呂巖松，郭日修

（海軍工程大學(xué)，武漢 430033）

縮減彈性模量有限元法計(jì)算加肋軸對稱組合殼的極限載荷

呂巖松，郭日修

（海軍工程大學(xué)，武漢 430033）

將縮減彈性模量的思想融入基于軸對稱殼單元的有限元分析，建立縮減彈性模量有限元法，計(jì)算加肋軸對稱組合殼的極限載荷。建立殼單元“彈性狀態(tài)”、“局部屈服狀態(tài)”和“截面屈服狀態(tài)”的判斷條件；提出彈性模量調(diào)整策略和組合殼極限狀態(tài)的判斷方法，實(shí)現(xiàn)對加肋軸對稱組合殼的塑性極限分析。編制了計(jì)算程序，算例表明該方法計(jì)算時間省，計(jì)算精度較高。

極限分析；有限元法；縮減彈性模量；迭代計(jì)算；加肋軸對稱組合殼

1 引 言

加肋軸對稱組合殼在航空、造船等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，對這種結(jié)構(gòu)的極限載荷，設(shè)計(jì)人員很關(guān)注。近年來，在計(jì)算結(jié)構(gòu)極限載荷的各種方法中，基于縮減彈性模量的彈性迭代有限元方法[1-4]，以其形式簡單、計(jì)算速度快、精度較高的優(yōu)點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用。根據(jù)加肋軸對稱組合殼的結(jié)構(gòu)形式和受力特點(diǎn)，本文將縮減彈性模量的理念與基于軸對稱殼單元的有限元法結(jié)合起來，建立基于軸對稱殼單元的縮減彈性模量有限元法。在彈性有限元計(jì)算的基礎(chǔ)上，本文提出彈性模量的調(diào)整策略，極限狀態(tài)的判斷條件；以逐步加載的方法求解加肋軸對稱組合殼的極限載荷。本文編制了計(jì)算程序，并通過典型算例驗(yàn)證本文方法的正確性。

2 縮減彈性模量有限元法簡介

縮減彈性模量有限元法的計(jì)算思路是：將加肋軸對稱組合殼沿子午線分成若干軸對稱截錐殼單元，并將肋骨設(shè)置在單元的結(jié)點(diǎn)處，如圖1所示。將外載荷P分成若干載荷步，從 0 開始依次為 P1、P2…Pj-1、Pj、Pj+1…，分步加載。假設(shè)載荷從 P1加載至Pj，由于材料的彈性性質(zhì)，加肋軸對稱組合殼的所有單元均處于“彈性狀態(tài)”，這一加載過程的應(yīng)力計(jì)算是彈性有限元計(jì)算。從載荷步Pj以后，組合殼高應(yīng)力區(qū)某個或若干個殼單元出現(xiàn)“局部屈服”，組合殼的應(yīng)力狀態(tài)開始進(jìn)入彈-塑性，各單元的應(yīng)力狀態(tài)必須進(jìn)行彈塑性計(jì)算，這使計(jì)算趨于復(fù)雜。為簡化計(jì)算過程，本文采取“縮減彈性模量”進(jìn)行彈性計(jì)算的方法，計(jì)算Pj以后各載荷步作用下單元的應(yīng)力狀態(tài)，以一系列縮減彈性模量的彈性計(jì)算模擬在載荷步Pj+1、Pj+2…作用下組合殼的彈塑性應(yīng)力計(jì)算。在這一加載過程中，當(dāng)組合殼受力最嚴(yán)重的殼單元出現(xiàn)“截面屈服”，則認(rèn)為組合殼達(dá)到“極限狀態(tài)”，對應(yīng)的載荷步即為“極限載荷”PL。

具體的計(jì)算過程是：載荷步從P1至Pj，采用彈性有限元計(jì)算，各單元均處于“彈性狀態(tài)”。對載荷步Pj+1進(jìn)行計(jì)算，開始進(jìn)行彈性計(jì)算（第一次計(jì)算），各單元的彈性模量取初始彈性模量Eo

圖1 軸對稱截錐殼單元及肋骨示意圖Fig.1 Axisymmetric truncated conical shell element and stiffener

式中，左上標(biāo)1表示第一次計(jì)算，N為殼單元總數(shù)。第一次彈性計(jì)算后，分析每個殼單元的應(yīng)力狀態(tài)，其中組合殼高應(yīng)力區(qū)的單元處于“局部屈服狀態(tài)”，而其他部分的單元仍處于“彈性狀態(tài)”。若單元i滿足“局部屈服狀態(tài)”條件（見第2節(jié)），則修正該單元的彈性模量

其中“局部屈服”單元的“縮減系數(shù)”1kij+1是一個大于0小于1的參數(shù)，如何計(jì)算，下文將作介紹。上式表示對滿足“局部屈服狀態(tài)”條件的單元，其彈性模量進(jìn)行了縮減。若單元i滿足“彈性狀態(tài)”條件，令

上式表示對滿足“彈性狀態(tài)”條件的單元，其彈性模量沒有縮減。判斷所有殼單元的應(yīng)力狀態(tài)并縮減“局部屈服”單元的彈性模量后，組合殼各單元的彈性模量取，進(jìn)行Pj+1載荷步下的第二次彈性計(jì)算。計(jì)算后，再次對組合殼所有殼單元的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析判斷，如組合殼中仍有殼單元處于“局部屈服狀態(tài)”，則對滿足“局部屈服狀態(tài)”條件的單元，進(jìn)一步縮減其彈性模量

對滿足“彈性狀態(tài)”條件的單元，令

判斷所有殼單元的應(yīng)力狀態(tài)并縮減“局部屈服”單元的彈性模量后，組合殼各單元的彈性模量取，進(jìn)行第三次彈性計(jì)算。假設(shè)如此迭代m次后，組合殼所有殼單元的應(yīng)力狀態(tài)均滿足“彈性狀態(tài)”條件，則在載荷步Pj+1作用下的迭代計(jì)算可以中止，此時各單元的彈性模量為。然后進(jìn)行下一載荷步Pj+2的應(yīng)力計(jì)算。當(dāng)進(jìn)行載荷步Pj+2的第一次計(jì)算時，各單元的彈性模量取

以后各次計(jì)算與上面介紹的Pj+1載荷步的計(jì)算相同。

對Pj+1以后的每一載荷步，各單元的應(yīng)力狀態(tài)都按“縮減彈性模量”進(jìn)行彈性計(jì)算，并按“局部屈服”條件及“截面屈服”條件進(jìn)行檢查。若組合殼中所有單元均未出現(xiàn)“截面屈服”，則進(jìn)行下一載荷步的計(jì)算；若組合殼受力最嚴(yán)重的單元出現(xiàn)“截面屈服”，則組合殼達(dá)到“極限狀態(tài)”，此時的載荷步Pj+x即為極限載荷PL。圖2表示某一結(jié)點(diǎn)的P-δ曲線，描述了本文方法的計(jì)算過程。

下面介紹縮減彈性模量有限元法的幾個要點(diǎn)。

圖2 計(jì)算加肋軸對稱組合殼極限載荷的“縮減彈性模量有限元法”示意圖Fig.2 The process of finite element method based on elastic modulus reduction to calculate the limit load of ring-stiffened axisymmetrical combination shell

3 殼單元應(yīng)力狀態(tài)的判斷條件

在每一載荷步作用下，按照彈性有限元或縮減彈性模量的有限元進(jìn)行計(jì)算，得到組合殼每個殼單元的應(yīng)力后，都需要對各單元的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行判斷。為便于判斷，將殼單元橫截面沿厚度方向分為若干層l=1,2,3…f，f為截面的總層數(shù)，l為層次。殼單元可能的應(yīng)力狀態(tài)有“彈性狀態(tài)”、“局部屈服狀態(tài)”和“截面屈服狀態(tài)”。

① 單元“彈性狀態(tài)”的判斷條件：在載荷步Pr作用下，單元i內(nèi)任一層的Mises應(yīng)力不超過材料的屈服極限 σso，即

式中，lσr

Mises-i為殼單元i在載荷步Pr作用下，其橫截面上第l層的Mises應(yīng)力，可以根據(jù)殼單元的應(yīng)力按下式求得：

②單元“局部屈服狀態(tài)”的判斷條件：在載荷步Pr作用下，單元內(nèi)最大的Mises應(yīng)力超過材料的屈服極限，即

③單元“截面屈服狀態(tài)”的判斷條件：殼單元出現(xiàn)“局部屈服”時，其橫截面上仍有處于彈性狀態(tài)的部分，單元仍可繼續(xù)承載?？s減單元彈性模量后，繼續(xù)加大載荷步，單元橫截面的屈服范圍將逐步擴(kuò)大，直到某個載荷步Pj+x，單元截面全部屈服，本文稱該單元“截面屈服”。其判斷條件是：

4 殼單元彈性模量縮減系數(shù)

載荷步Pj+1、Pj+2……以后，對進(jìn)入“局部屈服狀態(tài)”的殼單元，需對其彈性模量進(jìn)行縮減，彈性模量縮減系數(shù)按下述公式確定。假設(shè)在載荷步Pj+r作用下，經(jīng)過m-1次迭代計(jì)算后，殼單元i的應(yīng)力狀態(tài)不滿足“彈性狀態(tài)”條件，需要縮減其彈性模量，進(jìn)行第m次迭代計(jì)算（彈性計(jì)算）。第m次迭代計(jì)算時單元i的彈性模量為

縮減系數(shù)m-1kj+ri為

5 對求得的極限載荷的分析

本文定義組合殼達(dá)到“極限狀態(tài)”是根據(jù)受力最嚴(yán)重殼單元出現(xiàn)“截面屈服”，這時組合殼的應(yīng)力場滿足平衡方程和力的邊界條件，屈服截面的Ilyushin廣義應(yīng)力等于材料的屈服極限，因此“極限狀態(tài)”滿足極限分析理論中“靜力容許場”的要求[7]，故本文定義的加肋軸對稱組合殼“極限狀態(tài)”的應(yīng)力場是“靜力容許場”，由極限分析的下限定理，本文求出的極限載荷是下極限解。

6 計(jì)算程序框圖

筆者根據(jù)“縮減彈性模量有限元法”的格式，編制了有限元計(jì)算程序，計(jì)算程序的框圖見圖3。

圖3 有限元計(jì)算程序的運(yùn)行框圖Fig.3 The block diagram of the finite element process

7 算 例

加肋凸錐—柱結(jié)合殼模型如圖4所示，模型殼板厚度1.32 mm，圓柱殼肋骨間距l(xiāng)=24 mm，圓錐殼肋骨間距l(xiāng)1=20 mm，錐柱結(jié)合部的肋骨間距l(xiāng)0=22 mm，肋骨的尺寸為4×1.2 mm2。模型材料為#45優(yōu)質(zhì)碳素鋼，材料的彈性模量Eo=2.1×105MPa，泊松比ν=0.3，屈服極限為423.7 MPa。模型承受靜水外壓作用。

按照本文方法和MSC/MARC通用有限元軟件對該模型進(jìn)行極限分析，計(jì)算結(jié)果如表1所示。應(yīng)用MSC/MARC軟件進(jìn)行計(jì)算時，采用的是彈塑性增量有限元法，其計(jì)算結(jié)果接近真實(shí)解。

圖4 加肋凸錐—柱結(jié)合殼模型Fig.4 A convex ring-stiffened cone-cylinder combination shell

表1 極限載荷的對比Tab.1 Comparison of limit load

由表1可以看出，應(yīng)用本文方法計(jì)算得到的極限載荷，略低于MSC/MARC軟件的計(jì)算結(jié)果，這是因?yàn)楸疚姆椒ǖ玫降臉O限載荷是下極限解。本文方法計(jì)算得到的模型破壞位置與MSC/MARC軟件的計(jì)算結(jié)果一致。本文方法的計(jì)算時間省。

8 結(jié) 論

本文提出一種計(jì)算加肋軸對稱組合殼極限載荷的“縮減彈性模量有限元法”。該方法通過縮減“局部屈服”殼單元的彈性模量，用一系列縮減彈性模量的彈性計(jì)算，模擬加肋軸對稱組合殼屈服破壞的彈塑性過程，以組合殼受力最嚴(yán)重單元的Ilyushin廣義應(yīng)力等于材料的屈服極限作為判斷條件，確定加肋軸對稱組合殼的極限載荷。本文方法求解的極限載荷是按“塑性極限分析下限定理”獲得的解。

算例表明：在計(jì)算時間上，本文方法較傳統(tǒng)的彈塑性增量有限元法有較大的優(yōu)勢；在計(jì)算精度上，本文方法的計(jì)算結(jié)果與彈塑性增量有限元法的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)。本文方法適用于工程計(jì)算。

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Limit analysis of ring-stiffened axisymmetric combination shell by finite element method based on elastic modulus reduction

Lü Yan-song,GUO Ri-xiu
(Naval Engineering University,Wuhan 430033,China)

A finite element method based on elastic modulus reduction is proposed to compute the limit load of ring-stiffened axisymmetric combination shell.The criteria for ‘elastic state’, ‘local yield state’and ‘section yield state’ of shell element are established.The method of elastic modulus reduction and the criterion for plastic limit state of ring-stiffened axisymmetric combination shell are presented.The computer program is developed.Numerical example shows that the proposed method is effective and the computed result is accurate.

limit analysis;finite element method;elastic modulus reduction;iterative calculation;ring-stiffened axisymmetric combination shell

U661.43

A

1007-7294（2011）08-0892-06

2011-02-12

呂巖松（1976-），男，海軍工程大學(xué)博士研究生，E-mail:navylys@163.com；郭日修（1924-），男，教授，博士生導(dǎo)師。