李興山，蔡光起

(1.沈陽(yáng)理工大學(xué)機(jī)械學(xué)院，沈陽(yáng) 110168;2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110004)

0 引言

并聯(lián)機(jī)床是基于空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的新型數(shù)控加工設(shè)備，具有剛度質(zhì)量比大，承載能力大響應(yīng)速度快，易于控制及可重組等優(yōu)點(diǎn)，成為數(shù)控機(jī)床的發(fā)展趨勢(shì)。但在工作空間數(shù)控軸數(shù)比、性能價(jià)格比等綜合性能方面，并聯(lián)機(jī)床有其不足之處。而并、串聯(lián)同時(shí)采用的混聯(lián)式數(shù)控機(jī)床結(jié)合了并聯(lián)機(jī)構(gòu)和傳統(tǒng)機(jī)床的串聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，更具實(shí)用價(jià)值。而少自由度的混聯(lián)數(shù)控機(jī)床更是以其機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單，驅(qū)動(dòng)容易，精度高等優(yōu)點(diǎn)，成為國(guó)內(nèi)外研究的新熱點(diǎn)［1-4］。

并聯(lián)機(jī)床的精度是并聯(lián)機(jī)床能否投入工業(yè)運(yùn)行的關(guān)鍵指標(biāo)。目前，受制于動(dòng)平臺(tái)位姿信息的動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)方法和手段的不足，因而無(wú)法實(shí)現(xiàn)全閉環(huán)控制。因此通過(guò)誤差分析改善機(jī)床的精度就顯得格外重要。通過(guò)誤差分析，可以獲得多個(gè)誤差因素對(duì)機(jī)床總精度影響的程度，從而明確提高精度的重點(diǎn)和方向，為改善并聯(lián)機(jī)床的設(shè)計(jì)品質(zhì)提供準(zhǔn)確可靠的依據(jù)。本文通過(guò)對(duì)東北大學(xué)三自由度混聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)誤差的研究，采用矩陣分析的方法，建立了機(jī)構(gòu)誤差的數(shù)學(xué)模型，分析了驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度誤差及鉸鏈點(diǎn)誤差的影響，并對(duì)其在工作空間內(nèi)的分布情況進(jìn)行了研究。

1 混聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)

混聯(lián)機(jī)床的結(jié)構(gòu)如圖1所示，該機(jī)構(gòu)由固定平臺(tái)、運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、三桿平行機(jī)構(gòu)，驅(qū)動(dòng)桿及水平滑塊等組成。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與固定平臺(tái)為三角形，兩驅(qū)動(dòng)桿通過(guò)虎克鉸分別與固定平臺(tái)及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連，由電機(jī)驅(qū)動(dòng)的絲杠帶動(dòng)滑塊水平移動(dòng)。伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)兩 根驅(qū)動(dòng)桿進(jìn)行伸縮，通過(guò)改變各驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度，可以調(diào)整運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置。三桿平行機(jī)構(gòu)兩端分別通過(guò)虎克鉸與滑塊及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連。整個(gè)機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度和水平滑塊的行程，帶動(dòng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在其工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)。由于三桿平行機(jī)構(gòu)的存在，約束運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)固定平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此該機(jī)構(gòu)具有三個(gè)平移自由度。

圖1 混聯(lián)機(jī)床三維實(shí)體模型

2 誤差模型的建立

并聯(lián)機(jī)床的精度是衡量并聯(lián)機(jī)床工作性能和品質(zhì)的重要指標(biāo)之一，它是使并聯(lián)機(jī)床達(dá)到運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性和控制的精確性的前提和基礎(chǔ)。由于影響活動(dòng)平臺(tái)位置誤差的因素是多樣的，而且產(chǎn)生的誤差是它們綜合作用的結(jié)果，這些因素對(duì)活動(dòng)平臺(tái)的作用過(guò)程也是極其復(fù)雜的。所以，在研究本并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)，近似地認(rèn)為每個(gè)因素對(duì)活動(dòng)平臺(tái)位置誤差地影響具有相對(duì)的獨(dú)立性［5］。由圖2，可將對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的研究簡(jiǎn)化為對(duì)四面體AA＇EF的研究。

圖2 混聯(lián)機(jī)床的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

由于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)只做平動(dòng)，可以不考慮姿態(tài)的因素。因此，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置可以表示為:

式中:li——驅(qū)動(dòng)桿的移動(dòng)關(guān)節(jié)向量;

ri——固定平臺(tái)的虎克鉸的關(guān)節(jié)向量;

si——運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的虎克鉸的關(guān)節(jié)向量。

對(duì)式(1)進(jìn)行微分，則運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差可以表示為:

Δe1——驅(qū)動(dòng)桿的行程誤差引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差。

Δe2——固定平臺(tái)虎克鉸的間隙引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差。

Δe3——運(yùn)動(dòng)平臺(tái)虎克鉸的間隙引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差。

2.1 驅(qū)動(dòng)桿行程誤差引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差

則其運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差與驅(qū)動(dòng)器行程誤差之間關(guān)系為:

其中:J為雅克比矩陣，即誤差的傳遞函數(shù)。求解式(4)，驅(qū)動(dòng)桿行程誤差的顯式解為:

2.2 虎克鉸的間隙引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差

鉸鏈的間隙對(duì)機(jī)床的位置精度有重要的影響。根據(jù)誤差的獨(dú)立作用原理，機(jī)構(gòu)的位置誤差是各原始誤差獨(dú)立作用的疊加。因此，可以將多個(gè)虎克鉸的間隙引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的誤差看作單一虎克鉸的位置誤差的疊加。由文獻(xiàn)［6］可知:

i=1，2分別代表驅(qū)動(dòng)桿1和桿2，i=3時(shí)代表平行機(jī)構(gòu)。

其中:Δe2i:為i桿兩端鉸鏈點(diǎn)位置誤差引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差，Δpri:為i桿固定平臺(tái)上鉸鏈點(diǎn)的位置誤，Δpsi:為i桿運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上鉸鏈點(diǎn)的位置誤差。

對(duì)式(6)求解可得虎克鉸位置誤差的顯式解為:

3 誤差分析

假設(shè)忽略另兩個(gè)驅(qū)動(dòng)器的影響，而只考慮某一驅(qū)動(dòng)器對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響時(shí)，便可獲得每個(gè)驅(qū)動(dòng)器對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響程度。即當(dāng)Δl=［0.01，0，0］T、Δl= ［0，0.01，0］T、Δl= ［0，0，0.01］T，b=0.8m，c=0.6m，在 z=0.65m 的平面內(nèi)，驅(qū)動(dòng)桿行程誤差及虎克鉸的間隙對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響如圖3、圖4所示。由圖3可以看出，隨著X的增加，驅(qū)動(dòng)桿1和驅(qū)動(dòng)桿2的桿長(zhǎng)誤差引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)X方向的位置誤差，具有相反的變化趨勢(shì);而滑塊幾乎不對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)X方向的位置誤差產(chǎn)生影響。隨著Y的增加，驅(qū)動(dòng)桿和滑塊對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Y方向的位置誤差的影響逐漸減小，其中滑塊的影響要大于兩伸縮桿產(chǎn)生的影響。在整個(gè)工作空間的內(nèi)部其誤差值較小，而在邊緣處誤差值較大。

在圖4中可以看出，伸縮桿鉸鏈點(diǎn)誤差引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差在工作空間的邊緣處較大，而在內(nèi)部較小。由平行機(jī)構(gòu)鉸鏈點(diǎn)誤差引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差在工作空間的邊緣處較小，而在內(nèi)部較大。由于工作空間的內(nèi)部為其主工作區(qū)，所以平行機(jī)構(gòu)鉸鏈點(diǎn)誤差不容忽視。另外，從圖中還可以看出，平行機(jī)構(gòu)的鉸鏈點(diǎn)引起的位置誤差，其在整個(gè)空間內(nèi)變化比較均勻;而兩伸縮桿的變化卻存在著突變。從誤差的補(bǔ)償角度看，平行機(jī)構(gòu)的鉸鏈點(diǎn)引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差變化較平穩(wěn)，且其上端鉸鏈點(diǎn)與滑塊相連，而滑塊具有較好可控性。所以，通過(guò)對(duì)滑塊的誤差補(bǔ)償，可極大的降低鉸鏈點(diǎn)誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種混聯(lián)機(jī)構(gòu)新構(gòu)型，在Solidworks環(huán)境下建立其三維實(shí)體模型。通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差模型的求解，獲得其顯式解。針對(duì)驅(qū)動(dòng)桿行程誤差及虎克鉸間隙誤差引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置誤差，在工作空間內(nèi)的進(jìn)行了仿真和分析。研究結(jié)果表明:驅(qū)動(dòng)桿1和驅(qū)動(dòng)桿2的桿長(zhǎng)誤差引起的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)X方向的位置誤差，具有相反的變化趨勢(shì);而滑塊幾乎不對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)X方向的位置誤差產(chǎn)生影響。平行機(jī)構(gòu)的鉸鏈點(diǎn)引起的位置誤差，其在整個(gè)空間內(nèi)變化比較均勻，與之相連的滑塊成為誤差補(bǔ)償研究的方向。

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