劉丹紅，許跟起

(天津大學(xué)理學(xué)院，天津 300072)

近年來，利用泛函分析方法研究各種隨機(jī)系統(tǒng)，以解決隨機(jī)建模中的適定性及穩(wěn)定性問題，成為目前研究的熱點問題．文獻(xiàn)[1-2]是較早的適定性研究報道，目前文獻(xiàn)[3-6]主要運用泛函分析方法來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在系統(tǒng)動態(tài)非負(fù)解存在唯一的基礎(chǔ)上，利用系統(tǒng)算子生成的 Banach空間中的正壓縮0C半群，來證明系統(tǒng)的動態(tài)非負(fù)解是系統(tǒng)算子的 0本征值對應(yīng)的非負(fù)本征向量，進(jìn)一步通過研究系統(tǒng)算子的譜特征，證明在邊界條件含有積分的情況下系統(tǒng)算子的譜點仍均位于復(fù)平面的左半平面且虛軸上除0外無譜，從而得到系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性．筆者研究的模型是Chung[7]提出的，考慮由 2個不同共因故障的 3個狀態(tài)部件的冗余系統(tǒng)和1個儲備部件組成的系統(tǒng)，儲備冗余性被廣泛用于提高系統(tǒng)的可靠性和可使用性，而共因故障是系統(tǒng)可靠性的關(guān)鍵問題之一，使用這種冗余系統(tǒng)能使具有共因故障系統(tǒng)的可靠性最大化，對這樣的系統(tǒng)做了大量的研究和改進(jìn)工作[8-10]．本文研究的系統(tǒng)顯然是適定的，筆者證明了初值條件下系統(tǒng)的動態(tài)解收斂到穩(wěn)態(tài)解，并對算子的譜做了進(jìn)一步研究，討論了系統(tǒng)動態(tài)解收斂于系統(tǒng)的定態(tài)解的收斂速度問題，并給出了系統(tǒng)可靠性條件．

筆者首先介紹了模型的基本假設(shè)及模型的方程表示，將所要研究的模型轉(zhuǎn)化成一個抽象發(fā)展方程，此模型顯然是適定的，這表明系統(tǒng)的動態(tài)解在范數(shù)意義下收斂到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解；然后，對算子的譜做進(jìn)一步研究，進(jìn)而討論系統(tǒng)動態(tài)解收斂于系統(tǒng)定態(tài)解的收斂速度問題；最后研究了系統(tǒng)可靠性條件．

1 模型的基本假設(shè)及模型的方程表示

模型的基本假設(shè)如下：

(1) 系統(tǒng)共因故障或其他故障具有統(tǒng)計獨立性；

(2) 共因故障只有在系統(tǒng)中有一個以上部件工作時才會發(fā)生；

(3) 所有的部件以及系統(tǒng)的共因故障率是常數(shù)；

(4) 系統(tǒng)的維修時間服從隨機(jī)分布；

(5) 只有當(dāng)系統(tǒng)(包括儲備系統(tǒng))故障時，系統(tǒng)的部件才會被維修，故障系統(tǒng)經(jīng)過維修跟新系統(tǒng)一樣；

(6) 儲備系統(tǒng)在初次使用時是全新的；

(7) 所有的部件都是不同的；

(8) 所有的部件在t＝0時處于工作狀態(tài)．

模型的方程表示為

2 將方程抽象成發(fā)展方程

假定系統(tǒng)的修復(fù)率μj( x) , j = 7 ,8是 L1局部有界函數(shù)，且滿足條件

在X中算子A的定義和定義域D(A)分別為

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本節(jié)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，證明系統(tǒng)在假定條件下存在非負(fù)穩(wěn)態(tài)解，然后表明系統(tǒng)的動態(tài)解在范數(shù)意義下收斂到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解．先求算子 A的共軛算子 A*的 表 達(dá) 式 ，設(shè) Q=(q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6,q7( x), q8( x) )，Q ∈ D(A*)，則 ( A P , Q ) =(P , A*Q )，由此得到A的共軛算子 A*的表達(dá)式

式中：q7(x)、q8(x)絕對連續(xù)；q7( x), q8( x) ∈ L∞(R+)．

定理1設(shè)空間X和算子A如上定義，則γ=0是A的本征值，且是簡單本征值．假定對任意的r∈R+

那么除了零點之外，虛軸上沒有A的譜點．

證明(1)0是A的本征值且對應(yīng)的本征向量P，對應(yīng)的本征空間是一維的．

考慮本征方程AP＝0

解微分方程得到

(2) 0也是 A*的本征值，對應(yīng)本征函數(shù) Q =(1,1,…,1)且對應(yīng)的本征空間也是一維的．

根據(jù)算子 A*的表達(dá)式直接驗證 Q = ( 1,1,…,1)∈D ( A*)是算子 A*對應(yīng)于 0的一個本征函數(shù)，且對應(yīng)的本征空間也是一維的．

通過上面的證明可以知道0是A的本征值，且對應(yīng)的本征空間是一維的，相應(yīng)的本征函數(shù)非負(fù)，0也是 A*的本征值，本征空間也是一維的，對應(yīng)的一個本征函數(shù)Q，且有 (, Q)≠0．因此，0是A的簡單本征值．

(3) 在式(7)條件下，虛軸上除了零點之外都是屬于預(yù)解集．

對 ? s ∈ R,s ≠ 0,?F ∈X ，考慮預(yù)解方程

4 譜的進(jìn)一步分析與定態(tài)解的指數(shù)穩(wěn)定性

從第3節(jié)結(jié)果可以看到，條件(7)滿足時，系統(tǒng)的動態(tài)解收斂于系統(tǒng)的定態(tài)解．本節(jié)將進(jìn)一步討論這種收斂的速度問題，這需要對算子 A的譜做進(jìn)一步的研究．為此，考察條件

5 系統(tǒng)的可靠性分析

6 結(jié) 語

研究了一個共因故障的冗余系統(tǒng)和一個儲備部件系統(tǒng)的可靠性．首先，在較一般條件下證明了系統(tǒng)的正解存在，從而表明系統(tǒng)模型的合理性．在修復(fù)率滿足一定條件下，證明了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解(或定態(tài)解) 存在，并且系統(tǒng)的動態(tài)解以指數(shù)形式收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解．結(jié)果表明：在修復(fù)強(qiáng)度較大的情況下，在有限時間就能看到系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)．這一結(jié)果在可靠性分析中對能看到穩(wěn)定狀態(tài)的時間進(jìn)行估計，并給出這一時間相應(yīng)的系統(tǒng)正常工作的概率估計，也可用于實際系統(tǒng)正常工作概率的預(yù)測.

符號說明：

i = 0—2個活動部件都處于工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

i = 1—部件 1在open故障方式，部件2正常工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

i = 2—部件2在open故障方式，部件1正常工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

i = 3—2個活動部件都在 open故障方式時的系統(tǒng)狀態(tài)；

i = 4—2部件處于 closed故障方式工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

i = 5—2個活動部件因共因故障工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

i = 6—儲備系統(tǒng)處于工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

i = 7—儲備系統(tǒng)在 closed故障方式而無法工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

i = 8—儲備系統(tǒng)在open故障方式而無法工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

j = 7—儲備系統(tǒng)在 closed故障方式而無法工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

j = 8—儲備系統(tǒng)在 open故障方式而無法工作時的系統(tǒng)狀態(tài)；

pi( t)—系統(tǒng)處于狀態(tài)i時的概率；

pj(x, t)—系統(tǒng)處于無法工作時的狀態(tài) j，并且已經(jīng)維修了x小時的概率密度；

μj( x)—系統(tǒng)處于無法工作時的狀態(tài) j，并且已經(jīng)維修了x小時的維修速率；

λok,λck—系統(tǒng)處于 open，closed故障方式時，部件 k 的故障速率常數(shù)，其中 k＝1，2，s；

λcc—共因故障損壞速率常數(shù)；

α—用儲備系統(tǒng)替換損壞的系統(tǒng)的速率常數(shù)．

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