熊浩，高廣運，王小崗

(1. 臺州學院 建筑工程學院，浙江 臺州，318000；2. 同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海，200092)

近年來，我國交通基礎產(chǎn)業(yè)取得了快速發(fā)展，如“五縱七橫”高速公路網(wǎng)建成、武廣高速客運專線、京滬高鐵等高速鐵路工程相繼動工興建和一些城市地下鐵路網(wǎng)快速建設等。這些工程項目在帶來交通便利的同時，也帶來了環(huán)境振動的問題。防治交通荷載振動，保證企業(yè)不因交通振動而影響生產(chǎn)，保證交通沿線的居民生活不受干擾。近年來，人們對交通荷載所引的振動問題進行了較多研究，其中研究最為廣泛的是列車引起的環(huán)境振動。Krylov[1]研究了高速列車的振動放大現(xiàn)象；Degrande等[2]提出了一種列車振動預測模型，并與實測結(jié)果進行了對比；Gao等[3]對高速磁浮列車所引起振動的實測數(shù)據(jù)進行了分析研究；Paolucci等[4-6]則采用譜單元法、時域有限元法和薄層法對振動問題進行分析。對于交通荷載引起的環(huán)境振動，隔振研究主要集中于空溝(或填充溝)、地基加固和筏基等。地基加固多采用換填土或噴射注漿加固土體的方式減小波的傳播，以實現(xiàn)減振目的。Ju等[7-8]對相關隔振措施進行了詳細研究，但其隔振效果并不理想。筏基設置在鐵路軌道下部，主要用于列車振動隔振，對于減小水平向振動效果明顯，但豎向隔振效果很小[8]。除了列車荷載引起的振動外，人們對車輛荷載引起的振動也進行一些研究。鄧亞虹等[9]采用時域有限元法對車輛荷載引起振動的空溝隔振問題進行了數(shù)值分析?？諟?或填充溝)是一類重要的隔振措施，具有施工方便、隔振效果顯著的特點，在研究和實踐中受到了廣泛重視[8,10-11]。格子法[12-14]是近年出現(xiàn)的一種數(shù)值方法，它融合了有限元法可適應復雜形狀邊界和差分法無需計算剛度矩陣的特點，計算簡便且具有較高的計算精度。在此，本文作者基于以位移為變量的彈性波方程，給出二維格子法的計算方法，推導適合該法的人工邊界條件，使用該法分析空溝的主要幾何參數(shù)對隔振效果的影響。通過引入影響因子概念，建立一個計算平均最大位移幅值系數(shù)的簡化計算模型，并進行驗證。

1 二維格子法

1.1 基本計算公式

在笛卡爾坐標系中，不計體力，在均質(zhì)彈性介質(zhì)中二維彈性波傳播控制方程為：

式中：ρ為彈性介質(zhì)的密度(kg/m3)；μ和 λ為介質(zhì)的Lamé系數(shù)(Pa)；σx，σy和 τxy為應力張量(Pa)；ux和 uy為位移(m)。

將計算區(qū)域以三角形或四邊形網(wǎng)格進行離散，局部網(wǎng)格如圖1所示。圖中的實線是離散時所生成網(wǎng)格線，實心點j，k和l等為網(wǎng)格線頂點；虛線是各段實線中點與網(wǎng)格中心點的連線，四邊形網(wǎng)格中空心點(如1，2，3，…)是各段虛線的中點，而三角形網(wǎng)格中的空心點(如點7)是三角形的中心點。如果在實心點處定義位移分量ui(i=x，y)，那么對于四邊形網(wǎng)格，可以利用任意四邊形網(wǎng)格差分算子[12]計算位移在域內(nèi)任意點處的空間一階導數(shù)。

圖1 局部網(wǎng)格示意圖Fig.1 Sketch of local mesh

對于三角形網(wǎng)格，以圖1中Δfmj為例，其中心點處的位移空間一階導數(shù)計算公式為[13]：

式中：A為三角形fmj的面積；(ui)f，(ui)m和(ui)j分別為3個頂點f，m和j處的位移；bf=(yj-ym)/2；cf=(xj-xm)/2(通過下標輪換可以類似地計算出bm和cm等)；(xj，yj)和(xm，ym)分別為j和m點處的坐標。

從圖1可見：各個實心點周圍的虛線都圍成一個閉合區(qū)域。假定結(jié)點f周圍虛線所圍的區(qū)域為Ω，其邊界1—2—3—4—5—6—7記為 Γ。在Ω 上對式(1a)積分可得：

式中：α和β為邊界Γ的外法線方向余弦。采用集中質(zhì)量模型，式(3)中左端的面積積分可簡化為僅與f點加速度有關，即分別為Mf為區(qū)域Ω的質(zhì)量。對于式(3)右端的線積分，在邊界Γ每一段上采用單點高斯積分公式進行數(shù)值計算。此時，每段上的積分點正是邊界Γ上的各個空心點。設式(3a)和式(3b)線積分值分別為(Ax)f和(Ay)f，則

對式(4)中二階導數(shù)應用中心差分公式計算，可得：

式中：上標n代表nΔt時刻；類似地，n+1代表(n+1)Δt時刻，n-1代表(n-1)Δt時刻；Δt為計算時間步長。根據(jù)式(5)，可求得：

1.2 計算步驟

對于節(jié)點 f，應用單點高斯積分公式，在邊界 Γ上計算式(3)中線積分(Ax)f和(Ay)f，并把它們代入式(5)，計算(n+1)Δt時刻的位移 ()和 ()，這樣，就f f

完成了f點從nΔt時刻到(n+1)Δt時刻的位移分量遞推計算。對于其他實心點，可類似于f點處理，從而可確定整個實線網(wǎng)格上的全部節(jié)點在(n+1)Δt時刻的位移。類似地，可以計算出(n+2)Δt時刻的位移，直到設定的計算時間終點為止。

為了保證計算的穩(wěn)定，時間步長Δt與空間最小網(wǎng)格邊長h應滿足穩(wěn)定條件[12]：Δt≤h/vp。式中：vp為縱波的波速。

1.3 自由表面邊界條件

假定在圖1中h，l和k是自由表面邊界上的節(jié)點。在 l點處，在圍線 l—Ma—9—3—2—8—Mb所圍區(qū)域內(nèi)類似于式(3)建立平衡方程：

式中：Ml為上述圍線所圍區(qū)域的質(zhì)量。

式(7)中線積分分為兩部分：其中Ma—9—3—2—8—Mb線段上的積分計算方法與前述式(3)中的線積分計算法完全相同；而Mb—l—Ma線段上的積分事實上就等于作用于表面邊界上的已知外荷載。因此，在自由邊界上邊界條件可以方便地引入到計算中。

1.4 人工邊界條件

考慮到實際上波的傳播是在半無限域中進行的，而計算模型只能是有限的，因此，必須在計算區(qū)域的邊界上引入人工邊界條件，以準確地模擬波的無限傳播。下面介紹一種簡單實用的人工邊界條件。

將式(1b)代入式(1a)，可得：

假定xOy坐標系旋轉(zhuǎn)θ得到新坐標系x′Oy′，其坐標軸x′與平面上某處波的傳播方向相一致，忽略另一個軸方向波的傳播，即假定?/?y′=0，則2個坐標系之間有如下關系式：

把式(10)代入式(8)，可得以矩陣表示的方程：

對 Q作特征值分解，Q=P-1ΛP，則式(11)可以寫作

將xOy系中PU表達式代入式(14)，可得：

1.5 驗證算例

為了驗證該計算方法的正確性，這里計算 Lamb問題，并將計算結(jié)果與解析解進行對比。假定半無限均質(zhì)地基的密度為2.250 t/m3，其Lamé系數(shù)μ=1.048 GPa，λ=1.863 GPa；計算區(qū)域為2 km×1 km的矩陣區(qū)域，采用邊長為 5 m的正方形網(wǎng)格，時間步長取為2 ms；振源為一垂直作用在地表中心點的集中荷載：f(t)=exp[-200(t-0.178)2]；計算采用上述人工邊界條件。圖2所示為地表處距垂直力源距離為500 m的點水平位移的解析解和本文數(shù)值計算結(jié)果，并給出了無人工邊界時的數(shù)值解結(jié)果。由圖2可知：采用上述計算方法及人工邊界條件所得的數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果較吻合，表明本文方法的正確性；對比無人工邊界條件計算結(jié)果與有人工邊界條件計算結(jié)果，可見本文所述的人工邊界可以較好地透射出外行波，是一種有效的人工邊界條件。

圖2 水平位移分量的解析解與數(shù)值解的比較Fig.2 Comparison between analytical and numerical horizontal displacement component

2 空溝對交通荷載的隔振分析

圖3所示為某公路使用空溝隔振的示意圖。路面的寬度b=12.0 m，在路面的兩端分別設置寬度為1.5 m的硬質(zhì)路肩，行車道總寬度為9.0 m。路堤的高度為t，采用與下部地基土相同的均質(zhì)土材料進行填筑，路堤填筑的坡比為1.0:1.5。路面層忽略不計。在路堤右側(cè)，距路面中心長度為r處設置1道空溝，以達到降低空溝外側(cè)一定范圍內(nèi)地表面振動的目的。隔振范圍自空溝外側(cè)起，延伸寬度為s、空溝寬度為w、深度為d。

使用半波正弦來模擬交通荷載，假定它均勻分布作用于行車道內(nèi)。半正弦波力源的表達式為：

式中：半正弦波荷載頻率 f0=15 Hz，荷載幅值Q0=7×105Pa。

假定地基與路堤的填筑材料都是均質(zhì)的線彈性材料，其力學與物理特性參數(shù)為：密度ρ＝1.740 t/m3，土體的剪切模量μ=2.535×107Pa，泊松比v=0.33。地基P波、S波和R波波速分別為239.63，120.70和112.50 m/s。

為了研究方便，采用土體中的Rayleigh波的波長對各種長度進行無量綱化處理。R波長λR=7.5 m，無量綱路堤高度、空溝到路堤中心的距離、溝寬、溝深依次為：T=t/λR，R=r/λR，Wd=w/λR，Dp=d/λR。s 取 5λR。采用這種無量綱化處理方法，可以不計頻率的影響，便于分析。

Shrivastavaa等[15]在研究空溝的 R波隔振效果時定義了最大位移幅值系數(shù)：AR為有溝槽時的最大位移幅值與無溝槽時的最大位移幅值之比。

圖3 公路使用空溝隔振示意圖Fig.3 Sketch of a road with open trench for isolating vibration from traffic loads

它是對計算點處位移響應最大衰減程度的度量。對于線寬度l內(nèi)的總體隔振效果，可以用此范圍內(nèi)的平均最大位移幅值系數(shù)衡量，定義為：

式中：AR為線寬度l內(nèi)某點的最大位移幅值系數(shù)。

計算時，在無限均質(zhì)地基中截取矩形區(qū)域進行計算。在計算區(qū)域內(nèi)，采用四邊形網(wǎng)格和三角形2種網(wǎng)格進行混合劃分，如圖 3所示。網(wǎng)格最短邊長 hmin=0.5 m，計算時步長取Δt=0.001 s，可滿足穩(wěn)定條件要求。

2.1 空溝寬度對隔振效果的影響

假定無量綱參數(shù)T＝0.267，R＝4.0，Dp=1.0。圖4和圖5分別給出了水平和豎向平均最大位移幅值系數(shù)隨空溝無量綱寬度Wd的變化曲線。由圖4和圖5可知，隨著空溝的無量綱寬度 Wd增大，水平向和豎直向的都略有減小，但減小的幅度有限。表明增加溝寬可在一定程度上減小振動，但不能顯著提升隔振效果。豎向的隔振效果明顯比水平向的隔振效果優(yōu)。

2.2 空溝深度對隔振效果的影響

當T＝0.27，Wd=0.1，R分別取2~4時，水平和豎向平均最大位移幅值系數(shù)隨空溝的無量綱深度Dp的變化曲線分別如圖6和圖7所示。

圖4 水平向隨無量鋼溝寬Wd的變化曲線Fig. 4 Relationship between in horizontal direction and Wd

圖5 豎直向隨無量鋼溝寬Wd的變化曲線Fig. 5 Relationship between in vertical direction and Wd

圖6 水平向隨無量鋼深度Dp的變化曲線Fig. 6 Relationship between in horizontal direction and Dp

圖7 豎直向隨無量鋼溝深Dp的變化曲線Fig.7 Relationship between in vertical direction and Dp

從圖6可以看出，隨溝深Dp的增加，水平向平均最大位移幅值系數(shù)呈快速下降趨勢。表明當空溝的R不同(即其位置不同，R反映了空溝相對于振源的位置)時，增加溝深 Dp可有效地提高空溝水平向隔振效果； R取值越大，曲線下降得越快，表明遠離路堤的空溝，可通過加大Dp提高水平隔振效果。這主要是由于隨著R的增加，空溝外側(cè)被保護區(qū)域逐漸進入到遠場區(qū)。遠場的振動主要與 Rayleigh波有關，而Rayleigh波在豎向快速衰減，因此，當R較大時，深空溝有效地阻隔Rayleigh波傳播，從而減小地面的振動。從圖7可知，通過增加溝深Dp，可以在一定范圍內(nèi)有效地減小豎向平均最大位移幅值系數(shù)，從而提高隔振效果；但當溝深Dp達到一定值(這里記為d0)后，繼續(xù)增加溝深并不能增加其豎向隔振效果；空溝的d0隨距離R的改變而變化，即R越大，d0也越大。其原因可能是隨著與空溝距離的增大，逐漸進入到振動受Rayleigh波控制的遠場有關。當距離R較小時，體波影響大，由于溝淺，繞射波所占比較大，部分體波可繞過空溝繼續(xù)傳播，從而引起屏蔽區(qū)內(nèi)地面振動，故總體隔振效果不隨Dp的增加而提高；當距離R增大后，Rayleigh波逐漸成為振動傳播主導因素，若溝深Dp與λR相當，則空溝可達最佳隔振效果。此后，再增加溝深對Rayleigh波無明顯的作用，所以，豎向平均最大位移幅值系數(shù)基本保持不變。

由上述分析可知：溝深Dp是影響隔振效果的主要因素。無論是水平還是豎向的隔振，均可考慮增加溝深Dp來提高其隔振效果。但應注意到深度Dp對豎向隔振效果的影響與其位置有關，建議一般情況下(R取3.0~4.0)，溝深Dp取為1.0，以達理想的隔振效果。若以水平向隔振為主，則溝深應取更大值。

2.3 空溝位置對隔振效果的影響

當無量綱化參數(shù)T＝0.27，Wd=0.1，Dp取0.8~1.2時，水平和豎直平均最大位移幅值衰減系數(shù)隨無量綱距離R的變化曲線分別如圖8和圖9所示。

圖8 水平向隨無量鋼空溝到路堤中心的距離R的變化曲線Fig.8 Relationship between in horizontal direction and R

圖9 豎直向隨無量鋼空溝到路堤中心的距離R的變化曲線Fig.9 Relationship between in vertical direction and R

從圖8可知：當溝深Dp一定時，隨著無量綱距離R逐漸增大，水平向的平均最大幅值衰減系數(shù)先是變小，然后增大，即隔振效果先增大后減?。慌c深空溝相比，遠處淺空溝深度的增大趨勢更加明顯，增加的量也更大，表明溝深Dp一定時，其水平隔振效果與無量綱距離R密切相關。對溝深Dp取1.0~1.2時，為達理想水平隔振效果，距離R宜取3.0左右。

從圖9可見：隨距離R逐漸增大，豎向隔振效果逐漸增加；但當R增大到一定值(這里記為R0)后，隔振效果不再隨R的增大而進一步提高。如Dp=0.8時，距離R取值大于2.7后，曲線基本保持水平。從圖9可以發(fā)現(xiàn)：R0隨溝深Dp的增加而增大。

由此可見：空溝的位置參數(shù)R對其隔振效果亦有較大的影響。上述研究表明：參數(shù) R的選取與深度Dp取值應同時考慮；當溝深 Dp確定后，應綜合考慮水平向、豎向隔振效果，R宜取3.0~3.5。

2.4 路堤高度對隔振效果的影響

圖10和圖11所示分別表示當R=4.0，Wd=0.1~0.3，Dp取1.0時，水平和豎向平均最大位移幅值衰減系數(shù)隨無量綱路堤高度T的變化曲線。

從圖10可以看出：總體上，路堤高度的變化對水平向平均最大位移幅值衰減系數(shù)影響較小，曲線呈略微下降的趨勢。故高路堤對水平隔振較為有利，但增加路堤高度對隔振效果的影響并不明顯。而由圖11可知：隨路堤高度T的增加，曲線均呈現(xiàn)明顯上升趨勢。表明高路堤不利于增加空溝豎向隔振效果。

圖10 水平向隨無量鋼路堤高度T的變化曲線Fig.10 Relationship between in horizontal direction and T

圖11 豎直向隨無量鋼路堤高度T的變化曲線Fig.11 Relationship between in vertical direction and T

總之，路堤高度T對隔振效果有一定的影響。在設計路堤與空溝時，應盡可能選擇較低矮的路堤形式，以確保空溝達好的豎向隔振效果。

2.5 泊松比對隔振效果的影響

當R=4.0，Wd=0.1~0.3，Dp=1.0，T=0.267時，水平和豎向平均最大位移幅值衰減系數(shù)隨土體泊松比v的變化曲線分別如圖12和圖13所示。

從圖12可見：當泊松比v增大時，水平向曲線呈現(xiàn)不斷上升的趨勢，且與溝寬無關。曲線可分為2個不同的階段，即 v≤0.36時緩慢上升階段和此后的快速上升階段。表明土體的泊松比v越大，越不利于空溝水平向隔振，即飽和軟土場地不宜采用空溝隔振。

圖12 水平向隨泊松比v的變化曲線Fig.12 Relationship between in horizontal direction and v

圖13 豎直向隨泊松比v的變化曲線Fig.13 Relationship between in vertical direction and v

從圖13可見：豎向隔振類似于水平隔振的情況。土介質(zhì)中P波、Rayleigh波的波速分別為：

其中：vS為 S波的波速。當泊松比 v約為 0.36時，vP=2vR，故 P 波波長 λP與 λR滿足 λP=2λR關系。表明泊松比v＞0.36時，若溝深=1.0λR，對P波而言溝深太小，隔振效果差。

總之，泊松比v對空溝隔振效果影響較大，泊松比越大，空溝隔振效果越差。近場隔振，因 P波、S波影響大，應采用大的溝深，如2.0λR等。

3 計算模型的簡化

在給定上述幾個主要的幾何參數(shù)及土介質(zhì)泊松比的前提下，采用格子法可以得出平面方形三維空溝屏蔽區(qū)地表隔振效果的，但計算過程較復雜。從上述分析看，均質(zhì)地基中的空溝對路堤上運行的交通荷載所引起的振動隔振效果與空溝的寬度 Wd、深度 Dp、路堤高度T、空溝到路堤距離R和土體泊松比v都有關，其隔振效果應是這些因素共同影響的結(jié)果；因此，可將綜合平均最大位移幅值衰減系數(shù)寫成：

式中：Iw，It和Iv分別是空溝寬度Wd、路堤高度T和土體泊松比ν的影響因子；Ird是反映溝深Dp和距離R共同作用的綜合影響因子；上標x和z分別代表水平和豎直方向。假定當Dp=1.0，R=4.0時，綜合影響因子Ird=1.0；當T＝0.267時，It取1.0；當泊松比v=0.33時，影響因子 Iv亦取 1.0，上述假定對于水平、豎向均成立。

3.1 空溝寬度影響因子

基于上述定義，對于圖4和圖5，其縱軸實質(zhì)上是影響因子Iw，因此，根據(jù)圖中曲線形狀，可采用衰減曲線擬合出水平和豎向的Iw表達式：

式中：Wd為無量綱空溝寬度。

3.2 路堤高度影響因子

當 Dp=1.0，R=4.0 時，Ird=1.0；當 v=0.33時，Iv=1.0，故圖10縱軸實際上代表。由圖10可知：曲線可采用斜率為 ktx的直線表示，注意到當 T=0.267時，It=1.0，即上述直線應通過點(0.267,)，由此可得直線方程：

經(jīng)變換可得：

ktx隨Wd變化關系可近似地以直線表示：

經(jīng)變換為：

經(jīng)變換為：

式(25)和式(27)中的ktz1和ktz2隨Wd的變化亦可近似地以直線方程表示為：

3.3 泊松比影響因子

為了處理方便，可將圖12中的曲線細分為3部分，即泊松比 v≤0.33，0.39＜v≤0.45區(qū)間段內(nèi)的直線和0.33＜v≤0.39范圍內(nèi)的凸曲線。對于凸曲線，采用二次曲線近似擬合。根據(jù)式(20)中的定義，可知圖12的縱軸實質(zhì)上是。

當泊松比v≤0.33時，直線斜率可由圖12計算確定，取0.5779。注意到當泊松比v＝0.33時，=1.0，故可知該區(qū)間內(nèi)的表達式為

假定0.33＜v≤0.39區(qū)間內(nèi)的二次曲線為：

式中：c0是常數(shù)項；參數(shù)s和t決定曲線形狀。根據(jù)圖12所示的情況，可計算出s＝-41.644，t=59.926。注意到當v=0.33時，=1.0，故可求解出常數(shù)項c0。再將它代入式(30)中，可得當0.33＜v≤0.39時，進而可計算 ()。而 0.39＜v≤0.45段內(nèi)的直線ν=0.39應通過點(0.39, ())，該直線的斜率可由圖ν=0.3912確定，取1.261，故可得此時表達式為

式中：

3.4 綜合影響因子

式中：Iw(0.1)是Wd=0.1時的Iw，可以根據(jù)式(20)計算得到。

式中：

3.5 算例

由上述公式可知：在應用上述簡化法計算平均最大位移幅值衰減系數(shù)模型時，只需要先確定出圖3中所示各部分的幾何尺寸的無量綱長度，再將它們代入有關的影響因子表達式中，分別計算4個影響因子，最后將影響因子代入式(19)，即可求解得到平均最大位移幅值衰減系數(shù)。

假定有2個空溝隔振設計方案，其無量綱化計算參數(shù)見表 1。應用上述簡化計算公式，分別計算這 2個方案的平均最大位移幅值衰減系數(shù)，計算結(jié)果見表1。

表1 簡化計算模型計算結(jié)果與格子法數(shù)值計算結(jié)果對比Table 1 Comparison between results by both simplified calculation model and grid method

4 結(jié)論

(1) 空溝的寬度Wd對其隔振效果影響較小，不是影響空溝隔振效果的關鍵因素。而空溝的深度Dp、距離R是影響空溝隔振效果的關鍵因素，它們相互關聯(lián)，參數(shù)R的選取應與溝深Dp一同考慮。建議在一般情況下(R取3.0~4.0)，溝深Dp可取1.0~2.0。

(2) 路堤高度T對隔振效果也有一定影響。對于豎向隔振，宜選用低矮路堤形式以確?？諟细粽裥Ч?/p>

(3) 土體的泊松比越大越不利于空溝隔振，即飽和軟土場地不宜采用空溝隔振。

(4) 簡化計算平均最大，位移幅值衰減系數(shù)模型在所給出的一定條件下(均質(zhì)地基上采用地基土修筑的路堤，路堤頂部作用交通荷載，無量綱路堤高度 T小于0.8，窄空溝隔振，無量綱空溝距離R小于4.0，無量綱溝深Dp小于2.0，泊松比在0.25~0.45之間)可以較準確地計算空溝屏蔽區(qū)(空溝后5λR之內(nèi))，大大降低了計算難度。

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