王文亮

（海軍駐南昌地區(qū)某軍事代表室 南昌 330024）

1 引言

在用Dahlin提出的閉環(huán)響應(yīng)方法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器時(shí)，不僅應(yīng)關(guān)心系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)，同時(shí)還應(yīng)注意控制器輸出量的上下變化。因?yàn)镈ahlin控制器經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生所謂的振鈴問(wèn)題，它會(huì)使調(diào)舵面頻繁地上下偏轉(zhuǎn)，加速控制設(shè)備的磨損。這一現(xiàn)象在提出Dahlin控制器時(shí)就已被發(fā)現(xiàn)，并給出了修正設(shè)計(jì)方法［1～2］。后來(lái)又對(duì)此進(jìn)行了分析。從修改期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)入手提出一種新的設(shè)計(jì)方法。借助于內(nèi)模結(jié)構(gòu)分析了Dahlin控制器產(chǎn)生振鈴的本質(zhì)原因，指出Dahlin修正設(shè)計(jì)方法不能完全消除純滯后引起的振鈴，并針對(duì)一階對(duì)象發(fā)展了一種能夠避免振鈴的更好的設(shè)計(jì)方法［3］。

本文將在以前研究的基礎(chǔ)上，討論Dahlin控制器存在振鈴的可能性。首先，在復(fù)頻域分析的基礎(chǔ)上探討了二階對(duì)象期望閉環(huán)傳遞函數(shù)的合理形式。然后，通過(guò)對(duì)期望閉環(huán)傳遞函數(shù)和控制對(duì)象的分析找到了導(dǎo)致二階對(duì)象Dahlin控制器產(chǎn)生振鈴的原因，給出了判定振鈴產(chǎn)生的條件。并且提出了修正設(shè)計(jì)方法。最后，以空地導(dǎo)彈穩(wěn)定控制回路為例，通過(guò)對(duì)所建回路的分析并結(jié)合解決振鈴現(xiàn)象中關(guān)鍵參數(shù)的選擇方法，得出了單位階躍信號(hào)下，穩(wěn)定控制回路數(shù)字控制器的控制信號(hào)序列u（k）得到明顯改善。本研究對(duì)于今后導(dǎo)彈控制效率的設(shè)計(jì)和提高控制系統(tǒng)的控制效率有著重要的研究和指導(dǎo)意義。

2 振鈴現(xiàn)象及其消除方法

所謂振鈴（ringing）現(xiàn)象，是指數(shù)字控制器的輸出以1／2采樣頻率大幅度衰減的振蕩。本文以俯仰通道為例，控制回路的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，數(shù)字控制器輸出控制信號(hào)序列u（k）如圖2所示。由于被控對(duì)象中慣性環(huán)節(jié)的低通特性，使得這種振蕩對(duì)系統(tǒng)的輸出幾乎無(wú)任何影響［4］。但是振蕩現(xiàn)象卻會(huì)增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損，在有交互作用的多參數(shù)控制系統(tǒng)中，振鈴現(xiàn)象還有可能影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性［5］。

圖1 導(dǎo)彈穩(wěn)定控制回路結(jié)構(gòu)圖

圖2 系統(tǒng)的控制信號(hào)序列

圖3 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)序列

設(shè)被控對(duì)象為帶有純滯后的二階環(huán)節(jié)，即

對(duì)象為具有純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)時(shí)，其z傳遞函數(shù)為

控制器的傳遞函數(shù)為式中

振鈴現(xiàn)象與被控對(duì)象的特性、閉環(huán)時(shí)間常數(shù)、采樣周期、純滯后時(shí)間的大小等有關(guān)，下面對(duì)振鈴現(xiàn)象產(chǎn)生的原因進(jìn)行分析?？刂破鬏敵鯱（z）與參考輸入R（z）之間的關(guān)系為

是U（z）到R（z）的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

對(duì)于單位階躍輸入函數(shù)R（z）＝1／（1－z－1），含有z＝1的極點(diǎn)，如果Wu（z）的極點(diǎn)在z平面的負(fù)實(shí)軸上，并且與z＝－1點(diǎn)相近，則由暫態(tài)過(guò)程可知，數(shù)字控制器的輸出序列u（k）中將含有這兩種幅值相近的瞬態(tài)項(xiàng)，而且瞬態(tài)項(xiàng)的符號(hào)在不同時(shí)刻是不相同的。當(dāng)兩瞬態(tài)項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，數(shù)字控制器的輸出控制作用加強(qiáng)，符號(hào)相反時(shí)，控制作用減弱，從而造成數(shù)字控制器輸出序列大幅度波動(dòng)，這就是造成振鈴現(xiàn)象的主要原因［6～7］。

對(duì)于帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)，有

式中

式（7）中有兩個(gè)極點(diǎn)，第一個(gè)極點(diǎn)在z＝e－T／T0，不會(huì)引起振鈴現(xiàn)象；第二個(gè)極點(diǎn)在z＝－c2／c1。由式（5）知，在T→0時(shí)，有

這說(shuō)明可能出現(xiàn)負(fù)實(shí)軸上與z＝－1相近的極點(diǎn)，這一極點(diǎn)將引起振鈴現(xiàn)象。

振鈴現(xiàn)象的強(qiáng)度用振鈴幅度RA來(lái)衡量，通常采用在單位階躍作用下數(shù)字控制器第0拍輸出與第1拍輸出的差值來(lái)衡量振鈴現(xiàn)象強(qiáng)烈的程度［8］。

由式（3）可知，Wu（z）是z的有理分式，寫成一般形式為

忽略比例系數(shù)ksz－N的影響（相當(dāng)于進(jìn)行了歸一化處理），在單位階躍輸入函數(shù)的作用下，數(shù)字控制器輸出量的z變換為

所以

對(duì)于純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)，其振鈴幅度由式（4）可得

消除振鈴現(xiàn)象的方法是：先找到D（z）中引起振鈴現(xiàn)象的因子（z＝－1附近的極點(diǎn)），然后令其中的z＝1。根據(jù)終值定理，這樣不影響輸出的穩(wěn)態(tài)值，但往往可以有效地消除振鈴現(xiàn)象。這一點(diǎn)可以通過(guò)式（3）得到驗(yàn)證，因?yàn)榭刂破鱀（z）的極點(diǎn)就是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Wu（z）的極點(diǎn)，因此Wu（z）中z＝－1附近的極點(diǎn)實(shí)際上包含在控制器D（z）的分母中［9］。

對(duì)于帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)中，數(shù)字控制器D（z）如式（3）所示，其極點(diǎn)z＝－c2／c1將引起振鈴現(xiàn)象。令極點(diǎn)因子c1＋c2z－1中z＝1，就可以消除這個(gè)振鈴極點(diǎn)。由式（4）得

消除振鈴極點(diǎn)后控制器的形式為

根據(jù)式（8），當(dāng)T→0時(shí)，有

取采樣周期T＝2s，可知T1＝20，T2＝30，K＝10，N＝τ／T＝6，所設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器傳遞函數(shù)模型為

這種消除振鈴現(xiàn)象的方法雖然不影響輸出穩(wěn)態(tài)值，但卻改變了數(shù)字控制器的動(dòng)態(tài)特性，將影響閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能。

計(jì)算俯仰通道穩(wěn)定控制回路的被控對(duì)象模型為純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)

其中極點(diǎn)z＝－0.946將引起振鈴現(xiàn)象，因此令（1＋0.946z－1）的因子中z＝1，于是控制器傳遞函數(shù)模型變?yōu)?/p>

以此控制器組成計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行控制，階躍函數(shù)輸入下系統(tǒng)的響應(yīng)如圖4所示。與圖1相比，可以看出控制信號(hào)序列u（k）得到了很好的抑制，消除了振鈴現(xiàn)象，但是系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程發(fā)生了變化，出現(xiàn)了超調(diào)，且過(guò)渡過(guò)程時(shí)間變長(zhǎng)。

圖4 令振鈴因子z＝1后系統(tǒng)的控制信號(hào)和輸出信號(hào)曲線

3 解決振鈴現(xiàn)象中關(guān)鍵參數(shù)的選擇

關(guān)于振鈴現(xiàn)象的解決，前面已經(jīng)介紹了通過(guò)令控制器傳遞函數(shù)中振鈴因子式中的z＝1的方法加以消除，但結(jié)果是改變了控制器模型的結(jié)構(gòu)，因此常常造成控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差，出現(xiàn)了如超調(diào)、過(guò)渡過(guò)程時(shí)間變長(zhǎng)等。

有些工業(yè)應(yīng)用場(chǎng)合，在盡量消弱振鈴幅度的同時(shí)，不希望系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有太大的改變，這種情況下可以通過(guò)選擇合適的采樣周期T及閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)T0＝1得以實(shí)現(xiàn)。

從式（12）可以看出，帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，振鈴幅度與被控對(duì)象的參數(shù)T1、T2有關(guān)，與閉環(huán)系統(tǒng)期望時(shí)間常數(shù)T0以及采樣周期T也有關(guān)。前者是被控對(duì)象固有的參數(shù)，無(wú)法改變，因此可以通過(guò)適當(dāng)選擇T和T0，把振鈴幅度抑制在最低限度以內(nèi)。在此情況下，閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)T0作為控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)被首先確定了，但還可以通過(guò)式（12）選擇采樣周期T來(lái)抑制振鈴現(xiàn)象。

對(duì)于純滯后系統(tǒng)，通過(guò)選擇關(guān)鍵參數(shù)T和T0，削弱振鈴現(xiàn)象影響的大林算法數(shù)字控制器設(shè)計(jì)的一般步驟如下［10］：

1）根據(jù)系統(tǒng)的性能，確定閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)T0，給出振鈴幅度RA的指標(biāo)。

2）由式（12）所確定的振鈴幅度RA與采樣周期T的關(guān)系，解決給定振鈴幅度下對(duì)應(yīng)的采樣周期T，如果T有多解，則選擇較大的采樣周期。

3）確定純滯后時(shí)間τ與采樣周期T之比（τ／T）的最大整數(shù)倍N。

4）計(jì)算對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)Wd（z）及閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)WB（z）。

5）計(jì)算數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D（z）。

由俯仰通道穩(wěn)定控制回路的被控對(duì)象模型可知，T1＝20，T2＝30，K＝10，取T0＝10。

選擇采樣周期T。根據(jù)式（12）振鈴幅度與采樣周期的關(guān)系如下：

由上面的數(shù)據(jù)可以看出，采樣周期加大，振鈴幅度并沒(méi)有明顯地減小，因此，選取采樣周期T＝4s。

確定純滯后時(shí)間τ與采樣周期T之比，N＝τ／T＝12／4＝3。

確定對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)。根據(jù)式（2）和式（4），有

根據(jù)式（3），得數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)模型為

此控制器組成計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行控制，階躍函數(shù)輸入下系統(tǒng)的響應(yīng)如圖5所示。從圖中可以看出，控制信號(hào)序列u（k）的振蕩幅度同圖2相比，明顯減弱，但是輸出信號(hào)動(dòng)態(tài)過(guò)程變化不大。

圖5 調(diào)整采樣周期后的系統(tǒng)控制信號(hào)和輸出信號(hào)曲線

4 結(jié)語(yǔ)

Dahlin控制器是一種常見(jiàn)的數(shù)字控制器，由于振鈴問(wèn)題的存在限制了它的應(yīng)用。以往的對(duì)振鈴問(wèn)題研究是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行的，本文則在通過(guò)以導(dǎo)彈穩(wěn)定控制回路為對(duì)象，分析探討了二階對(duì)象Dahlin控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)系統(tǒng)輸入到控制輸出的傳遞函數(shù)證明，振鈴的產(chǎn)生與期望閉環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)關(guān)，而在于控制對(duì)象離散化時(shí)可能產(chǎn)生的負(fù)零點(diǎn)。令D（z）中引起振鈴現(xiàn)象的因子（z＝－1附近的極點(diǎn)）z＝1，此方法能消除振鈴現(xiàn)象，但會(huì)改變控制器模型的結(jié)構(gòu)，因此常常造成控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差。為此，選擇采樣周期T來(lái)抑制振鈴現(xiàn)象。仿真研究表明，此方法能夠有效消除振鈴。這對(duì)于今后導(dǎo)彈穩(wěn)定控制回路的設(shè)計(jì)和有效提高控制系統(tǒng)的控制效率有著重要的研究和指導(dǎo)意義。此方法不但適用于導(dǎo)彈回路，對(duì)于過(guò)程控制中存在振鈴現(xiàn)象的控制回路，均能有效抑制振鈴現(xiàn)象，具有很廣闊的應(yīng)用前景。

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