許 宏， 張 怡， 王 凌， 陳錫愛(ài)

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院，浙江杭州 310018)

0 引言

在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中，無(wú)刷直流電機(jī)(Brushlss DC Motor，BLDCM)因其體積小、重量輕、效率高、慣量小和控制精度高，同時(shí)還保留了普通直流電動(dòng)機(jī)優(yōu)良的機(jī)械特性等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。本文在分析BLDCM數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，建立控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)速電流雙閉環(huán)的計(jì)算機(jī)仿真模型，由于系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中存在摩擦負(fù)載的作用，常規(guī)PID控制雖原理簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、魯棒性強(qiáng)，但其難以對(duì)摩擦負(fù)載中的強(qiáng)非線性系統(tǒng)進(jìn)行有效控制，而模糊控制可以對(duì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)進(jìn)行有效控制，具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力。基于以上原因，本文提出了基于Stribeck摩擦模型的模糊PID控制，既能實(shí)現(xiàn)精確控制，又有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力，更有效地實(shí)現(xiàn)人的控制策略。

1 永磁BLDCM數(shù)學(xué)模型

本文以兩相導(dǎo)通星形三相六狀態(tài)為例，分析BLDCM的數(shù)學(xué)模型及電磁轉(zhuǎn)矩等特性。為了便于分析，假定:

(1)三相繞組完全對(duì)稱，氣隙磁場(chǎng)為方波，定子電流、轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)分布皆對(duì)稱;

(2)忽略齒槽、換相過(guò)程和電樞反應(yīng)等的影響;

(3)電樞繞組在定子內(nèi)表面均勻連續(xù)分布;

(4)磁路不飽和，不計(jì)渦流和磁滯損耗。

則根據(jù)BLDCM特性，可建立其電壓、轉(zhuǎn)矩狀態(tài)方程以及等效的BLDCM電路。

1.1 電壓方程

BLDCM三相定子電壓的平衡方程可用以下?tīng)顟B(tài)方程表示:

式中:ua，ub，uc——三相定子電壓;

ea，eb，ec——三相定子的反電動(dòng)勢(shì);

ia，ib，ic——三相定子相電流;

La，Lb，Lc——三相定子自感;

Lab，Lac，Lba，Lbc，Lca，Lcb——三相定子互感;

Ra，Rb，Rc——三相定子繞組的相電阻。

對(duì)于凸裝式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，忽略凸極效應(yīng)，則定子三相繞組的自感和互感為常數(shù)，且與轉(zhuǎn)子位置無(wú)關(guān)，因此 Ra=Rb=Rc，Lab=Lac=Lba=Lbc=Lca=Lcb=M，La=Lb=Lc=L。

若定子繞組三相Y形連接且三相繞組無(wú)中線引出，則有:ia+ib+ic=0，以及 M·ia+M·ib=-M·ic，則式(1)可表示為式(2)，由式(2)可得BLDCM的狀態(tài)方程(式(3))和等效電路(見(jiàn)圖1)如下。

圖1 永磁BLDCM等效電路模型

1.2 轉(zhuǎn)矩方程

BLDCM的電磁轉(zhuǎn)矩方程可表示為

式中:ω——BLDCM的角速度。

BLDCM的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

式中:B——阻尼系數(shù);

J——電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

TL——負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

1.3 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)各相繞組對(duì)稱，參數(shù)為常數(shù)，在A相和B 相導(dǎo)通時(shí)，ic=0，ia=-ib，設(shè) I(t)=ib，由式(2)可得:

結(jié)合式(6)、(7)可得:

式中:U(t)——逆變器輸出電壓，U(t)=ua-ub;

E——平均反電動(dòng)勢(shì)，E=ea-eb。

根據(jù)反電動(dòng)勢(shì)與轉(zhuǎn)速成正比，E可近似表示為E=ken，考慮到轉(zhuǎn)矩與電流大小成正比，電磁轉(zhuǎn)矩可表示成:Ta=kTL(t)，將兩式帶入式(8)并取其拉氏變換，可得BLDCM的動(dòng)態(tài)特性為

將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程寫成轉(zhuǎn)速n的形式，并取拉氏變換得到:

式中:GD2——轉(zhuǎn)子的飛輪轉(zhuǎn)矩;

TL(s)——電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

其動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 永磁BLDCM動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

2 摩擦負(fù)載模型

2.1 摩擦介紹

摩擦是一種復(fù)雜的、非線性的、具有不確定性的自然現(xiàn)象，而摩擦力是影響伺服控制系統(tǒng)性能的主要因素之一，會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)爬行、振蕩或穩(wěn)態(tài)誤差，降低運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的性能。一個(gè)有效的解決辦法是引入對(duì)消項(xiàng)，以消除摩擦力，這稱為摩擦補(bǔ)償。

2.2 Stribeck摩擦模型

對(duì)摩擦非線性環(huán)節(jié)建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，對(duì)摩擦現(xiàn)象和對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償都非常重要。目前，在工程中經(jīng)常采用的有庫(kù)侖摩擦模型、庫(kù)侖摩擦+粘滯摩擦模型、靜摩擦+庫(kù)侖摩擦+粘滯摩擦模型和Stribeck摩擦模型。本文中的摩擦負(fù)載選用可以較為準(zhǔn)確地反映摩擦力負(fù)阻尼特性的Stribeck摩擦模型(見(jiàn)圖3)，其采用速度的指數(shù)函數(shù)來(lái)描述摩擦的非線性。Stribeck摩擦模型可表示為當(dāng)|˙θ(t)|＜α?xí)r，靜摩擦為

式中:F(t)——驅(qū)動(dòng)力;

Fm——最大靜摩擦力;

Fc——庫(kù)侖摩擦力;

kv——粘性摩擦力矩比例系數(shù);

α、α1——非常小的正常數(shù)。

圖3 Stribeck摩擦模型示意圖

3 BLDCM控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真

3.1 BLDCM雙閉環(huán)控制系統(tǒng)

基于Stribeck摩擦模型的BLDCM控制系統(tǒng)如圖4所示。該控制系統(tǒng)由電流和轉(zhuǎn)速兩個(gè)控制環(huán)節(jié)構(gòu)成，其中電流環(huán)作為內(nèi)環(huán)，而轉(zhuǎn)速環(huán)則作為外環(huán)。

圖4 基于Stribeck摩擦模型的BLDCM轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的控制框圖

3.2 轉(zhuǎn)速、電流調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

在傳統(tǒng)的電機(jī)控制系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速、電流調(diào)節(jié)器大多采用PID控制:PID控制是最簡(jiǎn)單實(shí)用的一種控制方法，其控制參數(shù)既可以依靠數(shù)學(xué)模型通過(guò)解析的方法進(jìn)行整定，也可以不依賴模型而憑經(jīng)驗(yàn)和試湊來(lái)整定。但本文的BLDCM控制系統(tǒng)由于考慮了摩擦因素的影響，系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性，而傳統(tǒng)PID控制本質(zhì)上是一種線性控制器，魯棒性較差，無(wú)法達(dá)到滿意的控制效果，在速度跟蹤時(shí)有明顯的“死區(qū)”現(xiàn)象。

20世紀(jì)90年代發(fā)展起來(lái)的采用人工智能技術(shù)，綜合專家或現(xiàn)場(chǎng)操控人員的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成知識(shí)庫(kù)，模仿人的思維決策過(guò)程，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)調(diào)整PID控制參數(shù)的模糊自適應(yīng)PID，可以將精確的問(wèn)題模糊化，并運(yùn)用模糊推理和解模糊化處理，實(shí)現(xiàn)對(duì)PID參數(shù)的最佳調(diào)整。模糊自適應(yīng)PID的結(jié)構(gòu)原理如圖5所示。

圖5 模糊自適應(yīng)PID結(jié)構(gòu)原理圖

本文的轉(zhuǎn)速、電流調(diào)節(jié)器均采用模糊自適應(yīng)PID控制，其控制器輸入量分別為轉(zhuǎn)速差、轉(zhuǎn)速差變化率和電流差、電流差變化率;輸出為各控制器的PID參數(shù)。以上各變量的論域均劃分為{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}七個(gè)模糊子集，隸屬度函數(shù)采用三角形分布，如圖6所示。

圖6 隸屬度函數(shù)分布圖

根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)制定模糊規(guī)則，模糊控制規(guī)則制定原則為:曲線振蕩很頻繁，增大kp值，曲線漂浮繞大彎，減小kp值;曲線偏離回復(fù)慢，增大ki值，曲線波動(dòng)周期長(zhǎng)，減小ki值;曲線振蕩頻率快，減小kd值，動(dòng)差大而波動(dòng)慢，增大kd值。

3.3 基于Stribeck摩擦模型的BLDCM控制系統(tǒng)仿真

基于Stribeck摩擦模型的控制系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)構(gòu)如圖7所示。采用MATLAB的S-function模塊實(shí)現(xiàn)Stribeck摩擦模型，圖8為其Simulink框圖，圖9為模糊PID控制器仿真結(jié)構(gòu)圖。

圖7 基于Stribeck摩擦模型的雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的Simulink動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

圖8 Stribeck摩擦模型的Simulink框圖

相關(guān)參數(shù)如下:R=0.518 Ω，TL=0.255 ms，Tm=7.3 ms，1/Ce=389 r/min，β =5.73 V/A，α =1/389 Vmpr，Toi=0.314 ms，Ton=6.28 ms，Ks=1，Ts=12.5 μs，F(xiàn)c=15 N·m，F(xiàn)m=20 N·m，Kv=2.0 Nms/rad，α1=1.0，α =0.01。

圖9 模糊PID控制器仿真結(jié)構(gòu)圖

在終值為1 000的階躍信號(hào)作用下，計(jì)入Stribeck摩擦模型，采用常規(guī)PID算法和模糊PID算法時(shí)得到的系統(tǒng)速度響應(yīng)曲線如圖10所示?？刂葡到y(tǒng)由于摩擦力的作用，在常規(guī)PID算法補(bǔ)償下，系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量大，且穩(wěn)態(tài)精度較差，而在模糊PID算法補(bǔ)償下，系統(tǒng)響應(yīng)無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)精度高?？梢?jiàn)模糊PID算法在系統(tǒng)有摩擦負(fù)載的情況下可以有效提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度。

圖10 階躍信號(hào)下系統(tǒng)速度響應(yīng)曲線

為檢驗(yàn)系統(tǒng)的速度跟蹤效果，在幅值為0.6的正弦信號(hào)激勵(lì)下，系統(tǒng)速度跟蹤響應(yīng)如圖11所示。對(duì)比圖11(a)、(b)可見(jiàn)，采用常規(guī)PID算法控制時(shí)，系統(tǒng)存在速度跟蹤“死區(qū)”現(xiàn)象，使系統(tǒng)響應(yīng)曲線發(fā)生畸變;采用模糊PID算法控制時(shí)雖有抖動(dòng)，但其過(guò)死區(qū)時(shí)間短、精度高，其輸出曲線更加逼近給定輸入信號(hào)曲線。因此，采用模糊PID算法可以有效提高系統(tǒng)的速度跟蹤精度。

圖12為系統(tǒng)在給定輸入下的Stribeck摩擦模型的摩擦力矩變化曲線。

4 結(jié) 語(yǔ)

圖11 正弦信號(hào)激勵(lì)下的速度響應(yīng)曲線

圖12 摩擦力矩變化曲線

本文在BLDCM控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，考慮到系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中存在摩擦負(fù)載的作用，采用常規(guī)PID控制時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度和魯棒性較差，速度跟蹤存在明顯的“死區(qū)”現(xiàn)象，提出了一種基于Stribeck摩擦模型的模糊PID控制算法。經(jīng)過(guò)對(duì)仿真曲線的分析比較，得知采用模糊PID控制算法時(shí)，階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)、響應(yīng)快、穩(wěn)態(tài)精度高;速度跟蹤雖有抖動(dòng)，但其過(guò)死區(qū)時(shí)間短、精度高，其輸出曲線更加逼近給定輸入信號(hào)曲線。

［1］龍駒.永磁無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)［M］.成都:西南交通大學(xué)出版社，2006.

［2］Karnopp D Comput.Computer simulation of stick-slip friction in mechanical dynamic systems［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，1985(107):100-103.

［3］席愛(ài)民.模糊控制技術(shù)［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

［4］劉金琨.先進(jìn)PID控制及其MATLAB仿真［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2004.

［5］王丹力，趙剡.MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)仿真應(yīng)用［M］.北京:中國(guó)電力出版社，2007.