孫 倩，李樹忱，馮現(xiàn)大，李文婷，袁 超

（山東大學(xué) 巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心，濟南 250061）

1 引 言

巖石作為地質(zhì)作用的產(chǎn)物，是一種具有復(fù)雜力學(xué)性質(zhì)的非均質(zhì)材料。巖石介質(zhì)在變形破壞過程中一般會表現(xiàn)出很強的非線性特征[1]，物理和力學(xué)性質(zhì)隨著破壞的進行也會具有不可逆性，在這一不可逆過程中會產(chǎn)生各種形式的能量耗散。由熱力學(xué)定律可知，能量轉(zhuǎn)化是物質(zhì)物理過程的本質(zhì)特征，物質(zhì)破壞是能量驅(qū)動下的一種狀態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象。因此，研究并建立巖石破壞過程中的能量變化規(guī)律及其與強度和整體破壞之間的聯(lián)系，將更有利于反映外載作用下巖石強度變化與整體破壞的本質(zhì)特征[2]。

從最早引入勢能概念來定義材料損傷的 Huber到現(xiàn)在，已有眾多國內(nèi)外學(xué)者通過能量分析方法來描述巖石的變形破壞行為，并取得了巨大的進展[3－8]，其中大部分工作都集中在試驗和理論研究上，通過能量分析得到巖體的宏觀破壞行為。他們的研究都證明同樣的問題:材料的破壞主要是由內(nèi)部耗散引起的，并且是不可逆的，同時能量準則對于判斷材料破壞具有普遍意義。

巖石的破裂是一個由損傷逐漸加劇導(dǎo)致材料漸進劣化，微觀裂紋產(chǎn)生、擴展直到貫通的全過程。因此，從細微觀力學(xué)角度研究巖石破裂，分析巖石微小單元的損傷破壞規(guī)律，通過單元能量耗散和能量判別標準研究單元破壞，能夠系統(tǒng)完整地展現(xiàn)整個巖石破裂過程。目前最有代表性的應(yīng)變能破壞準則為畸變能密度理論（第4強度理論）[9]。這一理論對于塑性材料是種較好的強度理論，但它只適用于拉壓性質(zhì)相同的塑性材料，而對三向等值拉伸無能為力，因此，除了畸變能之外，還必須考慮體積變形能[10]。應(yīng)變能密度理論的應(yīng)用[11]可以綜合考慮上述問題，它把體積變形能密度與形狀改變能密度之和即應(yīng)變能密度作為材料破壞的準則。這一理論的優(yōu)點是對于復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)和加載條件，以及混合裂紋發(fā)展情況都能得到很好的應(yīng)用[12]。

根據(jù)上述分析，為了模擬巖石破裂的局部破壞以及微裂紋萌生發(fā)展乃至整個斷裂的全過程，考慮巖石的非線性破壞行為，參考文獻[13]采用雙線性應(yīng)變軟化本構(gòu)模型，通過應(yīng)變能密度理論和能量耗散原理建立了細觀單元巖石的損傷及破壞的能量判別準則。當某一單元所存儲的應(yīng)變能超過某固定值時，單元進入損傷狀態(tài)，根據(jù)應(yīng)變能密度的大小確定單元的損傷程度，損傷單元的材料屬性也隨之改變，直到變?yōu)榫哂幸欢堄鄰姸鹊膯卧τ谶M入損傷狀態(tài)的巖石單元，通過應(yīng)變能密度的能量破壞準則，判斷單元是否破壞。隨著荷載增加，破壞單元的數(shù)目逐漸增多，破壞單元相互連通形成宏觀裂紋，造成巖石試件的整體破裂。在數(shù)值模擬過程中，對到達應(yīng)力極限后損傷單元的彈性模量折減進行離散化處理。上述方法實現(xiàn)了利用線性計算完成非線性計算的過程，避免了數(shù)值計算在單元斷裂時的奇異性，模擬了巖石的峰后破裂行為。此計算方法利用Flac2D中的FISH語言開發(fā)了巖石破裂的計算程序，通過模擬巴西劈裂和中間裂隙拉伸試驗，表明該方法對于模擬巖石破裂過程的正確性和可行性。

2 應(yīng)變能密度理論

巖石破裂的方式受到很多因素的影響，比如加載類型、幾何結(jié)構(gòu)、材料性質(zhì)等。而應(yīng)變能密度理論可以綜合考慮這些因素。假定巖石是由許多微小的結(jié)構(gòu)單元組成的連續(xù)塊體，每個結(jié)構(gòu)單元包含單位體積的材料。當它在外力作用下發(fā)生變形時，單元內(nèi)部將儲存應(yīng)變能，這樣每個單元儲存的能量就稱之為應(yīng)變能密度(d/d)W V 。

不管單元體承受的是拉、壓或是剪應(yīng)力，應(yīng)變能密度都能夠綜合反映單元體各應(yīng)力分量的作用。在每一個給定時刻，每個單元能夠儲存的應(yīng)變能是有限的，不同位置單元體中儲存的應(yīng)變能也不相同。因此，可以通過材料體本身不同單元體能量的變化過程來評價材料體的破壞形態(tài)。

2.1 考慮應(yīng)變軟化的應(yīng)變能密度方程的確定

根據(jù)應(yīng)變能密度理論，在等溫條件下，每個單元體的應(yīng)變能密度方程可由下式表示:

上式表明，單元體內(nèi)儲存的應(yīng)變能密度由其應(yīng)力σij和應(yīng)變增量εdij的變形歷史決定。這一理論通過應(yīng)變能密度來判斷材料單元的屈服失效，并規(guī)定，當單元體吸收的全部應(yīng)變能等于單軸拉伸條件下發(fā)生斷裂時吸收的能量(d W/dV)c時，單元體就發(fā)生破壞。

這一理論表明，巖石在荷載作用下發(fā)生全局失穩(wěn)破壞之前，局部破壞和裂紋擴展就已經(jīng)發(fā)生，從而嚴重影響巖石結(jié)構(gòu)的宏觀破壞行為。巖石內(nèi)部微裂紋的穩(wěn)態(tài)擴展最終導(dǎo)致巖石的宏觀破裂。

巖石內(nèi)部的每一個單元體在變形破壞過程中會伴隨著能量的耗散，這一耗散過程造成材料的漸進損傷，導(dǎo)致材料性質(zhì)惡化和強度喪失[2]。材料的力學(xué)損傷可以用應(yīng)變軟化來描述?？紤]文獻[13]巖石單軸拉伸的雙線性應(yīng)變軟化本構(gòu)模型，即將巖石的單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡化為圖1。

巖石單元在外力作用下先發(fā)生彈性變形，在到達應(yīng)力極限點U后，沒有立即破壞，而是進入應(yīng)變軟化階段，材料開始損傷。如圖1所示，材料單元在到達A點時吸收的應(yīng)變能密度為應(yīng)力-應(yīng)變曲線包圍下的面積OUAC。如果在A點進行卸載，卸載路徑沿著線段AB返回，而新的加載路徑會沿著BAF進行。在這一卸載和重加載過程中，面積OUAB所代表的能量就耗散掉了。因此，材料單元吸收的應(yīng)變能密度可由以下兩部分組成:

圖1 雙線性應(yīng)變軟化應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.1 Bilinear softening stress-strain relation

式中:(d W/dV)d為耗散應(yīng)變能密度 OUAB；(d W/dV)e為可恢復(fù)應(yīng)變能密度BAC。

如果A點處于彈性段OU上，卸載將沿著加載路徑返回，材料不發(fā)生損傷。對于沒有發(fā)生損失的材料單元，其臨界應(yīng)變能密度(d W/dV)c等于面積OUF。而當材料單元發(fā)生損傷后，因為能量耗散的產(chǎn)生，損傷后殘余的臨界應(yīng)變能密度為單元卸載后可重新獲得的應(yīng)變能密度BAF，可用下式表示:

上式表明，單元耗散的應(yīng)變能密度越多，單元損傷越厲害，能夠承受的臨界應(yīng)變能密度越低。

通過以上分析可以看出，材料單元在外力作用下變形損傷越厲害，吸收的應(yīng)變能密度(d W/dV)越大，臨界應(yīng)變能密度越小。當(d W/dV)≥時，破壞開始產(chǎn)生。當(d W/dV)等于材料單元初始臨界應(yīng)變能密度(d W/dV)c（即面積OUF）時，單元完全斷裂，不再承受任何荷載。

上述巖石單元的雙線性本構(gòu)關(guān)系通過單軸拉伸試驗?zāi)軌蚝苋菀椎玫?。而一般巖石結(jié)構(gòu)則是處于復(fù)雜的外力作用下，內(nèi)部巖石單元同時受到拉、壓、剪應(yīng)力的共同作用，根據(jù)巖石單元的受力歷史得到其應(yīng)變能密度，其大小能夠綜合反應(yīng)單元的受力狀態(tài)，將其大小與單軸拉伸情況下不同階段的應(yīng)變能密度進行對比，可以判斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下巖石單元的損傷破壞情況。

2.2 能量耗散與損傷本構(gòu)

按照能量觀點，當巖石產(chǎn)生非彈性變形后，巖石所能承擔(dān)的非彈性變形能已大大降低，即巖石的本構(gòu)能已降低，這也是由于巖石微觀結(jié)構(gòu)發(fā)生變化而引起巖石性能劣化的一種表現(xiàn)[14]。巖石單元在到達應(yīng)力峰值點之后就進入了應(yīng)變軟化階段，產(chǎn)生了非彈性變形，材料的強度降低。定義材料單元的強度降低為彈性模量的折減，用等效彈性模量 E*表示。如圖2所示，隨著能量的損失，卸載峰值強度將從U點降到G、H、I……，等效彈性模量分別為E1*、E2*、E3*……En*。

圖2 能量耗散后的彈性模量折減Fig.2 The decrease of elastic modulus after energy dissipation

為了方便計算，將等效彈性模量進行離散處理，離散成20個不同的值:

由連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論的本構(gòu)關(guān)系[15]:

式中:E為無損巖石的彈性模量。

可以得到，本模型中巖石材料單元損傷參數(shù)D為

式中:n為材料單元損傷的程度。

當然上述對等效彈性模量的離散化處理，n取值越大，模擬結(jié)果越精密，但計算效率會大大降低，綜合考慮這2個因素，n取值為20已滿足要求。

由能量耗散原理，能量耗散與損傷和強度喪失直接相關(guān)，耗散量反映了原始強度衰減的程度[2]。由圖1和式（2）可以看出，到達應(yīng)力極限點后，巖石單元的應(yīng)變能密度越大，能量耗散越多，因此，通過應(yīng)變能密度作為巖石單元損傷和破壞的判別準則。

（1）當(d W/d V)＜(d W/d V)u= 1/2(σεuu)時，材料單元處于彈性階段，沒有發(fā)生損傷，等效彈性模量和臨界應(yīng)變能密度都為單元的初始值，即E*=E，=(d W/dV)c= 1/2(σuεf)。

（2）當(dW/dV) ≥(d W/dV)u時，材料單元開始進入損傷階段，用離散的等效彈性模量 E*(n)作為材料單元損傷后的彈性模量，n表示材料單元損傷的程度(0≤n≤20)，其取值由應(yīng)變能密度確定。由圖1也可以看出，進入損傷階段后，材料單元的臨界應(yīng)變能密度隨著(d W/dV) 增加而逐漸減少。

（4）當(dW/dV) ≥(dW/dV)c= 1/2(σεuf)時，由式（4）可知，材料單元的損傷程度 n=20，此時等效彈性模量和臨界應(yīng)變能密度全部為0，單元完全斷裂，失去承載能力。為了保持整個結(jié)構(gòu)計算模型的完整性和單元的連續(xù)性，不對單元進行挖去處理，而是給予材料單元一個很小的殘余模量=0.05E。

3 數(shù)值實現(xiàn)

采用FLAC2D有限差分數(shù)值軟件，根據(jù)上述理論建立巖石單元的損傷破壞方程，通過 FISH語言開發(fā)巖石破裂的計算程序。模型加載采取荷載控制分級加載方式，即依次在模型上累積增加等量微小荷載，每次計算平衡后，計算所有單元的應(yīng)變能密度，并根據(jù)上述應(yīng)變能密度判別準則判斷單元的損傷程度和破壞情況。在施加第1步荷載后，因荷載較小，所有單元都處于彈性階段，此時每個單元的應(yīng)變能密度為

設(shè)施加分級荷載至第i步，則此時每一個單元的應(yīng)變能密度為

當某一個單元的應(yīng)變能密度(d W/dV)＞(dW/d V)u= 1/2(σεuu)時，其損傷程度n為

其中，n取等式右邊結(jié)果的整數(shù)部分，n的取值范圍為0,1,2,…20。當0n=時，表明單元仍處于線彈性階段，沒有發(fā)生損傷；當20n=時，損傷值最大，表明單元完全斷裂，失去承載能力。同時單元的彈性模量E*由式（4）得到。

此時，單元耗散的應(yīng)變能密度為

因此，單元的臨界應(yīng)變能密度為

基于應(yīng)變能密度損傷本構(gòu)模型的計算流程見圖3。

4 巖石破裂的數(shù)值模擬

4.1 巴西劈裂數(shù)值模擬

本算例以文獻[16]中施加徑向集中荷載的巴西劈裂為例。計算模型見圖4，圓盤直徑D=50 mm，共劃分了7860個單元。模型材料采用文獻[16]中的大理巖，彈性模量E=66.8 GPa，泊松比v=0.33，密度ρ=2.62 g/cm3，單元拉伸極限應(yīng)力σu=20 MPa，極限應(yīng)力時應(yīng)變 εu= 1 .3× 10-5，發(fā)生斷裂時應(yīng)變εf=1× 10-4。模型頂部和底部分別施加y負方向和y正方向的荷載，荷載大小以2 kN遞增。

第1次施加2 kN荷載后，圓盤內(nèi)沒有損傷發(fā)生，各單元都處于線彈性階段，此時巴西圓盤內(nèi)部的應(yīng)力分布如圖 5所示，將其分布規(guī)律與文獻[16]中圓盤內(nèi)部應(yīng)力分布的理論結(jié)果進行對比，結(jié)果表明，模擬的應(yīng)力分布規(guī)律與理論分布基本吻合。

圖3 巖石破裂的數(shù)值模擬計算流程Fig.3 Calculation flow of numerical simulation of rock fracture

圖4 數(shù)值模型圖Fig.4 Numerical model

圖5 巴西圓盤內(nèi)部應(yīng)力分布對比Fig.5 Comparison of the stress distributions in Brazilian disc

隨著荷載的增加，各單元吸收的應(yīng)變能逐漸增加，記錄圓盤頂部中間單元的能量變化過程，如圖6所示，單元吸收的應(yīng)變能密度(d W/dV)從0逐漸增加，臨界應(yīng)變能密度從(d W/dV)c=1000逐漸減少，當兩者相交時，標志單元破壞。

圖6 單元應(yīng)變能密度隨荷載變化曲線Fig.6 Element’s strain energy density against load

從圖6看出，當計算到第7個荷載步，即施加荷載為14 kN時，圓盤頂部中間單元的(d W/dV)≥，表明圓盤兩端點處單元開始破壞。當計算到第15個荷載步，即施加荷載為30 kN時，試件由兩端的局部損傷破壞突然發(fā)展到試件中間完全貫穿破壞，同時圓盤兩端存在局部破壞區(qū)。試件加載到第7、12、14、15個荷載步時的破壞情況見圖7。

試件破壞時，各單元的損傷情況見圖 8，損傷值n通過單元的內(nèi)置變量ex_5表示（取值范圍為1～20）。從單元的損傷云圖中可以看出，圓盤中間貫穿破壞處各單元的損傷值都達到了最大值20，表明圓盤中間處單元已經(jīng)發(fā)生完全斷裂，失去承載能力。圓盤兩端除了一部分單元發(fā)生完全斷裂外，周邊單元也發(fā)生了不同程度的損傷。

圖8 巴西圓盤內(nèi)部各單元損傷情況Fig.8 Element’s damage distribution in Brazilian disc

文獻[17－19]均進行了施加徑向荷載的巴西圓盤試驗研究，結(jié)果表明，脆性巖石在劈裂過程中，由于施加荷載處產(chǎn)生應(yīng)力集中，圓盤兩端首先發(fā)生破壞，隨著荷載的繼續(xù)增加，并最終沿著圓盤的中間產(chǎn)生貫穿破壞，同時圓盤兩端加載點處出現(xiàn)破壞扇形區(qū)。圖 9給出了文獻[17]中大理石在兩種墊條方式下劈裂破壞的素描圖。對比圖7與圖9可以看出，本文數(shù)值計算模擬的結(jié)果與文獻中的試驗結(jié)果能夠很好地吻合，說明本文方法模擬巖石破裂的正確性。

圖9 大理石巴西劈裂試驗結(jié)果[17]Fig.9 The test results of Brazilian splitting for marble

4.2 內(nèi)置裂隙拉伸試驗數(shù)值模擬

本算例以文獻[20]中內(nèi)置裂隙拉伸試驗為例。計算模型見圖10。試件尺寸50 mm×100 mm，內(nèi)置裂隙長為20 mm，厚為0.8 mm，共劃分了9772個單元。試件材料為類巖石的砂漿材料，彈性模量E=5.17 GPa，泊松比v=0.192，密度ρ=2.30 g/cm3，單元拉伸極限應(yīng)力σu=2.7 MPa，極限應(yīng)力時應(yīng)變εu= 5 .8× 10-4，發(fā)生斷裂時應(yīng)變 εf= 7 × 10-4。模型頂部和底部分別施加均勻的拉伸荷載，荷載大小以100 N遞增。

圖10 數(shù)值模型圖Fig.10 Numerical model

經(jīng)計算得到以下結(jié)果，在拉伸荷載作用下裂紋尖端發(fā)生應(yīng)力集中，當計算到第4個荷載步，即荷載為400 N時，裂紋兩端的單元開始發(fā)生破壞。圖11為裂紋左端第1個單元的應(yīng)變能密度隨荷載變化的情況，從圖中可以看出，在第 4荷載步時(d W/dV) ≥，表明單元破壞。

圖11 單元應(yīng)變能密度隨荷載變化曲線Fig.11 Element’s strain energy density against load

當計算到第5個荷載步，即荷載為500 N時，試件突然沿著裂紋方向向兩邊發(fā)生貫穿破壞。模型在計算到第4、5個荷載步時的破壞情況見圖12。

圖12 內(nèi)置裂隙拉伸試驗單元破壞過程Fig.12 Failure process of center cracked tensile test

試件破壞時，各單元的損傷情況見圖13，從單元的損傷云圖可以看出，裂紋尖端周圍因為應(yīng)力集中各單元產(chǎn)生了不同程度的損傷；裂紋兩端延伸到模型邊緣的一系列單元損傷值都達到了20，表明試件沿裂紋所在斷面發(fā)生了完全斷裂。

圖13 試件內(nèi)部各單元損傷情況Fig.13 Element’s damage distribution in specimen

文獻[20]在剛性伺服試驗機上對預(yù)制不同裂隙傾角的砂漿材料進行了單軸拉伸試驗。試驗結(jié)果表明，當拉應(yīng)力達到一定程度后，預(yù)制裂紋開始起裂，然后迅速擴展，導(dǎo)致試件的整體破壞。當裂隙為水平（即裂隙傾角=α90°）時，在裂紋前緣產(chǎn)生翼裂紋，并且沿著原裂紋方向擴展，直至試件拉斷，最終斷裂跡線與軸向拉應(yīng)力方向垂直，且斷裂面較平整。圖14為文獻[20]中水平裂隙的拉伸破壞圖。通過圖12與圖14對比可見，本文數(shù)值計算模擬的內(nèi)置裂隙拉伸試驗破壞過程和損傷情況與試驗結(jié)果基本吻合，說明了本文方法模擬巖石破裂的正確性和可行性。

圖14 水平裂隙拉伸試驗結(jié)果[20]Fig.14 The test results of horizontal cracked tensile test

5 結(jié) 論

（1）從細觀力學(xué)角度出發(fā)，采用拉伸雙線性應(yīng)變軟化本構(gòu)模型，分析巖石單元到達應(yīng)力極限點后的能量損傷演化過程，并通過應(yīng)變能密度理論與能量耗散原理建立單元破壞的判斷準則，這一方法能夠很好地模擬巖石損傷破壞的全過程。

（2）巖體單元的應(yīng)變能密度，根據(jù)每次施加荷載后單元吸收能量的大小依次累加獲得，同時對損傷單元的彈性模量折減進行離散化處理，從而實現(xiàn)線性計算完成非線性計算；對于損傷達到最大值的單元（即認為發(fā)生完全斷裂），賦予一個很小的殘余彈性模量，通過連續(xù)計算來實現(xiàn)巖石的非連續(xù)破裂行為，避免了數(shù)值計算在單元斷裂時的奇異性。

（3）通過巴西劈裂和內(nèi)置裂隙拉伸試驗的數(shù)值模擬，表明運用上述方法能夠很好地模擬巖石從局部破壞到整體破裂的全過程，并且可以得到破壞過程中巖石內(nèi)部各單元的損傷演化過程。

（4）從能量角度研究巖石破裂，更能全面體現(xiàn)巖石強度變化與整體破壞的本質(zhì)特征。本文通過FLAC中的 FISH語言開發(fā)了巖石破裂的數(shù)值計算程序，與理論和解析方法相比，該方法具有更廣闊的應(yīng)用前景，可直接求解各種復(fù)雜問題。

[1] 蔡美峰. 巖石力學(xué)與工程[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2002.

[2] 謝和平,鞠楊,黎立云. 基于能量耗散與釋放原理的巖石強度與整體破壞準則[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2005,24(17): 3003－3010.XIE He-ping,JU Yang,LI Li-yun. Criteria for strength and structural failure of rocks based on energy dissipation and energy release principles[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005,24(17): 3003－3010.

[3] MIKHALYUK A V,ZAKHAROV V V. Dissipation of dynamic-loading energy in quasi-elastic deformation processes in rocks[J]. Applied Mechanics and Technical Physics,1997,38(2): 312－318.

[4] STEFFLER E D,EPSTEIN J S,CONLEY E G. Energy partitioning for a crack under remote shear and compression[J]. Int. J. Fracture,2003,120: 563－580.

[5] 尤明慶,華安增. 巖石試樣破壞過程的能量分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2002,21(6): 778－781.YOU Ming-qing,HUA An-zeng. Energy analysis of failure process of rock specimens[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2002,21(6): 778－781.

[6] 謝和平,彭瑞東,鞠楊. 巖石變形破壞過程中的能量耗散分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2004,23(21): 3565－3570.XIE He-ping,PENG Rui-dong,JU Yang. Energy dissipation of rock deformation and fracture[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(21): 3565－3570.

[7] 潘岳,王志強,李愛武. 巖石失穩(wěn)破裂的綜合剛度和綜合能量準則[J]. 巖土力學(xué),2009,30(12): 3672－3676.PAN Yue,WANG Zhi-qian,LI Ai-wu. Comprehensive rigidity and comprehensive energy[J]. Rock and Soil Mechanics,2009,30(12): 3672－3676.

[8] 張安康,陳士海,杜榮強,等. 巖石類材料的能量基率相關(guān)彈塑性損傷模型[J]. 巖土力學(xué),2010,31(增1): 207－215.ZHANG An-kang,CHEN Shi-hai,DU Rong-qiang,et al.Energy-based elastoplastic damage model for rock materials with strain rate effects[J]. Rock and Soil Mechanics,2010,31(Supp.1): 207－215.

[9] 劉鴻文. 材料力學(xué)(上冊)[M]. 北京: 高等教育出版社,1999.

[10] 余熙瑩. 對于第四強度理論的修正[J]. 廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2002,27(增): 63－69.YU Xi-ying. The revision of the fourth strength theorem[J]. Journal of Guangxi University(Natural Science),2002,27(Supp.): 63－69.

[11] LI Q M. Strain energy density failure criterion[J].International Journal of Solids and Structures,2001,38: 6997－7013.

[12] GDOUTS E E. Problems of mixed mode crack propagation[M]. [S. l.]: Martinus Nijhoff Publ,1982.

[13] 王學(xué)濱,海龍,黃梅. 巖樣單軸拉伸損傷不均勻性分析——第一部分: 基本理論[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2004,23(9): 1446－1449.WANG Xue-bin,HAI Long,HUANG Mei. Inhomogeneity analysis of damage under uniaxial tension(I):——Basic theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(9): 1446－1449.

[14] 金豐年,蔣美蓉,高小玲. 基于能量耗散定義損傷變量的方法[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2004,23(12): 1976－1980.JIN Feng-nian,JIANG Mei-rong,GAO Xiao-ling.Defining damage variable based on energy dissipation[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(12): 1976－1980.

[15] 李兆霞. 損傷力學(xué)及其應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2002: 16－19.

[16] JIANHONG YE,WU F Q,SUN J Z. Estimation of the tensile elastic modulus using Brazilian disc by applying diametrically opposed concentrated loads[J]. International Journal of Rock Mechanics &Mining Sciences,2009,46: 568－576.

[17] 楊同,王寶學(xué),孫林. 墊條方式對巖石劈裂試驗的影響分析[J]. 勘察科學(xué)技術(shù),2002,(1): 3－7.YANG Tong,WANG Bao-xue,SUN Lin. Effects of various spacer methods for rock split tests[J]. Site Investigation Science and Technology,2002,(1): 3－7.

[18] HUDSON J A,BROWN E T,RUMMEL F. The controlled failure of rock discs and rings loaded in diametral compression[J]. Int. J. Rock Mech. Min. Sci.,1972,9: 241－248.

[19] MARKIDES C H F,PAZIS D N,KOURKOULIS S K.Closed full-field solutions for stresses and displacements in the Brazilian disk under distributed radial load[J].International Journal of Rock Mechanics &Mining Sciences,2010,47: 227－237.

[20] 楊磊. 巖體三維裂隙拉伸斷裂機理的試驗與數(shù)值模擬研究[碩士學(xué)位論文D]. 濟南: 山東大學(xué),2008.