譚淵，楊勇，袁乃昌

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院 微波中心，湖南 長(zhǎng)沙410073)

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)部分靶場(chǎng)利用連續(xù)波多普勒測(cè)速雷達(dá)，通過(guò)在彈丸底部刻槽來(lái)測(cè)試彈丸的轉(zhuǎn)速。這種測(cè)試方法相比于早期的紙靶法和高速攝影法［1］，可以得出彈丸飛行過(guò)程中轉(zhuǎn)速與時(shí)間的實(shí)時(shí)曲線，而且測(cè)試精度更高。其基本原理就是從目標(biāo)的回波信號(hào)中估計(jì)出彈丸多普勒頻譜以及由于刻槽引起的調(diào)制譜，進(jìn)而計(jì)算出彈丸轉(zhuǎn)速。精確測(cè)量旋轉(zhuǎn)彈丸的轉(zhuǎn)速，對(duì)于彈丸的氣動(dòng)設(shè)計(jì)、空氣動(dòng)力學(xué)研究或是武器射表編擬中的彈道計(jì)算，都具有十分重要的意義。

因此，如何盡量精確估計(jì)回波信號(hào)的頻譜是決定轉(zhuǎn)速測(cè)量誤差的關(guān)鍵。本文在詳細(xì)分析彈底刻槽法的基礎(chǔ)上，引入超分辨譜估計(jì)的旋轉(zhuǎn)不變算法，代替了傳統(tǒng)FFT 對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行處理，進(jìn)一步提高實(shí)驗(yàn)測(cè)試精度。

1 旋轉(zhuǎn)不變子空間法

在雷達(dá)信號(hào)的處理過(guò)程中，傳統(tǒng)的方法是采用FFT 對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜估計(jì)，該方法的頻率分辨率受不相容原理限制，是一種低分辨的譜估計(jì)方法。本文采用基于旋轉(zhuǎn)不變空間(ESPRIT)模型的譜估計(jì)方法，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行特征分解而得到信號(hào)的估計(jì)譜。而傳遞函數(shù)的估計(jì)可以通過(guò)直接數(shù)據(jù)近似方法得到，即對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行奇異分解估計(jì)傳遞函數(shù)，該方法可同時(shí)計(jì)算得到其信號(hào)分量對(duì)應(yīng)的復(fù)幅度。

假設(shè)信號(hào)y(n)包含p 個(gè)諧波信號(hào)

式中:si(n)和ωi分別為第i 個(gè)諧波信號(hào)的幅值和頻率。假定ω(n)是一個(gè)0 均值、方差為σ2的高斯白噪聲。旋轉(zhuǎn)不變法狀態(tài)模型的參數(shù)估計(jì)是通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)矩陣的分解而得到的，構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣［2-5］:

式中:A=［a(ω1)，a(ω2)，…a(ωp)］;a(ωi)=［1，

令A(yù)1為矩陣A 的前(L-1)行，A2為矩陣A 的后(L-1)行，即

則根據(jù)等距線陣的陣列相應(yīng)矩陣A 的結(jié)構(gòu)可知，子矩陣A1和A2之間存在以下關(guān)系:

式中P=E{s(n)sH(n)}為信號(hào)向量的相關(guān)矩陣。由于故由(5)式易知

用Us右乘(6)式兩邊，注意到排，即得并加以重

式中T 為一個(gè)非奇異矩陣，

用T 右乘(3)式則有

采用相同的分塊方式，將Us也分塊成

由于Us=AT，故比較(9)式與(10)式，立即有

將(4)式帶入(12)式，則

由(11)式及(13)式可得

定義

矩陣Ψ 稱為矩陣Φ 的相似變換，因此它們具有相同的特征值，即Ψ 的特征值也為ejφm，m=1，…，M.

由此可以得出該方法的計(jì)算步驟:

2 轉(zhuǎn)速測(cè)量的理論基礎(chǔ)

2.1 底部刻槽彈丸的RCS 分析

在炮彈底部刻一直線槽。設(shè)S 為炮彈底部總面積，槽深為d，槽外的底部面積S1，則槽的面積為S2=S-S1.由于槽相對(duì)炮彈底部很窄，可以把槽作為終端短路的無(wú)限寬傳輸線來(lái)分析［6］，如圖1所示。

圖1 傳輸線分析模型Fig.1 Analysis model of transmission line

現(xiàn)假設(shè)雷達(dá)發(fā)射電磁波為Et=E0e-jkzzx，槽反射的電磁波在接收機(jī)處為

S2反射的電磁波在接收機(jī)處為

由場(chǎng)的疊加得，在接收機(jī)處的總場(chǎng)為

此時(shí)，當(dāng)入射波垂直于彈丸底部、入射的電場(chǎng)與槽的方向垂直時(shí)，彈丸底部的總RCS 等于

而當(dāng)入射波垂直于彈丸底部、入射的電場(chǎng)與槽的方向平行時(shí)，彈丸底部的總RCS 等于沒有槽的底面RCS，即

2.2 刻槽彈丸的轉(zhuǎn)速計(jì)算

假設(shè)刻槽彈丸的旋轉(zhuǎn)頻率為fr，當(dāng)炮彈旋轉(zhuǎn)一周，通過(guò)2.1 節(jié)彈底的RCS 變化分析可知，槽線2次與入射電場(chǎng)方向平行或者垂直，周期為π，因此而引起的RCS 變化規(guī)律(或者說(shuō)是回波信號(hào)強(qiáng)度的變化規(guī)律)可以定義為對(duì)無(wú)刻槽彈丸多普勒頻率的余弦調(diào)制，調(diào)制信號(hào)可表示為

雷達(dá)發(fā)射信號(hào)是單頻連續(xù)波，對(duì)于未刻槽的彈丸，接收信號(hào)經(jīng)過(guò)下變頻得到的中頻信號(hào)可以表示為

式中:A(t)為信號(hào)幅度隨時(shí)間的變化關(guān)系;n(t)為白噪聲。

彈丸底部刻槽之后，加上對(duì)多普勒頻率的調(diào)制信號(hào)，則接收到的中頻信號(hào)為

由于調(diào)制信號(hào)非常弱，故B(t)遠(yuǎn)小于A(t).帶入B(t)并將(24)式展開可以得到:

得到fd、fd1=fd+2fr和fd2=fd-2fr三個(gè)頻率，從而彈丸轉(zhuǎn)速可以表示為:

因此，經(jīng)過(guò)上述分析可知，精確測(cè)量彈丸轉(zhuǎn)速可以轉(zhuǎn)化成精確測(cè)量估計(jì)回波信號(hào)中的頻譜值。

3 仿真計(jì)算

假設(shè)一個(gè)連續(xù)波信號(hào)由3 個(gè)不同頻率成分和白噪聲組成，表示為

式中:令f1、f2、f3分別等于90，100，110 Hz;n(t)表示幅度均值為0，方差為1 的高斯白噪聲。然后在+20 dB 信噪比的情況下，利用經(jīng)典FFT 算法對(duì)該信號(hào)進(jìn)行頻譜估計(jì)，結(jié)果如圖2所示。然后再按照ESPRIT 法的步驟估計(jì)信號(hào)頻譜，結(jié)果如圖3所示。

圖2 20 dB 信噪比下的FFT 頻譜估計(jì)Fig.2 FFT spectrum estimation under SNR=20 dB

表1計(jì)算比較了2 種估計(jì)方法的誤差精度，結(jié)果表明，ESPRIT 法具有比FFT 法更高的估計(jì)精度，能夠更精確的測(cè)量出炮彈的旋轉(zhuǎn)速度。

超分辨譜估計(jì)的估計(jì)精度(分辨率)和信噪比成正比關(guān)系，由ESPRIT 法統(tǒng)計(jì)特性可知，較大信噪比情況下，單頻信號(hào)頻率估計(jì)均方誤差

式中:σ2n為噪聲方差;P 為信號(hào)功率。當(dāng)取L=2N/3 時(shí)得到最小均方誤差27σ2n/(4N3P)，接近Cramer-Rao下界6σ2n/(N3P)［6］.圖4為在不同信噪比下2種算法的估計(jì)均方誤差比較?？梢钥闯觯珽SPRIT 法明顯比FFT 算法具有更精確的頻譜估計(jì)能力，而且隨著信噪比的提高，ESPRIT 法的估計(jì)誤差會(huì)愈小。而FFT 算法的頻譜估計(jì)誤差與信噪比沒有直接聯(lián)系，它只能依靠加大運(yùn)算量、增加FFT 的運(yùn)算長(zhǎng)度來(lái)減少估計(jì)誤差。

圖3 20 dB 信噪比下的ESPRIT 頻譜估計(jì)Fig.3 ESPRIT spectrum estimation under SNR=20 dB

表1 ESPRIT 法與FFT 法估法比較Tab.1 Comparison between ESPRIT and FFT

圖4 不同信噪比估計(jì)頻譜與實(shí)際頻譜的均方誤差Fig.4 Error between estimated and real spectrums under different SNRs

4 實(shí)測(cè)結(jié)果

利用某型號(hào)C 波段俯仰自跟蹤連續(xù)波測(cè)速雷達(dá)雷達(dá)，如圖5所示。測(cè)量彈丸相對(duì)于雷達(dá)天線的徑向飛行速度和轉(zhuǎn)速。實(shí)驗(yàn)彈丸為底部刻有7 道深為12.1 mm 槽的某型號(hào)榴彈。

圖5 某型號(hào)C 波段速度測(cè)量雷達(dá)Fig.5 A C-band velocity-measurement radar

圖6對(duì)不同時(shí)刻的回波信號(hào)的頻譜歸一化，并在同一個(gè)速度—時(shí)間軸上顯示出其頻譜瀑布圖。

圖6 回波信號(hào)的瀑布圖顯示Fig.6 Waterfall graph of echo signal

可以得到3 條多普勒曲線，中間的曲線幅值較大，為彈丸徑向速度的多普勒f(shuō)d，兩邊的曲線則是由刻槽引起的調(diào)制信號(hào)。通過(guò)估計(jì)各時(shí)刻的信號(hào)頻譜值，提取出fd1、fd2，根據(jù)(26)式可以計(jì)算出彈丸的轉(zhuǎn)速。

5 結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用超分辨譜估計(jì)法測(cè)量彈丸轉(zhuǎn)速的方法是一種高精度測(cè)試方法。本文分析了旋轉(zhuǎn)不變法估計(jì)原理，給出了ESPRIT 方法的估計(jì)步驟，該方法能高精度估計(jì)回波多普勒信號(hào)頻譜，并通過(guò)底部刻槽對(duì)彈丸RCS 的影響推導(dǎo)出了轉(zhuǎn)速計(jì)算公式。仿真結(jié)果表明，不同信噪比情況下，ESPRIT 法估計(jì)精度及分辨率明顯優(yōu)于經(jīng)典FFT 法，而且其精度隨著信噪比的提高而增加，這種現(xiàn)象是FFT 所不具備的。值得一提的是，提高回波信噪比一直是雷達(dá)工作者們改善系統(tǒng)性能的一個(gè)重要思路，所以ESPRIT 頻譜估計(jì)法的這一性質(zhì)也使得信噪比提高的同時(shí)，其頻譜估計(jì)精度也相應(yīng)提高。該高精度測(cè)量彈丸轉(zhuǎn)速的方法具有廣闊的應(yīng)用前景。

References)

［1］ 金達(dá)根，任國(guó)民.實(shí)驗(yàn)外彈道學(xué)［M］.北京:兵器工業(yè)出版社，1991.JIN Da-gen，REN Guo-min.Experimental exterior ballistic theory［M］.Beijing:The Publishing House of Ordnance Industry，1991:31-134.(in Chinese)

［2］ 張賢達(dá).現(xiàn)代信號(hào)處理［M］.第2 版.北京:清華大學(xué)出版社，2004.ZHANG Xian-da.Modern signal processing［M］.2nd ed.Beijing:Tsinghua University Press，2005:138-143.(in Chinese)

［3］ 王永良，陳輝，彭應(yīng)寧，等.空間譜估計(jì)理論與算法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004.WANG Yong-liang，CHEN Hui，PENG Ying-ning，et al.Theory and algorithm of spatial spectrum estimation［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2004:186-188.(in Chinese)

［4］ Rao B D，Hari K V S.Effect of spatial smoothing on state space methods/ESPRIT［C］∥Fifth ASSP Workshop on Spectrum Estimation on Modeling.Rochester:1990:377-381.

［5］ 王劍，吳嗣亮，侯淑娟.超分辨條件下雷達(dá)目標(biāo)散射點(diǎn)數(shù)的估計(jì)方法［J］.電子學(xué)報(bào)，2008，36(6):1058-1062.WANG Jian，WU Si-liang，HOU Shu-juan.Detecting the scatterer number of radar target for SSM super re solution［J］.Acta Electronica Sinica，2008，36(6):1058-1062.(in Chinese)

［6］ 洪家財(cái)，王元?dú)J.底部刻槽旋轉(zhuǎn)彈丸的RCS 特性的分析與仿真［J］.微波學(xué)報(bào)，2006，22(2):45-48.HONG Jia-cai，WANG Yuan-qin.The RCS analysis and simulation for the bullet pill with slot［J］.Journal of Microwaves，2006，22(2):45-48.(in Chinese)