及薄膜-彎曲耦聯(lián)的二維常系數(shù)方程，得到功能梯度材料圓柱殼的基本動(dòng)力方程。本文在該方程的基礎(chǔ)上，利用流體和圓柱殼分界面上振速連續(xù)邊界條件，推導(dǎo)出了圓柱殼在徑向集中力激勵(lì)下圓柱殼振動(dòng)平均振速、聲輻射效率表達(dá)式。本文為研究水下功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射問(wèn)題提供了一種有效的分析方法。

1 有限長(zhǎng)功能梯度材料圓柱殼體基本解

1．1 基本動(dòng)力方程

設(shè)一半徑為a，厚度為h，長(zhǎng)為2L 的功能梯度材料有限長(zhǎng)圓柱殼，以圓柱殼軸線為z 軸建立如圖1 所示柱面坐標(biāo)系。分別用u，v，w 表示圓柱殼中面上點(diǎn)( a，φ，z) 在軸向z，周向φ 和徑向r 的位移。當(dāng)浸沒(méi)在重流體中的功能梯度材料圓柱殼受力激勵(lì)時(shí)，其振動(dòng)方程可表示為［4-5］

圖1 有限長(zhǎng)功能梯度材料圓柱殼

其中薄膜剛度為

彎曲剛度為

膜彎耦合剛度為

面質(zhì)量密度為

而ρ、E、G、v 分別為功能梯度材料圓柱殼的密度、楊氏彈性模量、剪切彈性模量和泊松比。

1．2 有限長(zhǎng)功能梯度圓柱殼的振動(dòng)與聲輻射

當(dāng)有限長(zhǎng)功能梯度材料圓柱殼置于聲介質(zhì)中，殼面振動(dòng)引起表面介質(zhì)振動(dòng)而產(chǎn)生聲場(chǎng)。聲場(chǎng)中的聲壓既應(yīng)滿足Helmholtz 波動(dòng)方程，又必須滿足殼體外表面處的邊界條件，即表面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度和圓柱殼表面的法線方向振動(dòng)速度相等。即

式中，▽2為L(zhǎng)aplace 算子; k0為流體波數(shù); ρ0為流體密度。

當(dāng)周?chē)嬖诼暯橘|(zhì)時(shí)只有法向位移分量w 對(duì)聲場(chǎng)有貢獻(xiàn)。圓柱殼體在水中的耦合振動(dòng)用模態(tài)展開(kāi)法解［7］。對(duì)稱(chēng)激勵(lì)時(shí)取如下形式的解

式中，- L ≤z ≤L; m 和n 都取0 ～∞; km是由邊界條件確定的本征值。如取兩端簡(jiǎn)支，則

將徑向激勵(lì)力和殼體表面聲壓也展開(kāi)為

展開(kāi)系數(shù)由下式給出

將式(4) 和式(6) 代入功能梯度材料圓柱殼的振動(dòng)方程組中，可得

式中

由式(8) 得到模態(tài)振動(dòng)速度˙Wmn滿足的方程

式中，| aij| 是模態(tài)方程(8) 中的系數(shù)行列式。假設(shè)功能梯度材料圓柱殼兩端有無(wú)限延伸的剛性圓柱障板，聲輻射負(fù)荷引起的表面聲壓［8］是

式中

得到存在聲輻射負(fù)荷時(shí)的耦合振動(dòng)方程

由這個(gè)方程解出模態(tài)振動(dòng)速度后即可得到有關(guān)的聲學(xué)量。因此，殼體的輻射聲功率是

式中，*表示復(fù)共軛; S 是殼體的表面積。當(dāng)n = 0 時(shí)，εn= 1 ;當(dāng)n ≥0 時(shí)，εn= 2 。表面的平均振速為

從而得到輻射效率為

輻射聲功率級(jí)定義為

表面平均振速級(jí)定義為

2 數(shù)值計(jì)算

2．1 材料參數(shù)

假設(shè)功能梯度材料圓柱殼的外表面是金屬，內(nèi)表面是陶瓷，中間是由不同組分的金屬和陶瓷組成的復(fù)合材料，設(shè)材料常數(shù)沿厚度方向按如下規(guī)律變化［2］

式中，X，ρ 為功能梯度材料圓柱殼的任一處材料常數(shù)和密度; X1，ρ1和X2，ρ2分別為兩種不同材料對(duì)應(yīng)的材料常數(shù)和密度; k 為梯度指數(shù)，它代表了材料常數(shù)隨沿厚度變化的程度。設(shè)定殼材料阻尼系數(shù)η 和泊松比v 為常數(shù)，分別為0．001 和0．3。彈性模量和密度分別按(21) 式和(22) 式變化，金屬和陶瓷的彈性模量和材料密度分別為Em= 70 GPa，ρm= 7．707 ×103kg/m3，Ec= 380 GPa，ρc= 3．8 ×103kg/m3。其余參數(shù): a = 0．11 m，L = 0．165 m，h = 0．002 m，ρ0= 1 000 kg/m3，c0= 1 500 m/s。

2．2 數(shù)值仿真結(jié)果

假設(shè)功能梯度材料圓柱殼兩端簡(jiǎn)支，集中激勵(lì)力作用在z = 0，φ = 0，峰值F0= 1 N 的徑向集中力

計(jì)算時(shí)忽略互耦合，只取q = m 的項(xiàng)。取m = 0 ～20，n = 0 ～20 的所有模態(tài)疊加。

圖2 輻射功率

圖3 平均振速

圖2 ～圖4 分別為不同梯度指數(shù)下功能梯度材料圓柱殼輻射功率、平均振速和輻射效率隨激勵(lì)頻率變化的情況。從圖2 可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率小于2 100 Hz 時(shí)，梯度指數(shù)越大，輻射功率越小且中間沒(méi)有尖峰;當(dāng)激勵(lì)頻率大于此值時(shí)，輻射功率尖峰出現(xiàn)的頻率不同，且高度不等。在圖3 中，當(dāng)激勵(lì)頻率小于1 100 Hz 時(shí)，梯度指數(shù)越大，平均振速越小且中間沒(méi)有尖峰;當(dāng)激勵(lì)頻率大于此值時(shí)，平均振速峰值尖峰出現(xiàn)的頻率不同，且高度不等。從圖4 中可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率小于1 000 Hz 時(shí)，梯度指數(shù)對(duì)輻射效率影響很小，當(dāng)激勵(lì)頻率大于此值時(shí)則輻射效率尖峰值發(fā)生的頻率不同，而且隨著頻率的增加，峰值極大值有增大的趨勢(shì)。因此，梯度指數(shù)對(duì)平均振速、輻射功率和輻射效率的大小及發(fā)生峰值的頻率均有一定的影響。

圖4 輻射效率

3 結(jié)論

從有限長(zhǎng)功能梯度材料圓柱殼振動(dòng)方程出發(fā)，利用模態(tài)疊加法，推導(dǎo)出了圓柱殼在徑向集中力激勵(lì)下，平面振動(dòng)平均振速和聲輻射效率表達(dá)式。通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算了不同梯度指數(shù)下圓柱殼的平均振速、輻射功率和輻射效率。數(shù)值結(jié)果表明，梯度指數(shù)對(duì)平均振速、輻射功率和輻射效率的大小及峰值頻率均有一定的影響。本文為有限長(zhǎng)功能梯度材料圓柱殼聲輻射研究提供了一種有效的分析方法。

［1］Masayuki Niino，Shuhei Maeda． Recent development status of functionally gradient materials［J］． ISIJ International，1990，30(9) :699-703．

［2］Prakash T，Ganapathi M．Asymmetric flexural vibration and thermoelastic stability of FGM circular plates using finite element method［J］．Composites Part B: Engineering，2006，37:642-649．

［3］Ritesh Samadhiya，Abhijit Mukherjee，Siegfried Schmauder．Characterization of discretely graded materials using acoustic wave propagation［J］．Computational Materials Science，2006，37:20-28．

［4］曹志遠(yuǎn)．功能梯度復(fù)合材料圓柱殼固有頻率解［J］．地震工程與工程振動(dòng)，2005，26(6) :38-42．

［5］曹志遠(yuǎn)．功能梯度復(fù)合材料圓柱殼基本理論及長(zhǎng)殼固有振動(dòng)解［J］．玻璃鋼/復(fù)合材料，2006，4:3-6．

［6］曹志遠(yuǎn)．不同邊界條件功能梯度矩形板固有頻率解的一般表達(dá)式［J］．復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2005，22(5) :172-177．

［7］湯渭霖，何兵蓉．水中有限長(zhǎng)加肋圓柱殼體振動(dòng)和聲輻射近似解析解［J］．聲學(xué)學(xué)報(bào)，2001，26(1) :1-5．

［8］Junger M C，F(xiàn)eit D．Sound，structures and their interaction［M］．2 ed．Cambridge:The MIT Press，1986．

［9］Laulagnet B，Guyader J L．Modal analysis of a shell＇s acoustic radiation in light and heavy fluids［J］．Journal of Sound and Vibration，1989，131(3) :397-415．

［10］Laulagnet B，Guyader J L．Sound radiation from finite cylindrical coated shells，by means of asymptotic expansion of three dimension equations for coating［J］．Journal of the Acoustical Society of America，1994，96:277-286．

［11］Stephanishen P R．Modal coupling in the vibration and fluid-loaded cylindrical shells［J］．Journal of the Acoustical Society of America，1982，71:813-823．

［12］Wu C J，Chen HL，Huang XQ．Vibroacoustic analysis of a fluid-loaded cylindrical shell excited by a rotating load［J］．Journal of sound and vibration，1999，225(1) :79-94．

［13］Wu Lanhe．Thermal buckling of a simply supported moderately thick rectangular FGM plate［J］．Composite Structures，2004，64:211-218．