楊濤，張劍鋒

(1.蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070； 2.蘭州市勘察測(cè)繪研究院，甘肅蘭州 730050)

線狀地圖符號(hào)數(shù)學(xué)定義的研究以及實(shí)現(xiàn)

楊濤1，2?，張劍鋒2

(1.蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070； 2.蘭州市勘察測(cè)繪研究院，甘肅蘭州 730050)

地圖符號(hào)qgf(x)是制圖對(duì)象x在f，g，q三重拓?fù)溆成湎碌南骩1]。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)分析地圖線狀符號(hào)的特征，提出了半依比例線狀符號(hào)的數(shù)學(xué)定義，并給出了對(duì)構(gòu)造矢量線狀符號(hào)的幾何圖元進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、變形、裁剪等處理方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，且運(yùn)用面向?qū)ο蟮姆椒ńo出了線狀符號(hào)的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，最終通過(guò)實(shí)現(xiàn)證明了該方法解決了拐點(diǎn)超出扇形區(qū)域的問題且在視覺上達(dá)到了很好的效果。

地圖符號(hào)；線狀符號(hào)；數(shù)學(xué)定義；面向?qū)ο?/p>

1 引 言

地圖符號(hào)是表達(dá)空間地理信息所用的極其特殊的語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、精確的空間位置和可量測(cè)性。也可以認(rèn)為地圖符號(hào)是概念符號(hào)的集合，因?yàn)樗械貓D符號(hào)都是描述空間地理事物和現(xiàn)象某方面的特征。鐘業(yè)勛、魏文展、黃鵠等從數(shù)學(xué)的角度提出了點(diǎn)狀、線狀、面狀地圖符號(hào)的數(shù)學(xué)定義[1]；還給出了依比例、不依比例、半依比例地圖符號(hào)的嚴(yán)密數(shù)學(xué)定義[2]，但僅考慮了少量符號(hào)變量且以二維地圖模型為基礎(chǔ)，難免存在一些不足。何忠煥從線狀單元的銜接、特殊位置成員、符號(hào)的異常等方面提出復(fù)雜線狀符號(hào)的繪制[3]，但該填充方法存在一定的不足。當(dāng)拐點(diǎn)角度在一定范圍內(nèi)時(shí)，拐點(diǎn)在扇形區(qū)域的外部。計(jì)算線狀符號(hào)外接矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，要依靠前面的拐點(diǎn)角度，從而使得重復(fù)計(jì)算太多，增加計(jì)算復(fù)雜性等。本文在此研究的基礎(chǔ)上，給出了更為廣泛的半依比例線狀符號(hào)的數(shù)學(xué)定義，并給出了對(duì)構(gòu)造矢量線狀符號(hào)的幾何圖元進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、變形、裁剪等處理方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及運(yùn)用面向?qū)ο蟮姆椒▽?shí)現(xiàn)了符號(hào)化。

2 線狀符號(hào)的理論分析

線狀符號(hào)表示空間上的一維地物和地理現(xiàn)象，長(zhǎng)度在圖上依比例尺表示，而寬度在圖上不依比例尺表示。例如圍墻、一般鐵路、加固斜坡等，線狀符號(hào)一般都有如下特征:

(1)都有一條有形或無(wú)形的定位線。

(2)都可以分解成基本線劃單元(可稱之為基線)和結(jié)點(diǎn)描述信息的復(fù)合，形成線狀地圖符號(hào)基本圖元，這種圖元呈周期性變化。

(3)一個(gè)基本線劃單元通常包含3種結(jié)點(diǎn)信息，即可在基本線劃單元的首、中、末位置上配置結(jié)點(diǎn)信息(點(diǎn)狀符號(hào)描述)。

例如，對(duì)于地圖符號(hào)鐵路和圍墻，如圖1，圖2所示。

圖1 鐵路符號(hào)

圖2 圍墻符號(hào)

3 線狀符號(hào)的數(shù)學(xué)定義

3.1 地圖符號(hào)的一般定義

根據(jù)拓?fù)溆成湓?，得地圖符號(hào)的一般定義。

定義1[1]:設(shè)x∈A?X是三維空間X中制圖區(qū)域A內(nèi)的制圖物體。存在從三維空間X到地球橢球面S的映射f:X→S和地球橢球面S到制圖者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)Y的映射g:S→Y以及從制圖者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)Y到二維平面Z的映射q:Y→Z。x在f，g，q三重拓?fù)溆成湎碌钠矫嫦駋gf(x)∈qgf(A)?Z稱為制圖物體x的地圖符號(hào)。

同理，將用映射q1代替映射q，可得計(jì)算機(jī)數(shù)碼集Z1中的數(shù)字地圖符號(hào)q1gf(x)∈q1gf(A)?Z。若引入時(shí)間變量，則得動(dòng)態(tài)地圖符號(hào)，其集合便構(gòu)成動(dòng)態(tài)地圖。

3.2 半依比例符號(hào)的一般定義

定義2[2]:設(shè)qgf(x)是x在f，g，q三重拓?fù)溆成湎碌牡貓D符號(hào)，在1∶M比例尺條件下，若對(duì)于?P∈qgf (x)，?Pα，Pα?∈qgf(x)使得:

則稱qgf(x)為x的半依比例符號(hào)。其中α為依比例方向，α?為不依比例方向。

3.3 半依比例線狀符號(hào)的定義

線狀符號(hào)的圖案大部分是由周期性出現(xiàn)的基本圖元串接而成，運(yùn)用線狀符號(hào)的可分解性，將線狀符號(hào)分解為多個(gè)基本圖元，并按順序分別從符號(hào)的起點(diǎn)到終點(diǎn)繪制出各圖元，從而實(shí)現(xiàn)線狀符號(hào)的繪制。此方法需要記錄各圖元之間的相對(duì)位置，確定各圖元之間的位置依賴關(guān)系。因此，可認(rèn)為線狀符號(hào)的圖案是由基本線劃單元和結(jié)點(diǎn)信息(點(diǎn)、直線段、折線段、樣條曲線、多邊形、曲邊形、矩形、橢圓、橢圓弧、弓形、扇形、星形、文字、位圖等)復(fù)合并呈周期性變化。由此可得:若在1∶M比例尺條件下，線狀符號(hào)的數(shù)學(xué)描述如下:

其中:L—表示線狀符號(hào)；M—表示線狀符號(hào)的比例尺；qgf—表示線狀符號(hào)的生成函數(shù)；S—表示基本圖元；(X，Y)—表示基本圖元坐標(biāo)串；T—表示線狀符號(hào)周期長(zhǎng)度。

其中:S表示基本圖元；Xi，Xk表示基本線劃單元或結(jié)點(diǎn)；R表示基本線劃單元或結(jié)點(diǎn)Xi，Xk之間的位置依賴關(guān)系；Yj表示基本線劃單元或結(jié)點(diǎn)描述信息的屬性。

則稱L為制圖物體x的線狀符號(hào)。

簡(jiǎn)化線狀符號(hào)的書寫形式為:

若對(duì)于?L1∈L?，?L1α，L1α′∈L?使得:

則稱L為制圖物體x的半依比例線狀符號(hào)。其中α為依比例方向，α′為不依比例方向。

4 線狀符號(hào)填充描述

文獻(xiàn)[3]從線狀單元的銜接、特殊位置成員、符號(hào)的異常等方面提出復(fù)雜線狀符號(hào)的繪制，此繪制方法存在一定的不足。當(dāng)兩個(gè)符號(hào)圖元拐點(diǎn)角度在一定范圍內(nèi)時(shí)，將出現(xiàn)拐點(diǎn)在扇形區(qū)域外部，這時(shí)必須計(jì)算線狀符號(hào)外接矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)，而計(jì)算這個(gè)坐標(biāo)將依靠前面所有的拐點(diǎn)角度和拐點(diǎn)的坐標(biāo)，以至重復(fù)計(jì)算太多，增加計(jì)算復(fù)雜性等。為此，本文在文獻(xiàn)[2，3]的線狀符號(hào)填充算法的基礎(chǔ)上，對(duì)于這些不足做了有效的改進(jìn)。

任意給定的一條線狀要素的定位線，其填充規(guī)則可描述為:第一步線狀符號(hào)圖元的旋轉(zhuǎn)處理(如圖3的AB段、FG段)，第二步線狀符號(hào)圖元的變形處理(如圖3的BCD段、DEF段)，第三步線狀符號(hào)圖元的裁減(如圖3的GH段)處理，以達(dá)到線狀符號(hào)的形狀和長(zhǎng)度。

圖3 線狀符號(hào)填充

根據(jù)上述填充規(guī)則的描述，結(jié)合線狀符號(hào)橫向循環(huán)配置的方法，得到以下線狀符號(hào)填充的詳細(xì)過(guò)程。

4.1 計(jì)算基本圖元的個(gè)數(shù)

線狀符號(hào)填充處理首先確定填充的直線段，然后計(jì)算其有效長(zhǎng)度，根據(jù)長(zhǎng)度來(lái)確定可以填充完整的基本圖元數(shù)目。令:

其中，d—表示基本圖元的長(zhǎng)度；Li—表示線狀符號(hào)定位線的分段長(zhǎng)度；li—表示與圖元相鄰的上一個(gè)圖元填充后被裁剪轉(zhuǎn)入本直線段的圖元長(zhǎng)度；且l1＝0；ni—表示每一條直線段填充的完整基本圖元的個(gè)數(shù)；mi—表示每一條直線段填充的基本圖元所剩余的長(zhǎng)度；i表示線狀符號(hào)基本圖元的個(gè)數(shù)。

以上圖為例，按照上述方法填充有:

第一條直線段的長(zhǎng)度:L1＝AC；

完整填充的基本圖元個(gè)數(shù):n1＝(L1－li)/d；l1＝0基本圖元填充后剩余長(zhǎng)度:m1＝(L1－l1)%d

轉(zhuǎn)入下一條直線段的剩余基本圖元長(zhǎng)度:l2＝d－m1

這樣一直下去就可以求出所有直線段上可完整填充的基本圖元個(gè)數(shù)。

4.2 旋轉(zhuǎn)處理

旋轉(zhuǎn)處理指以被填充線狀符號(hào)的起始點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，將同一條直線段上的所有基本圖元旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌龋詽M足線狀符號(hào)填充的需要。

(1)旋轉(zhuǎn)角度的表達(dá)方法

在線狀符號(hào)旋轉(zhuǎn)處理中規(guī)定:旋轉(zhuǎn)角度θ∈(－180°，180°)，取逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為正。根據(jù)兩條直線段的所得的向量，記作:通過(guò)向量的數(shù)性積，求取拐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度的大小，而由向量矢性積，求得拐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度的正負(fù)，計(jì)算公式如下:

(2)旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換計(jì)算方法

設(shè)(x0，y0)為初始點(diǎn)，(x1，y1)為旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為θ，則坐標(biāo)變換公式為:

運(yùn)用上述的旋轉(zhuǎn)處理規(guī)則，可以對(duì)圖4進(jìn)行簡(jiǎn)單線狀符號(hào)旋轉(zhuǎn)處理，從而使線狀符號(hào)的方向和定位線的方向一致。

圖4 線狀符號(hào)的旋轉(zhuǎn)

首先假設(shè)定位線的拐點(diǎn)分別為O1、O2、O3和O4，坐標(biāo)分別為:O1(x1，y1)、O2(x2，y2)、O3(x3，y3)、O4(x4，y4)，線狀符號(hào)基本圖元的高度為h，長(zhǎng)度為d，第一次旋轉(zhuǎn)角度為α，建立線狀符號(hào)定位線的坐標(biāo)系，線狀符號(hào)(如圖4的矩形ABCD)在旋轉(zhuǎn)之前，其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xA，yA)、B(xB，yB)、C(xc，yc)、D(xD，yD)，其中xA＝xB＝x1、xC＝xD＝x1＋d、yA＝y(tǒng)D＝y(tǒng)1－h(huán)/2、yB＝y(tǒng)C＝y(tǒng)1＋h/2。

線狀符號(hào)定位線繞拐點(diǎn)O1(x1，y1)旋轉(zhuǎn)角度α。A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)以同樣的處理旋轉(zhuǎn)，以(x，y)代表A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)后的新坐標(biāo)為(x′，y′)，則有如下變換:

而對(duì)于其他線狀符號(hào)定位線也一樣相同方式處理。

4.3 變形處理

變形處理主要應(yīng)用于基本圖元填充時(shí)遇到拐點(diǎn)外側(cè)出現(xiàn)的斷裂情況，此時(shí)線狀符號(hào)的基本圖元填充到拐點(diǎn)(如圖5的O2)時(shí)和下一條直線段開始的基本圖元之間的斷裂部分用扇形(O2GH)填充。

扇形O2GH的頂點(diǎn)坐標(biāo)很好求得，O2為坐標(biāo)已知的拐點(diǎn)，而點(diǎn)G和H也是拐點(diǎn)前后兩個(gè)基本圖元的頂點(diǎn)坐標(biāo)。扇形顏色的填充將分為兩步進(jìn)行，第一步應(yīng)用拐點(diǎn)角的角平分線將扇形劃分為兩個(gè)區(qū)域；第二步對(duì)兩個(gè)區(qū)域用與之相鄰基本圖元符號(hào)的顏色進(jìn)行填充。其他的扇形處理方式同上。

圖5 線狀符號(hào)的變形

4.4 裁減處理

裁減處理解決的是拐點(diǎn)位置的符號(hào)重疊和交叉現(xiàn)象。裁剪最后一條直線段填充的線狀符號(hào)基本圖元和拐點(diǎn)相鄰的兩個(gè)線狀符號(hào)基本圖元與拐點(diǎn)角平分線相交的多余線狀符號(hào)基本圖元。

5 實(shí)現(xiàn)

5.1 實(shí)現(xiàn)機(jī)制

利用面向?qū)ο蠹夹g(shù)設(shè)計(jì)合適的圖形元素類(以下簡(jiǎn)稱圖元類)，特定的圖元類對(duì)象不僅可以描述一個(gè)圖形元素，而且它應(yīng)具有一定的行為。這樣圖元類就是具有智能的最小功能單元。通過(guò)類的繼承，使得不同的圖元類都具有共有的行為方法，再利用面向?qū)ο笳Z(yǔ)言的多態(tài)性對(duì)特殊的類設(shè)計(jì)特殊的行為。這樣不僅提高了圖形的編輯效率，而且在很大程度上方便了整個(gè)工程的編程。例如在圖元類中修改自身屬性的方法，這樣系統(tǒng)在接到編輯圖形消息時(shí)，只需將編輯消息傳送到相應(yīng)的圖元類對(duì)象的相應(yīng)接口就可以了，而沒有必要直接修改圖形元素的屬性參數(shù)。圖元類對(duì)象修改了屬性后，再使用繪制方法(Draw)將所描述的圖形在界面上重繪。為此圖元類應(yīng)有以下基本要求:

(1)圖元類必須完全描述基本圖形元素(以下簡(jiǎn)稱為圖元)，即包含描述這種圖元的所有屬性參數(shù)；

(2)能夠接受用戶對(duì)圖元的編輯消息，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)圖元的編輯功能，如對(duì)圖元屬性的修改，自我復(fù)制等；

(3)將自身描述的圖元，記錄到文件的功能，即用GDI＋繪制圖元寫進(jìn)元文件中的功能。

5.2 實(shí)現(xiàn)過(guò)程

為了方便編程，實(shí)現(xiàn)代碼的重用，采用以下繼承關(guān)系，如圖6所示。

圖6 線圖元類的繼承圖

(1)最上層是CGraphElement，此類具有線狀圖元類的共同屬性，如光柵操作模式、選中狀態(tài)標(biāo)識(shí)、圖層索引號(hào)等，另外還具有圖元類都具有的方法和外部接口；

(2)中間層是CLineELement，此類為線狀元素的基本圖元類，具有本圖元的私有屬性及方法，如CLine描述一條直線，具有私有屬性直線的起點(diǎn)、終點(diǎn)等。

(3)特殊的圖元類說(shuō)明

①CInsertBmp類，處理位圖圖片類。該類具有處理元文件中記錄的位圖圖片的所有屬性和方法，如位圖大小、位置、類型等屬性以及處理位圖的對(duì)比度、明亮度等方法。

②CComboDraw類，組合圖元類。此類具有支持圖元的組合、分解等操作而設(shè)計(jì)的特殊圖元類。在該圖元類中有一個(gè)CObaray類型的私有成員變量，在此變量中存有一個(gè)或多個(gè)圖元對(duì)象，再這些圖元對(duì)象中，可能存在CComboDraw類型的對(duì)象。整幅矢量圖形可以看成一個(gè)大的組合類型圖元對(duì)象，因此一幅矢量圖形用圖元對(duì)象表示，則是一棵樹型結(jié)構(gòu)，如圖7所示。

圖7 組合圖元的樹形結(jié)構(gòu)

6 實(shí)驗(yàn)與結(jié)論

本文在分析已有GIS與地圖制圖軟件設(shè)計(jì)地圖符號(hào)的基礎(chǔ)上，提出了線狀符號(hào)的數(shù)學(xué)定義，運(yùn)用Arc-GIS Engine和C＃，以線狀符號(hào)圖案周期性理論為依據(jù)，設(shè)計(jì)了一種面向?qū)ο蟮木€狀符號(hào)編輯器。在符號(hào)化過(guò)程中，解決了線狀符號(hào)填充時(shí)，拐點(diǎn)出現(xiàn)的符號(hào)交叉、重疊、斷裂、空白等失真現(xiàn)象，通過(guò)對(duì)線狀符號(hào)的填充、旋轉(zhuǎn)、變形、裁減等方法的處理，有效防止了失真現(xiàn)象，不僅解決了拐點(diǎn)超出扇形區(qū)域的問題，而且在視覺上達(dá)到了很好的效果，最重要的是解決了基本圖元重復(fù)計(jì)算的問題，提高了線狀地圖符號(hào)符號(hào)化的效率(圖8、圖9為符號(hào)圖元和線狀符號(hào)填充示意圖)。

圖8 符號(hào)圖元

圖9 線狀符號(hào)填充示意

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The Research of Mathematical Definition of Line Symbols and Its Application

Yang Tao1，2，Zhang JianFeng2
(1.School of Mathematics，Physics＆Software Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China；2.Lanzhou Institute of Survey and Investigation，Lanzhou 730030，China)

There are three topological mappings of f，g，q relation between mapping object x and map symbol qgf(x). On this basis，this paper analyses the characteristic of linear map symbol，gives the mathematical definition of semi－scale linear symbol，and describes the mathematical foundations of meta－data’s rotation，deformation and clipping to construct linear vector symbol.In the end，it is realized through object－oriented programming method and the experiment results show that it works well and has higher drawing quality.

cartographic symbol；linear symbol；mathematical definition；object－oriented

1672－8262(2011)02－53－04

P312

B

2010—07—28

楊濤(1984—)，男，碩士研究生，研究方向:GIS方面的研究和開發(fā)。