陳 康，黃德波，李云波

（1上海船舶研究設(shè)計(jì)院，上海 200032；2哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

1 引 言

計(jì)算流體力學(xué)迄今已獲得了很大的發(fā)展。在船舶工程領(lǐng)域，船舶性能預(yù)報(bào)、船型優(yōu)化設(shè)計(jì)和對船體周圍流動(dòng)現(xiàn)象、機(jī)理的研究越來越多地受益于船舶CFD技術(shù)[1-5]。但是，由于船舶CFD技術(shù)仍處在發(fā)展階段，它所能處理的流動(dòng)問題和所能達(dá)到的精度依舊受其自身發(fā)展水平及硬件等因素的限制，這一特點(diǎn)在解決湍流流動(dòng)問題時(shí)尤其突出。眾所周知，以目前CFD的發(fā)展水平，采用不同湍流模型處理同一湍流問題時(shí)，很難得到較一致的數(shù)值解。盡管對于湍流問題的研究已經(jīng)發(fā)展到了工程應(yīng)用的階段，并且形成了多種繁簡不同的湍流封閉模型[6]，但眾多的選擇也恰恰表明了目前的湍流模型發(fā)展還不夠完善，尤其是在船舶CFD研究中自由水面與湍流邊界層相互作用問題仍未得到解決，使得目前處理船舶粘性繞流場問題的CFD技術(shù)中需要多種假設(shè)及存在不確定度[7]。在現(xiàn)階段的船舶水動(dòng)力性能研究中，一方面是沒有一種能夠完全被船舶CFD用戶所認(rèn)可的適用于船舶阻力性能研究的湍流模型；另一方面，在現(xiàn)有的各個(gè)湍流模型中或多或少存在一些模型常（系）數(shù)。這些湍流模型常（系）數(shù)有一定的取值范圍，因而它們的推薦值是否適用于船舶阻力等水動(dòng)力性能的研究還有待進(jìn)一步探討。

在以往工作的基礎(chǔ)上，文中以提高船舶阻力數(shù)值計(jì)算的可靠性及可信度為目的，嘗試修正兩個(gè)經(jīng)常用于工程計(jì)算的二方程湍流模型中的模型常（系）數(shù)，以觀察這種修正對船舶阻力數(shù)值計(jì)算的影響，并確定在船舶阻力性能研究中各湍流模型常（系）數(shù)的適用性。

2 方程模型化的原則

在推導(dǎo)k和ε的微分輸運(yùn)方程過程中，引進(jìn)了新的未知項(xiàng)，如ε輸運(yùn)方程中的擴(kuò)散項(xiàng)、產(chǎn)生項(xiàng)和消耗項(xiàng)等。根據(jù)對湍流現(xiàn)象的了解以及建立封閉方程組的基本目的，有必要遵循一定的假設(shè)和原則，對這些未知項(xiàng)作合理的模化，即用流場中的已知量來替代未知量。方程模型化應(yīng)該遵循的原則如下[8-9]：

（1）時(shí)均化的NS方程與脈動(dòng)方程是?；幕境霭l(fā)點(diǎn)，細(xì)致的湍流渦結(jié)構(gòu)的影響在時(shí)均化時(shí)被略去；

（3）所有需要?；捻?xiàng)在?；蟮男问奖仨毰c原項(xiàng)有相同的量綱；

（4）?；蟮男问奖仨毰c原項(xiàng)有相同的數(shù)學(xué)特性，如對稱性、不變性、置換性、跡為零等，并且與實(shí)驗(yàn)和觀察結(jié)果相吻合；

（5）各湍流特征量的湍流擴(kuò)散速度均假設(shè)與該量的梯度成正比；

（6）高雷諾數(shù)特性，即所有主要由大尺度渦決定的性質(zhì)不受粘性影響，而小尺度渦結(jié)構(gòu)在統(tǒng)計(jì)上則與平均運(yùn)動(dòng)和大尺度渦無關(guān)，是各向同性的。此假設(shè)適用于各種流動(dòng)中，而十分鄰近固壁的區(qū)域除外；

（7）湍流各種尺度或者可以用（k，ε）表示，或者可以用（ε，ν）表示，后者僅用于由小尺度渦決定的性質(zhì)；

（8）湍流模型中的一些常（系）數(shù)均由實(shí)驗(yàn)來確定；

（9）可實(shí)現(xiàn)性。?；蟮妮斶\(yùn)方程不應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生在物理上不可能的值。這一原則雖然是理所當(dāng)然應(yīng)該滿足的，但是在實(shí)際計(jì)算中還未被應(yīng)用。

與初始方程相比，?；蟮姆匠滩淮嬖诜忾]問題，但是描述流動(dòng)問題的精度降低了。而且方程模型化過程中引入的模型常（系）數(shù)不是物性常數(shù)，它們與湍流流動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，因此必須通過實(shí)驗(yàn)來確定。實(shí)際上，在早先確定各模型常（系）數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，由于受到實(shí)驗(yàn)者、實(shí)驗(yàn)設(shè)備及實(shí)驗(yàn)方法等因素的影響，根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到的這些模型常（系）數(shù)有一定的取值范圍，這也從另一個(gè)側(cè)面反映了湍流模型中存在的變數(shù)及不確定性，這種特性必然導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算中與計(jì)算模型相關(guān)的模型誤差及不確定度。將湍流模型理論應(yīng)用于船體阻力性能研究中有必要對此展開探討。

3 物理模型和控制方程[10-15]

文中模擬船體模型在靜水中以定常速度U0作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)船體周圍的粘性湍流場，并計(jì)算阻力值。根據(jù)相對運(yùn)動(dòng)原理，可視作船體模型靜止，而水以速度-U0從遠(yuǎn)方相對于船體模型勻速流動(dòng)。

假定流體不可壓，流動(dòng)定常，則流場的連續(xù)方程和雷諾方程分別為：

其中：ui，uj為時(shí)均速度分量 （i， j= 1，2，3）；P為壓力時(shí)均值；ρ為流體密度；μ 為流體粘性系數(shù)；gi為重力加速度分量；ρu為雷諾應(yīng)力項(xiàng)。

為了研究湍流模型及模型系數(shù)對船體阻力值計(jì)算的影響，文中選擇了兩種二方程湍流模型，即標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型和k-ω湍流模型。以下簡單給出模化后的各湍流模型方程以及各個(gè)模型常（系）數(shù)的取值：

（1）k-ε二方程湍流模型

模型常（系）數(shù)取值范圍為：Cμ=0.07～0.11，Cε1=1.41～1.45，Cε2=1.8～2.0，σk=0.8～1.3，σε=0.8～1.3。通常推薦采用的模型系數(shù)值為：Cμ=0.09，Cε1=1.44，Cε2=1.92，σk=1.0，σε=1.3。

（2）k-ω二方程湍流模型

通常采用的模型系數(shù)推薦值為：β*=9/100，σ*=1/2，α=5/9，β=3/40，σ=1/2。

4 計(jì)算模型的建立與網(wǎng)格生成

4.1 Wigley船型

文中采用船型之一為Wigley船型，船長L=3.0 m，船寬B=0.3 m，船體Fr數(shù)為0.3。計(jì)算域尺寸為5.5L×1.5L×1.062 5L，坐標(biāo)系原點(diǎn)位于舯橫剖面底部。X軸指向船艏，Y軸指向左舷，Z軸豎直向上，建立計(jì)算域時(shí)考慮了對稱性。由于Wigley船型簡單，文中用六面體分塊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格將計(jì)算域離散，靜水面處、對稱面上網(wǎng)格分布如圖1所示，網(wǎng)格數(shù)為91×24×52=113 568。

圖1 Wigley船計(jì)算模型靜水面處、對稱面上網(wǎng)格分布Fig.1 Grid distribution of Wigley model around still water plane and symmetry plane

4.2 數(shù)學(xué)三體船型

文中采用的另一船型為數(shù)學(xué)三體船型，中體船長為L=2.6 m，船寬為B=0.196 m。兩個(gè)側(cè)體的形狀與尺寸均與中體相同。相對于中體，側(cè)體在船長方向（X軸）向后偏移1.04 m，在船寬方向（Y軸）分別偏移0.52 m。船體Fr數(shù)為0.4。三體船型的計(jì)算域尺寸為5.5L×1.1L×0.525L，考慮了計(jì)算域的對稱性。X軸指向船頭，Y軸指向左舷，Z軸豎直向上。靜水面處、對稱面上網(wǎng)格分布如圖2所示。網(wǎng)格數(shù)為109×43×42=196 854。

圖2 數(shù)學(xué)三體船計(jì)算模型靜水面處、對稱面上網(wǎng)格分布Fig.2 Grid distribution of mathematical trimaran model around still water plane and symmetry plane

5 計(jì)算結(jié)果及驗(yàn)證分析

5.1 Wigley船型的阻力計(jì)算結(jié)果及分析

文中選取二方程湍流模型，并嘗試變動(dòng)模型常（系）數(shù)來數(shù)值求解Wigley船型的阻力，基于標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型和k-ω湍流模型的計(jì)算值分別由表1～5及表6～8給出。分析各表中的計(jì)算結(jié)果可以看出，在基于標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型的計(jì)算結(jié)果中：

（1）壓阻力幾乎不受 5個(gè)模型常（系）數(shù)取值變化的影響，總阻力的變化主要由摩擦阻力的變化而引起；

（2） 總阻力（摩擦阻力）隨 Cμ、Cε2、σε取值的增大而增大。 在各常（系）數(shù)的取值范圍內(nèi)，Cμ使得總阻力有-2.22%～1.78%的變化（與采用推薦值得到的計(jì)算結(jié)果相比，下文類似），Cε2使得總阻力有-5.33%～2.89%的變化，σε使得總阻力有-7.11%～0%的變化；

（3）總阻力（摩擦阻力）隨著Cε1取值的增大而減小。在其取值范圍內(nèi)，Cε1使得總阻力有1.11%～-0.44%的變化；

（4）σk的取值變化對各阻力分量無影響。

在選擇k-ω湍流模型計(jì)算Wigley船型的阻力時(shí)，則能看出：

（1）壓阻力幾乎不受 3個(gè)模型常（系）數(shù)取值變化的影響，總阻力的變化主要由摩擦阻力的變化而引起；

（2）總阻力（摩擦阻力）分別隨著β*或α取值的增大而減小。常（系）數(shù)取值變化±5%時(shí)，β*使得總阻力有1.28%～-1.49%的變化，α使得總阻力有1.07%～-1.28%的變化；

（3）總阻力（摩擦阻力）隨β取值的增大而增大。β取值變化±5%使得總阻力有-1.92%～-1.49%的變化。

表1 模型系數(shù)Cμ的變化對Wigley船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.1 Effect of modification of Cμon resistance coefficients （×10-3） of Wigley hull

表2 模型系數(shù)Cε1的變化對Wigley船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響 Tab.2 Effect of modification of Cε1on resistance coefficients （×10-3） of Wigley hull

表3 模型系數(shù)Cε2的變化對Wigley船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.3 Effect of modification of Cε2on resistance coefficients （×10-3） of Wigley hull

表4 模型系數(shù)σk的變化對Wigley船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.4 Effect of modification of σkon resistance coefficients （×10-3） of Wigley hull

表5 模型系數(shù)σε的變化對Wigley船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.5 Effect of modification of σεon resistance coefficients （×10-3） of Wigley hull

表6 模型系數(shù)β*的變化對Wigley船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.6 Effect of modification of β*on resistance coefficients （×10-3） of Wigley hull

表7 模型系數(shù)α的變化對Wigley船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.7 Effect of modification of α on resistance coefficients （×10-3） of Wigley hull

表8 模型系數(shù)β的變化對Wigley船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.8 Effect of modification of β on resistance coefficients （×10-3） of Wigley hull

5.2 數(shù)學(xué)三體船型的驗(yàn)證結(jié)果及分析

文中計(jì)算了數(shù)學(xué)三體船型的阻力值來驗(yàn)證基于Wigley船型得到的結(jié)論?；跇?biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型和k-ω湍流模型的計(jì)算結(jié)果分別由表9～13及表14～16給出。

表9 模型系數(shù)Cμ的變化對數(shù)學(xué)三體船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.9 Effect of modification of Cμon mathematical trimaran resistance coefficients （×10-3）

表10 模型系數(shù)Cε1的變化對數(shù)學(xué)三體船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.10 Effect of modification of Cε1on mathematical trimaran resistance coefficients （×10-3）

表11 模型系數(shù)Cε2的變化對數(shù)學(xué)三體船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.11 Effect of modification of Cε2on mathematical trimaran resistance coefficients （×10-3）

表12 模型系數(shù)σk的變化對數(shù)學(xué)三體船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響 Tab.12 Effect of modification of σkon mathematical trimaran resistance coefficients （×10-3）

表13 模型系數(shù)σε的變化對數(shù)學(xué)三體船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.13 Effect of modification of σε on mathematical trimaran resistance coefficients （×10-3）

表14 模型系數(shù)β*的變化對數(shù)學(xué)三體船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.14 Effect of modification of β*on mathematical trimaran resistance coefficients （×10-3）

表15 模型系數(shù)α的變化對數(shù)學(xué)三體船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.15 Effect of modification of α on mathematical trimaran resistance coefficients （×10-3）

表16 模型系數(shù)β的變化對數(shù)學(xué)三體船型阻力系數(shù)（×10-3）的影響Tab.16 Effect of modification of β on mathematical trimaran resistance coefficients （×10-3）

通過比較計(jì)算結(jié)果可以看出，盡管三體船型與Wigley船型在構(gòu)型方面有很大的差異，但是兩種船型的阻力值對湍流模型常（系）數(shù)的敏感性表現(xiàn)相一致；隨著標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型中5個(gè)常（系）數(shù)分別在其取值范圍內(nèi)變化，船體總阻力值的變化幅度各不相同，其中σk引起的總阻力變化完全可忽略，σε引起的總阻力變化幅度最大（>5%），而 Cε1，Cμ和 Cε2三者的影響則介于 σk和 σε兩者之間（1%～3%）；k-ω湍流模型中3個(gè)常（系）數(shù)的取值分別變化±5%時(shí)，三體船總阻力值的變化幅度介于1%～2%之間；船體壓阻力計(jì)算結(jié)果對文中涉及的湍流模型常（系）數(shù)均不敏感，兩個(gè)湍流模型中常（系）數(shù)的推薦值對船體壓阻力計(jì)算有魯棒特性。

6 結(jié) 語

文中選擇兩個(gè)典型的二方程湍流模型作為研究對象，通過變動(dòng)其模型常（系）數(shù)來考察這種改變對船舶阻力數(shù)值計(jì)算的影響，并得出了一些有意義的結(jié)論。這些結(jié)論不僅有助于理解文中涉及的湍流模型及其模型系數(shù)在船舶阻力性能研究中的適用性，而且有助于理解數(shù)值計(jì)算中湍流模型導(dǎo)致的誤差和不確定因素，對于開展CFD V&V（Verification and Validation）的研究工作也有積極意義。

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