曾菊容

（宜賓學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，四川宜賓644000）

數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中最為廣泛使用的一種基本線性處理模塊，其功能本質(zhì)上是將一組輸入的序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為另一組數(shù)字序列。它可以實(shí)現(xiàn)模擬器件很難達(dá)到的準(zhǔn)確線性相位特性。其實(shí)現(xiàn)方法主要有有限沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）和無限沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器（Infinite Impuse Response，IIR）兩種。在相同技術(shù)指標(biāo)下，與FIR濾波器相比，IIR濾波器可以用較少的階數(shù)來滿足指標(biāo)的要求，這是因?yàn)镮IR濾波器引入了反饋機(jī)制，并且能夠取得比較好的通帶和阻帶衰減特性。本文以實(shí)現(xiàn)的濾波器速度要快和硬件規(guī)模要小的目標(biāo)來討論了高階IIR濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)。

1 IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)

直接型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀，所使用的延時(shí)器數(shù)量少。缺點(diǎn)是改變某一個(gè)系數(shù){ak}將影響所有的極點(diǎn)，改變某一個(gè)系數(shù){bk}將影響所有的零點(diǎn)。更嚴(yán)重的是這種結(jié)構(gòu)的極點(diǎn)位置靈敏度太大，對(duì)有限字長(zhǎng)效應(yīng)太敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象和產(chǎn)生較大誤差。對(duì)于三階以上的高階IIR濾波器，幾乎不采用直接型結(jié)構(gòu)，而是采用級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型等其他形式的結(jié)構(gòu)。

級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是存儲(chǔ)單元需要較少，硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，可以用一個(gè)二階節(jié)進(jìn)行時(shí)分復(fù)用。級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的另一個(gè)特點(diǎn)是每一個(gè)基本節(jié)系數(shù)變化只影響該子系統(tǒng)的零極點(diǎn)，因此便于準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)濾波器的零、極點(diǎn)，也便于調(diào)整濾波器的頻率特性。此外，級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)對(duì)系數(shù)變化的敏感度小，受有限字長(zhǎng)的影響比直接型低，而且改變每一個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián)的先后順序，可以使濾波器特性得到優(yōu)化，運(yùn)算誤差最小。

并聯(lián)型結(jié)構(gòu)運(yùn)算速度快，各基本節(jié)的誤差互不影響，還可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)的位置，但不能像級(jí)聯(lián)型那樣直接調(diào)整零點(diǎn)，因?yàn)樽酉到y(tǒng)零點(diǎn)不是整個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)。因此，當(dāng)要求準(zhǔn)確傳輸零點(diǎn)時(shí)，以級(jí)聯(lián)型為宜。綜合考慮以上3種結(jié)構(gòu)形式的優(yōu)缺點(diǎn)，本論文采用級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)形式。圖2為高階IIR濾波器的二階節(jié)級(jí)聯(lián)形式。

2 分布式算法IIR濾波器的設(shè)計(jì)[4，6]

因?yàn)閿?shù)字濾波器涉及到大量的卷積運(yùn)算，所以在使用硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)將會(huì)占用大量的資源。為了避免這種情況的實(shí)現(xiàn)，可以利用FPGA芯片所具有的查找表結(jié)構(gòu)，將卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為查表移位求和運(yùn)算。該算法結(jié)構(gòu)有串行和并行兩種，串行結(jié)構(gòu)處理速度慢，并行結(jié)構(gòu)處理速度快，但是硬件規(guī)模增大了，它是以增加額外的LUT、寄存器和加法器為代價(jià)來提高速度的。本論文對(duì)兩種結(jié)構(gòu)方式進(jìn)行這種，提出一種串并結(jié)合的分布式算法，其基本思路是將輸入數(shù)據(jù)分段，各小段再查表移位相加，這些小段的處理是并行的，可提高運(yùn)算速度，然后再將小段運(yùn)算后的部分和再移位相加。其具體結(jié)構(gòu)如圖3所示，該圖為一個(gè)基本二階節(jié)DA算法結(jié)構(gòu)，其中輸入信號(hào)和反饋信號(hào)具有同樣數(shù)據(jù)寬度，均為16位。圖中，DAl，DAll是4位DA算法模塊，其中DAll是最高4位DA算法模塊，DA2是高4位和低4位DA結(jié)果相加模塊，DA3為高8位和低8位DA結(jié)果相加模塊，加法器是將輸入部分和反饋部分計(jì)算結(jié)果相加。

圖3 基本二階節(jié)串并結(jié)合的DA算法結(jié)構(gòu)Fig.3DA arithmetic structure combined the cascade and parallel for the basic 2 order

3 IIR濾波器的設(shè)計(jì)、仿真與測(cè)試

3.1 IIR濾波器的設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的IIR濾波器抽樣率為Fs=10 MHz的低通濾波器，其通帶截止頻率Fp=500 kHz，阻帶截止頻率Fs=550 kHz，通帶最大衰減Ap=0.1 dB，阻帶最小衰減Ap=60 dB。由于橢圓型濾波器相比巴特沃斯型和切比雪夫型實(shí)現(xiàn)時(shí)所需要的階數(shù)最少，所以文中采用橢圓型濾波器來實(shí)現(xiàn)。利用Matlab軟件計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)，先利用函數(shù)ellipord（Wp，Ws，Rp，Rs）計(jì)算出橢圓濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率Wn，再利用函數(shù)ellip（N，Rp，Rs，Wn）可以求得直接型橢圓IIR濾波器的各個(gè)系數(shù)。通過調(diào)用以上兩個(gè)函數(shù)計(jì)算得到的傳遞函數(shù)H（Z）為[2]：

由傳遞函數(shù)可見這是一個(gè)10階IIR濾波系統(tǒng)。借助Matlab信號(hào)處理工具箱中函數(shù)tf2sos可實(shí)現(xiàn)將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為二階節(jié)級(jí)聯(lián)形式。

3.2 傳遞函數(shù)系數(shù)的量化處理

數(shù)字濾波器在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，需要把由理論設(shè)計(jì)出的理想數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)的各系數(shù)加以量化。由傳遞函數(shù)可以知道，系數(shù)直接決定了零、極點(diǎn)的位置，并且極點(diǎn)的位置對(duì)系統(tǒng)特性影響最大。由于系數(shù)的量化，使系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)會(huì)偏離原來的準(zhǔn)確位置。這樣實(shí)際的傳遞函數(shù)將與原來設(shè)計(jì)的有所不同，也就是系統(tǒng)的實(shí)際頻率響應(yīng)與設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)有偏離，如果系數(shù)量化使零、極點(diǎn)的移動(dòng)太大，就會(huì)使濾波器的性能指標(biāo)達(dá)不到設(shè)計(jì)的技術(shù)要求。甚至可能使原來在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)移至單位圓外，穩(wěn)定系統(tǒng)成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

圖4 濾波器系數(shù)量化前后的幅頻特性Fig.4Amplitude frequency characteristic of filter coefficient before and after quantification

圖4比較了在本設(shè)計(jì)中系數(shù)用不同位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)表示的幅頻特性仿真圖，其中用虛線表示的曲線是系數(shù)用10位二進(jìn)制數(shù)表示的系統(tǒng)的幅頻特性，用實(shí)線表示的曲線是系數(shù)用16位二進(jìn)制數(shù)表示的系統(tǒng)的幅頻特性和理論計(jì)算出的幅頻特性（二者基本重合在一起）。通過仿真圖可以看出用10位二進(jìn)制數(shù)對(duì)系數(shù)進(jìn)行量化后幅頻特性曲線嚴(yán)重偏離理論設(shè)計(jì)值，而16位二進(jìn)制數(shù)量化則基本與理論計(jì)算出的幅頻特性曲線重合，能達(dá)到預(yù)定的指標(biāo)。通過討論系數(shù)的量化誤差對(duì)極點(diǎn)位置的影響，本文確定濾波器系數(shù)的數(shù)據(jù)位數(shù)為16位，精度14位，輸入數(shù)據(jù)寬度為12位符號(hào)數(shù)，反饋數(shù)據(jù)寬度為16位，輸出數(shù)據(jù)寬度為14位。

3.3 IIR濾波器的QuartusⅡ仿真[3，5]

設(shè)計(jì)中采用了原理圖輸入方式和文本輸入方式，在QuartusⅡ中完成了上述10階IIR濾波器的設(shè)計(jì)，為了檢測(cè)該濾波器是否正確工作，手動(dòng)輸入周期數(shù)據(jù)（10個(gè)-511，10個(gè)511），相當(dāng)于周期方波信號(hào)（頻率為500 kHz，采樣率為10 MHz）一個(gè)周期的采樣數(shù)據(jù)，Matlab的計(jì)算值與QuartusⅡ的仿真值如表1所示。由信號(hào)理論分析可知，周期方波信號(hào)沒有偶次諧波，所以對(duì)三次及以上的諧波衰減經(jīng)過IIR濾波器后輸出僅有基波（頻率為500 kHz）正弦信號(hào)，理論計(jì)算給出的方波周期信號(hào)基波幅度650.95，由表1可見，Matlab軟件計(jì)算出的基波幅度為：（625.7-（-663.4））/2=644.55，與理論值的誤差為：（644.55-650.95）/650.95=-0.98%，QuartusⅡ軟件仿真輸出的基波幅度為：（600-（-652））/2=626，與理論值的誤差為：（626-650.95）/650.95=-3.83%，仿真值與理論值誤差較大是由于有限精度算法所引起的誤差，可以通過增加二進(jìn)制位數(shù)來提高系統(tǒng)的精度。

表1 濾波后輸出的數(shù)據(jù)Tab.1Output data after filter

3.4 IIR濾波器的硬件測(cè)試

測(cè)試系統(tǒng)包括了3個(gè)部分：信源、實(shí)驗(yàn)電路和示波器。信源可由信號(hào)發(fā)生器提供，本次實(shí)驗(yàn)中是通過對(duì)系統(tǒng)時(shí)鐘分頻得到的周期方波信號(hào)，因?yàn)橹芷诜讲ㄐ盘?hào)含有豐富的諧波分量，便于用FFT圖觀測(cè)。實(shí)驗(yàn)電路主要包括A/D轉(zhuǎn)換電路、IIR濾波器和D/A轉(zhuǎn)換電路。在實(shí)驗(yàn)電路中，輸入的信號(hào)先經(jīng)過A／D轉(zhuǎn)換電路，轉(zhuǎn)換后的數(shù)字信號(hào)送入用FPGA實(shí)現(xiàn)的IIR濾波器電路進(jìn)行濾波處理，濾波后的數(shù)據(jù)仍然是數(shù)字信號(hào)，因此再通過A／D轉(zhuǎn)換電路將其還原為模擬信號(hào)。測(cè)試中采用雙蹤數(shù)字示波器DSll02C來觀測(cè)濾波前后的結(jié)果。測(cè)試結(jié)果如圖6所示。

圖5 測(cè)試系統(tǒng)組成框圖Fig.5The block diagram of test system

圖6 頻率為200 kHz方波濾波前后的效果圖Fig.6The signal before and after filter of square wave which frequency is 200 kHz

由信號(hào)理論分析可知，周期方波信號(hào)不含有偶次諧波，又由于所設(shè)計(jì)低通濾波器的通帶截止頻率為500 kHz，所以當(dāng)輸入為200 kHz時(shí)，高次諧波都被濾除了，只剩下基波，測(cè)試結(jié)果與理論分析一致。

4 結(jié)論

本文完成了基于FPGA的高階IIR濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。首先結(jié)合IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)，針對(duì)分布式算法中查找表規(guī)模過大的缺點(diǎn)，采用級(jí)聯(lián)或并聯(lián)結(jié)構(gòu)，利用多塊查找表使得硬件規(guī)模極大地減小，提出了并行和串行相結(jié)合的設(shè)計(jì)方案，然后在QuartusⅡ軟件平臺(tái)上，對(duì)設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，然后對(duì)Matlab理論值和仿真值進(jìn)行了比較分析，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的IIR濾波器的正確性。最后還做了硬件測(cè)試，測(cè)試結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的濾波器硬件規(guī)模較小，系統(tǒng)最高時(shí)鐘頻率達(dá)到了80 MHz以上，體現(xiàn)了設(shè)計(jì)的實(shí)時(shí)性。同時(shí)，只要將查找表進(jìn)行相應(yīng)的改動(dòng)，就能分別實(shí)現(xiàn)低通、高通、帶通IIR濾波器，體現(xiàn)了設(shè)計(jì)的靈活性。

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