丁 潔， 凌能祥

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009）

眾所周知，條件均值函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)是回歸分析研究的重要問題，其理論與方法在經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中已有廣泛的應(yīng)用。條件均值函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)中，通常解釋變量X取值于Rd空間，響應(yīng)變量Y取值于R1空間，（X，Y）的樣本被認(rèn)為是i.i.d或有某種相依的隨機(jī)變量，文獻(xiàn)［1－2］已取得一些有意義的成果。

近年來，隨著計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，在醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、環(huán)境計(jì)量學(xué)和計(jì)量化學(xué)等領(lǐng)域人們常常收集到曲線數(shù)據(jù)或函數(shù)型觀察值。于是人們開始關(guān)注基于函數(shù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷特別是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷。關(guān)于函數(shù)型數(shù)據(jù)的詳細(xì)背景及統(tǒng)計(jì)推斷的早期工作參見文獻(xiàn)［3－5］。最近，文獻(xiàn)［6］利用Kolmogorov熵的原理和方法，進(jìn)一步研究了基于函數(shù)型數(shù)據(jù)響應(yīng)變量的條件均值函數(shù)、條件分布函數(shù)、條件密度函數(shù)和條件風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)，在i.i.d情形下獲得了有關(guān)非參數(shù)估計(jì)量的幾乎完全一致收斂性及其收斂速度。鑒于條件均值函數(shù)在金融中的廣泛應(yīng)用和時(shí)間序列問題的相依性，本文進(jìn)一步利用Kolmogorov熵的原理和方法研究基于α混合相依函數(shù)型數(shù)據(jù)有關(guān)條件均值函數(shù)估計(jì)的幾乎完全一致收斂性及收斂速度，推廣現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果。

首先簡(jiǎn)要介紹強(qiáng)相合的定義。過程｛（Xi，Yi），i≥1｝被稱為強(qiáng)混合或α混合，如果

為了方便起見，本文中只假設(shè)｛（Xi，Yi），i≥1｝為算術(shù)α混合，且速度a＞1。

引進(jìn)Kolmogorov熵的定義，設(shè)SF是半度量空間F的子集，給定ε＞0，如果這里B（xi，h）是以xi為中心的小球，半徑h＞0，則F中有限個(gè)元x1，x2，…，xN稱為SF的ε網(wǎng)點(diǎn)，當(dāng)Nε（SF）是F中覆蓋SF所需要的半徑為ε的開球的最小個(gè)數(shù)時(shí)，（1）式稱為SF的Kolmogorovε熵［7－9］，即

設(shè)｛（Xi，Yi），i≥1｝為同分布于（X，Y）的混合相依序列，其中X取值于有半度量d的抽象無限維空間（F，d），Y取值于R1空間。本文中，C、C′、C1為正常數(shù)，并在不同的情形下取不同的值。

根據(jù)文獻(xiàn)［5］，定義條件均值函數(shù)（2）式的核估計(jì)如下，即

其中，K為核函數(shù)；φ（·）為已知實(shí)值Borel可測(cè)函數(shù)；窗寬

1 記號(hào)和假設(shè)

設(shè)SF為集合F的緊子集，記

為得出本文主要結(jié)論，引入一些基本假設(shè)，關(guān)于回歸函數(shù)r，假設(shè)條件如下：

H2 對(duì)于小球概率，設(shè)?x∈SF，0＜Cφ（h）≤P（X∈B（x，h））≤C′φ（h），當(dāng)h→0時(shí)，φ（h）→0。

H3 （nφ（h））＝O（logn）2。

H4 關(guān)于核函數(shù)，假設(shè)條件如下：核函數(shù)K（·）滿足K（·）：R→R＋，且∫K＝1，支撐集為［0，1］。

H5 對(duì)于相依結(jié)構(gòu)Sn，i，i＝1，2，3，4，存在θ＞C1β＋1＞2，使得：

H6 假如如下：

其中，δm（·）在SF上連續(xù)。H1～H4為研究非參數(shù)函數(shù)型數(shù)據(jù)的漸近性的常用假設(shè)，參見文獻(xiàn)［5］。與i.i.d場(chǎng)合相比，假設(shè)H5給出了相依結(jié)構(gòu)在收斂速度方面的影響，這有助于給出有關(guān)收斂速度的一般性結(jié)論，需要特別指出的是，在假設(shè)H5中取C1＞1／β，并且C1取在假設(shè)H3、下面的H7成立的前提下，結(jié)論C1logn中的常數(shù)C1。最后，對(duì)于Kolmogorov熵，下面引用文獻(xiàn)［6］中的假設(shè)。

2 引理及證明

2.1 引理

引理1 在假設(shè)H2～H5、H7下有：

其中

引理2 在假設(shè)H1、H2、H4下有：

其中

引理3 在引理1的條件下，對(duì)于某個(gè)給定的常數(shù)ε0，0＜ε0＜1，有

引理4 在假設(shè)H1～H7下，有

2.2 證明

（1）引理1的證明。根據(jù)文獻(xiàn)［6］的分解，有

首先，研究F2，對(duì)于?η＞0，有

由文獻(xiàn)［5］和Kolmogorov熵的定義，對(duì)于r＝log2n和某一個(gè)常數(shù)C＜∞，得

由（4）式，有

存在某個(gè)ε0＞0，獲得并且取有

由（12）～（14）式以及假設(shè)H7，得

故有：

下面研究F1。根據(jù)＾r(nóng)（x）的定義、核函數(shù)K的有界性以及上述k（x）的取法，關(guān)于F1可以得到下面的不等式：

類似于F2的證明，有

同理，有

由（11）式以及（16）～（18）式，引理1得證。

（2）引理2的證明。類似于文獻(xiàn)［6］中Lemma 10的證明。

（3）引理3的證明。由（7）式，結(jié)合文獻(xiàn)［6］中Lemma 9的證明方法，此引理得證。

（4）引理4的證明。根據(jù)文獻(xiàn)［6］中的分解方法，有

類似F1和F3的證明，可得：

而對(duì)于G2，有

由（6）式以及Markov不等式，有

由（21）式和文獻(xiàn)［5］，類似F2的證明，可得：

由（19）式、（20）式和（22）式，引理4得證。

3 主要結(jié)論及其證明

定理1 在假設(shè)H1～H7下，有

該結(jié)論給出了在相依函數(shù)型數(shù)據(jù)場(chǎng)合下估計(jì)量＾r(nóng)φ（x）精確的一致收斂速度。這里收斂速度被分為2部分，第1部分和通常情形類似，只取決于回歸函數(shù)的光滑參數(shù)算子，相依結(jié)構(gòu)和熵對(duì)收斂速度的影響體現(xiàn)在第2部分。

證明 根據(jù)文獻(xiàn)［5］，有如下分解：

由上述4個(gè)引理的結(jié)論及文獻(xiàn)［5］，定理得證。

［1］ Robinson R.Robust nonparametric autoregression［J］.Lecture Notes in Statistics，1984，26：247－255.

［2］ George G，Roussas R.Nonparametric regression estimation under mixing conditions［J］.Stochastic Processes and Their Applications，1990，36（1）：107－116.

［3］ Ramsay J O，Silverman B W.Functional data analysis［M］.New York：Springer，1997：5－50.

［4］ Ramasy J，Silverman B.Applied functional data analysis：methods and case studies［M］.New York：Springer，2002：10－50.

［5］ Ferraty F，Vieu P.Nonparametric funcional data analysis：theory and practice［M］.Berlin，Springer，2006：5－20.

［6］ Ferraty F，Laksaci A，Tadj A，et al.Rate of uniform consistency for nonparametric estimates with functional variables［J］.J of Statist Planning and Inference，2010，140（2）：335－352.

［7］ Kolmogorov A N，Tikhomirov V M.ε－entropy andε－capacity［J］.Uspekgi Mat.Nauk，1959，14：3－86.

［8］ Kuelbs J，Li W.Metric entropy and the small ball problem for Gaussian measures［J］.J Funct Anal，1993，116：133－157.

［9］ Theodoros N，Yannis G Y.Rates of convergence of estimate，Kolmogorov entropy and the dimensionality reduction principle in regression［J］.Ann Statist，1997，25（6）：2493－2511.