陳 雪

（太原師范學(xué)院物理系，山西太原 030031）

0 引 言

信號與系統(tǒng)分析在電子與信息領(lǐng)域中占據(jù)著重要的地位[1-2]。傳統(tǒng)的理論分析方法是通過數(shù)學(xué)方法建立方程求解而得出分析結(jié)果，需要大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算。而在現(xiàn)代工程中，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和仿真軟件的發(fā)展，人們通常利用仿真技術(shù)建立數(shù)學(xué)模型，對實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行模擬，分析不同的信號輸入和系統(tǒng)參數(shù)改變時系統(tǒng)響應(yīng)或性能的變化[3]。Simulink作為Matlab的工具箱之一，是交互式動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的圖形環(huán)境，在信號處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[4-8]。

文中以RLC二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)為例，利用Simulink動態(tài)仿真軟件建立了電路形式和框圖形式的兩種仿真模型，而這兩種模型，都可以直觀方便地顯示系統(tǒng)回路的電流響應(yīng)曲線。通過模擬仿真可以看到，將Matlab運(yùn)用到信號與系統(tǒng)的分析中，不但簡化了大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而且使系統(tǒng)分析更為簡便高效。

1 二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)的建模

RLC二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)是連續(xù)系統(tǒng)分析的典型研究對象，理論上經(jīng)常討論此系統(tǒng)有關(guān)回路電流i（t）為響應(yīng)的問題。文中選取電路參數(shù)L= 1 H，C=1 F，用ω=1 rad/s的正弦信號作為激勵e（t），首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，可建立回路方程

方程左右兩邊分別求導(dǎo)，得

對上述方程左右兩邊進(jìn)行拉式變換，并求得系統(tǒng)函數(shù)

其中，極點(diǎn)位置是

2 基于Simulink的二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)仿真分析

2.1 電路模型仿真

運(yùn)用Simulink可以建立二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)的電路模型，如圖1所示。

圖1 基于Simulink的二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)電路模型

模型中用ω=1 rad/s的正弦信號作為激勵，通過改變電阻的阻值可以改變衰減因子α的取值，從而可以直觀地觀察不同損耗時的系統(tǒng)i（t）波形。

RLC無損系統(tǒng)（α=0）的i（t）波形如圖2所示。

圖2 α=0時無損電路正弦激勵電流響應(yīng)

由圖可見，由于電路發(fā)生了諧振，它的包絡(luò)為線性增長的同頻正弦信號。

另外，通過改變衰減因子α的值，可以更直觀地去研究系統(tǒng)正弦穩(wěn)態(tài)過渡過程。同信號激勵RLC有損系統(tǒng)（α=0.25，α=1）的i（t）波形如圖3和圖4所示。

圖3 α=0.25時有損電路正弦激勵電流響應(yīng)

圖4 α=1時有損電路正弦激勵電流響應(yīng)

可見隨著t的增大，i（t）中的暫態(tài)響應(yīng)迅速結(jié)束，電路很快進(jìn)入正弦穩(wěn)態(tài)。

2.2 系統(tǒng)模型仿真

為了對線性時不變（LT I）系統(tǒng)進(jìn)行分析，需要首先建立與系統(tǒng)相對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)。以α=1的二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)為例，取電路參數(shù)L=1 H，C=1 F，R=2 Ω，建模后其系統(tǒng)函數(shù)可以表示為:

根據(jù)梅森公式，上式的分子可以看作是1條前向通路的增益，分母可以看作是2個回路組成的特征行列式，而且各回路都互相接觸，由此可以構(gòu)建系統(tǒng)模型。在Matlab/Simulink運(yùn)行環(huán)境中選擇相應(yīng)的模塊，在model板上構(gòu)建出系統(tǒng)模型，設(shè)置相應(yīng)的參數(shù)進(jìn)行仿真，用直接型和級聯(lián)型實(shí)現(xiàn)的二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)模型分別如圖5和圖6所示。

圖5 基于Simulink的直接型二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)模型

圖6 基于Simulink的級聯(lián)型二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)模型

雙擊示波器scope顯示正弦激勵信號的電流響應(yīng)結(jié)果如圖7所示。

通過與圖4比較發(fā)現(xiàn)，利用系統(tǒng)函數(shù)建立的系統(tǒng)模型與實(shí)際的電路仿真得到的響應(yīng)是一致的，體現(xiàn)了利用Simulink進(jìn)行二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)建模的準(zhǔn)確性。

3 結(jié) 語

以RLC二階串聯(lián)諧振系統(tǒng)為例，分析了線性時不變系統(tǒng)的建模方法。并利用Simulink動態(tài)仿真軟件建立了電路形式和框圖形式的兩種仿真模型，而這兩種模型都可以直觀方便地顯示系統(tǒng)回路的電流響應(yīng)曲線。通過模擬仿真可以看到，將Matlab運(yùn)用到信號與系統(tǒng)的分析中，不但簡化了大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而且使系統(tǒng)分析更為簡便高效，對理論研究和工程應(yīng)用都具有重要意義。

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