劉文奇， 焦賢發(fā)

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009）

近年來，隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直被廣泛研究，隨機(jī)系統(tǒng)常見于眾多的工程系統(tǒng)與生物系統(tǒng)中。另外，時滯是眾多生物過程的固有屬性，通常會導(dǎo)致一個控制系統(tǒng)不穩(wěn)定或者其他一些不好的指標(biāo)出現(xiàn)，因此時滯系統(tǒng)得到了廣泛研究［1－8］。文獻(xiàn)［1］基于狀態(tài)觀測器的輸出反饋研究了一類線性隨機(jī)時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［3］基于狀態(tài)反饋研究了一類線性隨機(jī)時滯系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［5］中采用狀態(tài)反饋的方法，研究了一類不確定性隨機(jī)時滯系統(tǒng)的魯棒Η∞控制問題?？紤]到在物理現(xiàn)實(shí)上的意義，本文采用輸出反饋條件下，保證閉環(huán)系統(tǒng)在一切可容許的不確定性干擾下隨機(jī)穩(wěn)定，同時設(shè)計出了滿足要求的反饋增益矩陣。

1 系統(tǒng)描述及假設(shè)

記（Ω，F(xiàn)，P）為一個完備概率空間，w（t）是定義于該空間上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，所考察不確定性隨機(jī)時滯系統(tǒng)如下：其中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；u（t）∈Rn為控制輸入；y（t）∈Rm為系統(tǒng)量測；φ（t）為定義于區(qū)間［－τ，0］上的一個向量初始連續(xù)函數(shù)，不確定參數(shù)矩陣A（t）、Ad（t）、C（t）、Cd（t）都是時變的，滿足：

其中，A、Ad、C、Cd、B、D是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，且矩陣B是列滿秩的。不失一般性，假設(shè)不確定參數(shù)矩陣ΔA（t）、ΔAd（t）、ΔC（t）、ΔCd（t）是范數(shù)有界的，且滿足：

其中，M1、M2、N1、N2是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，F(xiàn)（t）是不確定時變矩陣，滿足：

引理2 由文獻(xiàn)［6］，則有：

（1）給定相應(yīng)維數(shù)的矩陣M、N、H，其中M、N為常陣，H可為t的函數(shù)，且HTH≤I，則對于?μ＞0，都成立MHN＋NTHTMT≤μMMT＋μ－1NTN。

（2）給定相應(yīng)維數(shù)的矩陣X、Y，對于?μ＞0，都成立XYT＋YXT≤μXXT＋μ－1YYT。

定義1 稱不確定時滯系統(tǒng)（1）～（3）隨機(jī)穩(wěn)定，若對于定義于區(qū)間［－τ，0］上的有限向量函數(shù)φ（t）∈Rn，系統(tǒng)狀態(tài)滿足：

2 主要結(jié)果

對于系統(tǒng)（1）～（3），引入輸出反饋

代入（1）式得：

定理1 對于給定反饋增益矩陣L，若存在正定矩陣P＞0，Q＞0，和正實(shí)數(shù)μ1、μ2，使得：

則閉環(huán)系統(tǒng)（1）～（3）是隨機(jī)穩(wěn)定的，其中

證明 對于t≥0，構(gòu)造Liapunov函數(shù)：

由伊藤微分公式，李雅普諾夫函數(shù)的微分為：

經(jīng)過計算并整理后得：

由引理2得：

結(jié)合（9）～（13）式有：

由定理1中（8）式及引理1可得Φ＜0，對任意非零向量有：

由（14）式可得：

對任意向量x（t），存在正實(shí)數(shù)ε使下式成立：

故由Dynkin＇s公式，對所有的t≥0，有

即

綜上及定義1知閉環(huán)系統(tǒng)（1）～（3）隨機(jī)穩(wěn)定。

從定理1易知，要使受控系統(tǒng)（1）～（3）隨機(jī)穩(wěn)定，必須選擇適當(dāng)?shù)姆答佋鲆婢仃嘗，定理2將給出滿足定理1中（8）式的一些L的具體表達(dá)式。

定理2 若存在矩陣P＞0、Q＞0、Y和正實(shí)數(shù)μ1、μ2，使得：

則在增益矩陣L滿足PBL＝Y(jié)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)（1）～（3）隨機(jī)穩(wěn)定。其中

證明 在（18）式中令Y＝PBL，則（18）式轉(zhuǎn)化為：將Π＝P［A＋Y］＋［A＋Y］TP＋（μ1＋μ2）［PM1＋YM2］［PM1＋YM2］T＋DTPD＋Q代入（19）式，則該式轉(zhuǎn)化為（8）式，結(jié)合定理1的結(jié)論知閉環(huán)系統(tǒng)（1）～（3）隨機(jī)穩(wěn)定。

由于矩陣B是列滿秩的，根據(jù)Y＝PBL可以解出L的具體表達(dá)式，從而可構(gòu)造出容許的輸出反饋控制，使得受控系統(tǒng)（1）～（3）隨機(jī)穩(wěn)定。

3 數(shù)值例子

基于定理2，給出狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)（1）～（3）的一個二維的數(shù)值例子。各系數(shù)矩陣如下：

取μ1＝0.5，u2＝0.5，Q＝I，

由數(shù)值結(jié)果，結(jié)合定理2知：在輸出反饋u（t）＝Ly（t）的作用下，隨機(jī)時滯閉環(huán)系統(tǒng)（1）～（3）是隨機(jī)穩(wěn)定的。

4 結(jié)束語

本文針對一類不確定隨機(jī)時滯系統(tǒng)，基于輸出反饋控制，得到閉環(huán)系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的充分條件，給出的定理保證了閉環(huán)系統(tǒng)在一切容許不確定干擾下是隨機(jī)穩(wěn)定的，同時設(shè)計出了滿足要求的反饋增益矩陣，數(shù)值例子驗(yàn)證了方法的可行性。

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