侯正信，劉建忠，宋占杰，楊愛萍

(天津大學電子信息工程學院，天津 300072)

全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器設計

侯正信，劉建忠，宋占杰，楊愛萍

(天津大學電子信息工程學院，天津 300072)

基于一維全相位數(shù)字濾波器(APDF)，提出了通用的全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器設計方法. 該方法適用于抽取/內插矩陣為任意有理數(shù)情況，能夠保持奈奎斯特特性和零相位特性，可將一維APDF的優(yōu)良特性繼承到多維濾波器. 由一維 APDF的波紋和過渡帶參數(shù)，導出了結果濾波器的通帶、阻帶波紋和過渡帶向量的估算公式. 另外，研究了一種根據(jù)理想通帶參數(shù)尋找對應抽取/內插矩陣的方法，并給出了抽取/內插矩陣分別為整數(shù)和有理數(shù)時的2個實例.在濾波器長度相同的情況下，與傳統(tǒng)方法相比，所設計的全相位多維多抽樣率濾波器過渡帶略寬，但通帶波紋和阻帶波紋更小，阻帶衰減更大，具有良好的幅頻特性.

多維多抽樣率；有理數(shù)抽取/內插矩陣；加窗全相位；多維抽??；任意平行六面體

多維數(shù)字濾波器是多維多抽樣率信號處理[1]和多尺度幾何分析[2]的重要基礎.目前常用的多維濾波器設計方法主要有窗函數(shù)法[3]、McClellan變換法[4-5]和最優(yōu)化法[6-8].窗函數(shù)法由于截斷產生吉布斯效應，需要采用變化平滑的多維窗函數(shù)，這樣既增加了過渡帶寬度也不能徹底消除吉布斯效應.McClellan變換法是一種應用廣泛的多維濾波器設計方法，特別是關于二維濾波器的設計已經相當成熟[4]，但在設計更高維的濾波器時需要具備很多的對稱性約束條件，變換函數(shù)系數(shù)一般較難確定，目前研究高效靈活的高維McClellan變換仍是一個重要熱點[5].最優(yōu)化法包括Minmax最優(yōu)化方法[6]、SVD 方法[7]和頻域直接優(yōu)化法[8]等.但是設計 FIR濾波器時只滿足低性能要求的濾波器，高性能要求的濾波器設計需要很高的階數(shù).

文獻[9]闡述了一種由一維濾波器通過簡易變換衍生出多維多抽樣率濾波器的方法，具有一定的通用性，但是所設計的濾波器性能由一維原型濾波器決定.因此，如何找到性能優(yōu)良的一維原型濾波器是采用這種方法的關鍵.全相位數(shù)字濾波器(all phase digital filter，APDF)是一種新型的零相位濾波器，它采用重疊數(shù)字濾波的思想，有效地克服傳統(tǒng)頻域濾波對信號采用分段處理所產生的吉布斯效應，可分別基于 DFT 域[10]、WHT 域[11]和 DCT/IDCT 域[12]進行設計.文獻[13-14]分別推導了基于 DFT域和 IDCT域的一維加窗全相位濾波器的設計公式，通過加窗用稍寬的過渡帶換取了十分平坦的通帶和阻帶特性，改善了濾波器性能.目前，對于多維 APDF的設計還缺少系統(tǒng)的研究.文獻[15-16]討論了直接由二維列率矩陣設計某些具有特定頻率響應的不可分離二維 APDF，例如鉆石形、扇形濾波器等，但僅適用于設計不加窗(相當于加矩形窗)的APDF.若設計二維加窗APDF，由于窗函數(shù)的影響，不便直接由二維列率矩陣設計.本文提出一種通用的全相位多維多抽樣率濾波器的設計方法，可基于 DFT、WHT和 DCT/IDCT等不同變換域，設計具有任意平行六面體通帶區(qū)域的多維APDF.基于 IDCT域的一維加窗 APDF具有更好的幅頻特性[14]，因此，本文將其作為一維原型濾波器進行多維多抽樣率數(shù)字濾波器設計.

1 基于IDCT域的一維加窗全相位濾波

圖1 基于IDCT域加窗APDF的直接列率域實現(xiàn)Fig.1 Direct sequence realization of windowed APDF Fig.1 based on IDCT

2 全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器設計

2.1 多維多抽樣率數(shù)字濾波器

為防止M倍抽取引起的頻譜混疊，通常先用抽取濾波器對信號 x(n)濾波，然后再進行抽取.而M倍內插時，則需要將內插信號 y(n)通過內插濾波器，去除M倍內插產生的鏡像頻譜.因此，無論抽取還是內插，都需要一個多維抽取/內插濾波器，統(tǒng)稱為多維多抽樣率數(shù)字濾波器 H(ω)，具有平行六面體通帶區(qū)域[9]

2.2 與一維原型全相位數(shù)字濾波器的關系

2.3 抽取/內插矩陣H為任意有理數(shù)的情況

推廣整數(shù)抽取/內插矩陣M為非奇異有理數(shù)矩陣H，由于任何無理數(shù)矩陣都能夠用有理數(shù)矩陣來近似，S P D(π H-T)可以表示任意平行六面體形狀的通帶區(qū)域.

考慮一個多維理想低通濾波器 G (ω)，它具有通帶區(qū)域 S PD(π H-T)，亦即

2.4 設計步驟

總結第2.2和2.3節(jié)，設計通帶區(qū)域為 S PD(π H-T)的全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器有以下5個步驟.

3 結果濾波器性質分析

3.1 通帶、阻帶波紋和過渡帶

因為實際中濾波器 H(s)(ω)是非理想的，所以步驟(4)和(5)中多維抽取會造成通帶和阻帶的頻譜混疊.下面借鑒文獻[9，18]中的方法，討論通帶波紋、阻帶波紋和過渡帶向量的估算.假設一維原型濾波器P(ω)的通帶波紋δ1，阻帶波紋δ2.利用式(9)和式(10)易知，H(s)(ω)的通帶和阻帶的幅頻響應分別滿足

3.2 零相位特性

APDF可以有效地克服吉布斯效應，在時域滿足實偶對稱，是零相位數(shù)字濾波器的一個子集[10]，對應頻率響應亦為實偶對稱，沒有相位畸變，在圖像處理方面具有重要意義.假設一維原型濾波器 p (n)為APDF，則滿足 p (n) = p ( - n )，由式(10)可知 h(s)(n)=h(s)(- n).再進行多維抽取可得： g ( n) = c h(s)(Ln)=ch(s)( -Ln) = g (- n).因此，本文所設計的結果濾波器 g (n)也具有零相位特性.

3.3 保持奈奎斯特特性

奈奎斯特濾波器的脈沖響應 f (n)滿足條件：f(M n) = 0，n≠0，M為某一整數(shù)矩陣.這種濾波器也稱為M帶濾波器.作為內插濾波器時，奈奎斯特濾波器具有保持原有采樣值不變的優(yōu)點，沒有抽樣值之間的相互干擾.本文的設計方法可以保持奈奎斯特特性.更準確地說，假設一維原型濾波器 p (n)為奈奎斯特濾波器，即 p (J ( M ) n) = 0，n ≠ 0 .利用式(10)，得h(s)(J(M )n) = 0，n≠0.則h( M n ) =c0h(s)(Mn)=c0h(s)(J(M )n)=0，n≠0.因此，h(n)也是奈奎斯特(M帶)濾波器.此外，如果把奈奎斯特特性推廣到有理數(shù)情形：不論Hn是否為非零整數(shù)向量都滿足f( H n) = 0，即H帶特性.可以證明結果濾波器 g (n)同樣滿足奈奎斯特特性.

3.4 因果性

假設從一維因果濾波器 p (n)開始設計，式(10)所示的可分離多維濾波器 h(s)(n)顯然是因果濾波器(即當且僅當ni為非負值時，h(s)(n)為非零值).M?L抽取 h(s)(n)產生的結果濾波器 g (n)的因果性由抽取矩陣M?L決定.當且僅當矩陣(L)-1的所有元素為非負時，等價于矩陣H的所有元素為非負值，g(n)為因果濾波器.而對于含有負數(shù)元素的H矩陣，最后所得結果濾波器 g (n)不能保持因果不變性.

3.5 通用性

第 2.4節(jié)已經說明了如何根據(jù)抽取/內插矩陣 H設計全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器.但是實際設計濾波器時，有時僅給定通帶而非矩陣H.因此，需要研究利用理想通帶參數(shù)求取對應矩陣H的方法，以便設計各種濾波器.假設每一個平行六面體區(qū)域的通帶都可表示為

式中矩陣P的列向量可稱為生成向量.圖2顯示了二維平行六面體通帶區(qū)域及其生成向量 p0和 p1.對比式(28)和 S PD(π H-T)，若令

則矩陣 H即為所求矩陣.因此，本文設計方法具有廣泛的通用性.

圖2 二維平行六面體的生成向量Fig.2 Generating vectors of a 2D parallelepiped

4 設計實例和討論

4.1 H為整數(shù)矩陣

與本文方法進行對比，采用切比雪夫等波紋逼近方法設計與 PN(ω)具有相同長度的原型濾波器 P (ω)，最后所得的結果濾波器 H(ω) 如圖 5(c)、(d)所示.由圖 5可知，本文方法所設計的結果濾波器 H(ω)通帶和阻帶更加平坦，通帶波紋和阻帶波紋更小，通帶邊緣沒有明顯的吉布斯效應，阻帶衰減更大，但是過渡帶不如切比雪夫等波紋逼近法陡峭.

表 1中列出了本文方法和切比雪夫等波紋逼近方法設計時的一維原型濾波器和結果濾波器的通帶波紋、阻帶波紋和過渡帶等情況.由表1易知，2種方法所設計濾波器的實際值均小于按照式(22)、(23)和式(26)所計算的估計值.由圖 5和表 1可知，與傳統(tǒng)切比雪夫等波紋逼近方法相比，本文方法設計的加窗全相位多維多抽樣率濾波器過渡帶略寬，通帶特性十分平坦，阻帶具有更大的衰減，具有優(yōu)良的阻帶和通帶特性.

圖3 例1中濾波器H(ω)的理想通帶SPD(πH-T)Fig.3 Desired passband SPD(πH-T) of filter H(ω) in example 1

圖4 PN(ω)的幅度響應Fig.4 Magnitude response of PN(ω)

圖5 多維多抽樣率數(shù)字濾波器H(ω)的幅度響應Fig.5 Magnitude response of multidimensional multirate filters H(ω)

表1 例1中一維原型濾波器和結果濾波器的通帶波紋、阻帶波紋和過渡帶Tab.1 Passband and stopband ripples and transition band of 1D prototype and resulting filters in example 1

4.2 H為有理數(shù)矩陣

假設需要設計的濾波器 g (n)的理想通帶區(qū)域如圖 6灰色陰影部分所示，用 S PD(π H-T)表示，其中有理矩陣H及其左MFD為

圖6 例2中濾波器G(ω)的理想通帶SPD(πH-T)Fig.6 Desired passband SPD(πH-T) of filter G(ω) in Fig.6 example 2

圖7 例2中結果濾波器G(ω)的幅度響應Fig.7 Magnitude response of resulting filter G(ω) in design example 2

表2 例2中一維原型濾波器和結果濾波器的通帶波紋、阻帶波紋和過渡帶Tab.2 Passband and stopband ripples and transition band of 1D prototype and resulting filters in example 2

5 結 論

(1) 本文基于一維全相位數(shù)字濾波器(APDF)，提出了通用的全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器設計方法，適用于抽取/內插矩陣 H 為任意有理數(shù)的情況.該方法可以設計具有任意平行六面體通帶區(qū)域的濾波器，具有廣泛的通用性，豐富了多維多抽樣率數(shù)字信號處理理論.

(2) 所設計濾波器具有零相位不變性，可以保持奈奎斯特(M帶)特性，將一維 APDF的優(yōu)良特性繼承到多維濾波器.當矩陣H的所有元素為非負值時，所得的濾波器保持因果不變性.

(3) 利用一維 APDF的通帶、阻帶波紋和過渡帶，導出了結果濾波器的通帶、阻帶波紋和過渡帶向量的估算公式.研究了一種根據(jù)通帶參數(shù)尋找對應矩陣H的方法，以便設計各種濾波器.

(4) 與傳統(tǒng)設計方法相比，在濾波器長度相同的情況下，本文所設計的全相位多維多抽樣率濾波器過渡帶略寬，通帶波紋和阻帶波紋更小，阻帶衰減更大，具有更平坦的通帶和阻帶特性.

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Design of All Phase Multidimensional Multirate Digital Filter

HOU Zheng-xin，LIU Jian-zhong，SONG Zhan-jie，YANG Ai-ping
(School of Electronic Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A general method for designing all phase multidimensional(MD)multirate digital filter was presented based on one-dimensional(1D)all phase digital filter(APDF)，which is applicable to arbitrary rational decimation/expansion matrix. The resulting MD multirate filters inherit excellent properties，such as zero phase property and Nyquist constraint property，from 1D APDF. Their passband and stopband ripples and transition band vector were estimated in terms of the ripples and transition band of 1D prototype filter. Furthermore，a method of computing the corresponding matrix was studied according to the specifications of the ideal passband. Two design examples were given with integer and rational decimation/expansion matrix respectively. Under the condition of the same filter length，compared with traditional method，the resulting all phase MD multirate filters using the proposed method have better amplitude-frequency response characteristics. Except for slightly wider transition band，the pass band and stopband are much flatter with rather small ripples.

multidimensional multirate；rational decimation/expansion matrix；windowed all phase；multidimensional decimation；arbitrary parallelepiped

TN911.72

A

0493-2137(2011)04-0331-08

2010-01-20；

2010-08-18.

國家自然科學基金資助項目（61002027，60872161）.

侯正信（1945— ），男，教授，博士生導師，zhengxinhou@163.com.

劉建忠，ljzh@tju.edu.cn.