劉雪梅

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

相應(yīng)于一類(lèi)冪零李代數(shù)的頂點(diǎn)代數(shù)結(jié)構(gòu)

劉雪梅

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

頂點(diǎn)代數(shù)和頂點(diǎn)算子代數(shù)在物理學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此對(duì)其研究也有很大的實(shí)際意義。主要從有限維冪零李代數(shù)g出發(fā)，給出了g帶有非退化對(duì)稱(chēng)不變雙線(xiàn)性函數(shù)的條件，并構(gòu)造了相應(yīng)于g的一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，從同構(gòu)的意義上證明了其滿(mǎn)足頂點(diǎn)代數(shù)的條件，從而給出了一個(gè)新的頂點(diǎn)代數(shù)結(jié)構(gòu)。

頂點(diǎn)代數(shù)；有限維冪零李代數(shù)；非退化對(duì)稱(chēng)；不變雙線(xiàn)性函數(shù)

頂點(diǎn)代數(shù)和頂點(diǎn)算子代數(shù)的概念最早給出于1 9 8 6年和1 9 8 8年，由于其在物理學(xué)中的廣泛應(yīng)用，引起了數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界的高度重視。R.E.B o r c h e r d s因在頂點(diǎn)代數(shù)及其相關(guān)領(lǐng)域的杰出貢獻(xiàn)在1 9 9 8年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上獲得菲爾斯獎(jiǎng)，迄今為止已獲得經(jīng)典的頂點(diǎn)（算子）代數(shù)及其表示理論，以及概念的完備公理體系及其等價(jià)性質(zhì)，但現(xiàn)有的應(yīng)用已知的代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)造出的頂點(diǎn)代數(shù)的實(shí)例并不多[1-3]，本文先證明了一類(lèi)有限維冪零李代數(shù)帶有非退化對(duì)稱(chēng)不變雙線(xiàn)性函數(shù)的條件，在此基礎(chǔ)上給出了相應(yīng)于此類(lèi)有限維冪零李代數(shù)的一個(gè)頂點(diǎn)代數(shù)結(jié)構(gòu)。

1 頂點(diǎn)代數(shù)的基本概念

從文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]中引入以下符號(hào)和定義。

令 Z+、Z-、Z、N、C 分別表示正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、整數(shù)、非負(fù)整數(shù)和復(fù)數(shù)集。

設(shè)V是C上的向量空間，定義稱(chēng)V[[x，x-1]]為形式羅朗級(jí)數(shù)向量空間。

稱(chēng)V[[x]]為非負(fù)形式羅朗級(jí)數(shù)的向量空間。

稱(chēng)V[x，x-1]為羅朗多項(xiàng)式環(huán)。

定義1 設(shè)V是復(fù)數(shù)域C上的向量空間，如果存在一個(gè)線(xiàn)性映射

其中vn∈End（V），n∈Z，并且滿(mǎn)足下列條件：

1）對(duì)于任意的u，v∈V，當(dāng)n充分大時(shí)有unv=0。即 Y（u，x）v ∈ V（（x））（截頭條件）。

2）V 中存在一個(gè)向量，記為 1，滿(mǎn)足：Y（1，x）=1V，稱(chēng)1為真空向量（真空性質(zhì)）。

4）對(duì)任意的 u，v∈ V，有

引理1 令V是一個(gè)向量空間，1∈V，設(shè)T是V的子集，并存在一個(gè)線(xiàn)性映射

其中a是T中任意元，那么Y0能被唯一擴(kuò)充成從V到 Hom（V，V（（x）））的線(xiàn)性映射 Y，滿(mǎn)足（V，Y，1）具有一個(gè)頂點(diǎn)代數(shù)結(jié)構(gòu)，頂點(diǎn)算子映射Y由以下形式給出

2 帶有雙線(xiàn)性函數(shù)的冪零李代數(shù)

從文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]中，引入以下結(jié)論。

引理2 設(shè)g是復(fù)數(shù)域上的有限維冪零李代數(shù)，g的元素集合S={x1，x2，…，xl}稱(chēng)為g的一個(gè)極小生成元系當(dāng)且僅當(dāng)

若 g是冪零李代數(shù)，記 g1=g，gk=[g，gk-1]，k=2，3，…。使得gN+1=0，gN≠0的正整數(shù)N稱(chēng)為g的冪零指數(shù)。由 gN+1=[g，gN]=0，知 gN?C（g），C（g）是 g 的中心。

任取 g 的極小生成元系 S={x1，x2，…，xl}，記稱(chēng)其為j次單項(xiàng)。用J a c o b i等式不難證明g中的每一個(gè)元素都可以表示成有限個(gè)單項(xiàng)的線(xiàn)性組合。令

稱(chēng) gj，j=1，2，…，N 是 g 的 j次齊次子空間。且有

是子空間的和，顯然有

其中g(shù)k=0，當(dāng)k>N 時(shí)，gN=gN。

定義2冪零指數(shù)是N的有限維冪零李代數(shù)g稱(chēng)為可階化的，如果（*）式為子空間的直和。

定義3 冪零李代數(shù)g稱(chēng)為不可分解的，如果g不是非零理想的直和。

設(shè)g是一個(gè)有限維復(fù)李代數(shù)，（x，y）是定義在g上的對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)，如果對(duì)?x，y，z∈g，有

則稱(chēng)此雙線(xiàn)性函數(shù)滿(mǎn)足不變性。

定理1 設(shè)g是不可分解，可階化有限維復(fù)冪零李代數(shù)，型為 l，冪零指數(shù)為 N，C（g）是 g 的中心，S={x1，x2，…，xl}是 g 的一個(gè)極小生成元系，g 關(guān)于 S 的齊次子空間的直和分解為g=g1+g2+…+gN，若滿(mǎn)足：

1）C（g）=gN，且 d i mgN=l；

2）存在 gN的基{y1，y2，…，yl}，對(duì) gN中任意由 N 次單項(xiàng)構(gòu)成的基{μ1，μ2，…，μl}，由{y1，y2，…，yl}到{μ1，μ2，…，μl}的過(guò)渡矩陣Au=（aij）具有以下性質(zhì)，即對(duì)表達(dá)式μj=[xj11，xj2，…，xjN]=a1jy1+… +aijyi+… +aljyl中，如果[xi，xj1]=0，對(duì) xi∈S，則 aij=0。那么 g 帶有非退化不變對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)。

證明：已知 S={x1，x2，…，xl}是 g1的基，取定 gN的由 N 次單項(xiàng)構(gòu)成的基{μ1，μ2，…，μl}，已知 μj=a1jy1+… +aijyi+… +aljyl，j=1，2，…l。對(duì)?xi∈S，定義 g1+gN上的對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)（x，y）如下：

當(dāng)i+j≠N+1時(shí)，規(guī)定（gi，gj）=0，對(duì)i用數(shù)學(xué)歸納法可在上gi+gN+1-i遞歸的定義（x，y）且易證這樣定義的（x，y）是g上的非退化對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)。

3 相應(yīng)于g的頂點(diǎn)代數(shù)結(jié)構(gòu)

定義4 設(shè)g是上述帶有非退化對(duì)稱(chēng)不變雙線(xiàn)性函數(shù)（，）的冪零李代數(shù)，令

其中C[t，t-1]是 t的羅朗多項(xiàng)式環(huán)，c是的中心，如下定義的李積運(yùn)算

由PBW定理知：

定理2V（l，0）是一個(gè)頂點(diǎn)代數(shù)。

證明：定義映射π∶g→V（l，0），π（a）=a（-1）1，則在映射π下，g作為V（l，0）的子集，由引理1，令V=V（l，0），T=g，Y0（a，x）=Y0（a（-1）1，x）=a（x），a∈g，則V（l，0）是一個(gè)頂點(diǎn)代數(shù)。

[1]劉雪梅.相應(yīng)于一類(lèi)對(duì)稱(chēng)自對(duì)偶李代數(shù)的頂點(diǎn)代數(shù)結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2 0 0 9，3 9：1 7 5-1 7 8.

[2]劉雪梅，李 立.素特征域上的頂點(diǎn)代數(shù)結(jié)構(gòu)[J].中國(guó)民航大學(xué)學(xué)報(bào)，2 0 0 7，2 5：6 2-6 4.

[3]LEPOUSKY J，H-S LI. Introduction to Vertex Operator Algebra andTheir Representation[M].Boston：Progress in Math，2003.

[4]ADAMOVI D. Vertex operator algebras and irreducibility of certainmodules for affine Lie algebras [J] . Math Res Lett，1997，4：809-821.

[5]JACOBSON N. Lie Algebras Interscience Publishers[M]. Shanghai:Shanghai Sci and Tch Publishers，1964.

[6]王書(shū)琴.一類(lèi)帶有非退化不變對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)的冪零李代數(shù)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2 0 0 0，4 3：5 6 1-5 6 8.

Vertex Algebra Associated with a Class of Nilpotent Lie Algebras

LIU Xue-mei
（Science College， CAUC， Tianjin 300300， China）

Let g be a nilpotent Lie algebra， in this paper， proves conditions for of a class nilpotent Lie algebra with symmetric， invariant， non-degenerate bilinear from and a vertex algebra associated to g is presented.

Vertex algebra； Nilpotent Lie algebra； non-degenerate symmetric； invariant bilinear from

O152.5

A

1674－5590（2010）02－0059－03

2009-00-00；

2010-00-00 基金項(xiàng)目：中國(guó)民航大學(xué)科研基金（2010kys04）

劉雪梅（1977—），女，黑龍江省呼蘭人，講師，理學(xué)碩士，研究方向?yàn)槔畲鷶?shù)與頂點(diǎn)代數(shù).

（責(zé)任編輯：李 侃）